Интеграл
помогает доказать неравенство Коши
С. Берколайко
[Решил добавить
к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и
средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как
доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых
средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1,
a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть
различные. Тогда выполняется неравенство
Коши:
a1 + a2 + ... +
an
n
>
n
Ö
a1 a2 ... an
.
(1)
Обозначим левую
часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:
(Sn ) n > a1
a2 ... an .
(2)
Очевидно, не
ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤
k ≤ n – 1,
a1 ≤ a2
≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1
≤ ... ≤ an–1
≤ an.
(3)
Основой
доказательства неравенства (2) будет неравенство
b
b – a
b