Полуточка: модель скорости
Каратаев Евгений Анатольевич
Настоящая
статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых
иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных
случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном
модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется
либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке
гиперкомплексных чисел.
Для
понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения
модели полуточки и модели миров.
Точка
пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к
другой:
(1)
Считается,
что точка принадлежит
миру с временем :
(2)
В
этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими.
Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной
системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.
Состояния
точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной
и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе
можно попасть, совершив преобразование системы координат:
(3)
Здесь
величина определяет
преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом есть
разность времён этих двух миров:
(4)
Также
будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым
расстоянием во времени:
(5)
Под
скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если
величина зависит
от величины , и
с течением величина
испытывает
изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин и :
(6)
Ещё
одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели
преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь
пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет
два различных преобразования:
(7)
и
(8)
Здесь
в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором -
скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки
зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:
(9)
(10)
(11)
Видно,
что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того,
что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть
представлены как:
(12)
(13)
где
через обозначен
оператор с
вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:
(14)
Таким
образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1)
использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать
скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием
рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того,
что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в
силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.
А
именно:
(15)
(16)
Поэтому
мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.
В
силу того, что величина и её
приращение являются скалярами, имеем:
(17)
И
в случае когда мало,
имеем:
(18)
(19)
Используя
это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для
преобразования точки:
(20)
Оставив
члены первого порядка малости по :
(21)
Используя
определение полуточки
получим:
(22)
Положив
точку функцией величины и
сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности ,
получим:
(23)
Это
выражение и является определением скорости точки ,
если она движется во времени ,
испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:
(24)
Выражение
(23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:
(25)
То
есть абсолютное приращение точки выполняется
несмотря на произвольность величины так,
что точка остается
сама себе скалярно-векторно сопряжённой.
Отметим
также, что в силу свойства точки верно
равенство:
(26)
Далее...
Придерживаясь
модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины и дуальными
бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной
сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.
Для
понимания дальнейшего вывода представим величины и в
виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:
(27)
Здесь
индексом обозначены
главные части, а индексом -
дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:
Сгруппировав
главные и дуальные части, получим:
(28)
Используя
это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи
величин , , и
,
оценим характер вклада в скорость точки отдельных
величин и
.
А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.
Случай
1.
Зададим
точку как
дуальный вектор с единичной главной частью:
(29)
а
величину как
дуальный вектор с нулевой главной частью:
(30)
Тогда,
используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:
(31)
В
силу того, что выбрано условие ,
имеем:
(32)
Таким
образом, в приведённых выше условиях величина является линейной скоростью приращения
дуальной части .
В силу того, что в состав величины входит
как полярная, так и дуальная части, то есть:
(33)
то
в силу свойств функций и ,
определённых как
(34)
(35)
И
имеющих свойства сопрягаться:
(36)
(37)
Имеем
равенство для первого случая:
(38)
Или:
величина является
линейной скоростью изменения вектора .
Случай
2. Выберем величины и такими,
что выполняются следующие условия:
(39)
Используя
выражение (29) с этими условиями, получим:
(40)
В
силу выбора и
свойства (38) имеем:
(41)
И,
также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:
(42)
Переведя
величины и
в
векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов,
получим:
(43)
где
с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных
векторов и .
Или:
величина является
угловой скоростью вращения вектора .
Таким
образом, величины и
имеют
всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.
Целью
настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях.
Поэтому полный разбор сочетаний и
здесь
не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой
отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.
К
будущим исследованиям могут быть отнесены: величины и
,
а также отдельное исследование главной части точки .
В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель
преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и
главной частей вектора ,
существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования
покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной
возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в
преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://karataev.nm.ru/