Программа
вступительных экзаменов по математике в 2004г. (МГУ)
Настоящая
программа состоит из трех разделов.
В первом
разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть
поступающий как на письменном, так и на устном экзамене.
Второй раздел
представляет собой перечень вопросов теоретической части устного экзамена. При
подготовке к письменному экзамену целесообразно познакомиться с формулировками
утверждений этого раздела.
В третьем
разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего на письменном
и устном экзаменах.
Объем знаний и
степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу
математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств
из этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения экзаменационных
задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их свойствами,
которые перечислены в настоящей программе. Объекты и факты, не изучаемые в
общеобразовательной школе, также могут использоваться поступающими, но при
условии, что он способен их пояснять и доказывать.
В связи с
обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные утверждения второго
раздела могут в некоторых учебниках называться иначе, чем в программе, или
формулироваться в виде задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не
освобождают поступающего от необходимости знать эти утверждения.
I. Основные
понятия
Натуральные
числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное.
Целые,
рациональные и действительные числа. Проценты. Модуль числа, степень, корень,
арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
(угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
Числовые и
буквенные выражения. Равенства и тождества.
Функция, ее
область определения и область значений. Возрастание, убывание, периодичность,
четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значения функции. График функции.
Линейная,
квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические
функции.
Уравнение,
неравенства, система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы.
Равносильность.
Арифметическая
и геометрическая прогрессии.
Прямая на
плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол.
Треугольник.
Медиана, биссектриса, высота.
Выпуклый
многоугольник. Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция.
Правильный многоугольник. Диагональ.
Окружность и
круг. Радиус, хорда, диаметр, касательная, секущая. Дуга окружности и круговой
сектор. Центральный и вписанные углы.
Прямая и
плоскость в пространстве. Двугранный угол.
Многогранник.
Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
Цилиндр, конус,
шар, сфера.
Равенство и
подобие фигур. Симметрия.
Параллельность
и перпендикулярность прямых, плоскостей. Скрещивающиеся прямые. Угол между
прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
Касание.
Вписанные и описанные фигуры на плоскости и в пространстве. Сечение фигуры
плоскостью.
Величина угла.
Длина отрезка, окружности и дуги окружности. Площадь многоугольника, круга и
кругового сектора. Площадь поверхности и объем многогранника, цилиндра, конуса,
шара.
Координатная
прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости и в
пространстве. Векторы.
II.
Содержание теоретической части устного экзамена
Алгебра
Признаки
делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Свойства
числовых неравенств.
Формулы
сокращенного умножения.
Свойства
линейной функции и ее график.
Формула корней
квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные
множители. Теорема Виета.
Свойства
квадратичной функции и ее график.
Неравенство,
связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.
Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
Формулы общего
члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Формулы общего
члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Свойства
степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства арифметических корней
n-й степени. Свойства степеней с рациональными показателями.
Свойства
степенной функции с целым показателем и ее график.
Свойства
показательной функции и ее график.
Основное
логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула
перехода к новому основанию.
Свойства
логарифмической функции и ее график. Основное тригонометрическое тождество.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы приведения, сложения, двойного и половинного аргумента, суммы и
разности тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов
в сумму. Преобразование выражения asin(x) + bcos(x) спомощью вспомогательного
аргумента.
Формулы решений
простейших тригонометрических уравнений.
Свойства
тригонометрических функций и их графики.
Геометрия
Теоремы о
параллельных прямых на плоскости.
Свойства
вертикальных и смежных углов.
Свойства
равнобедренного треугольника.
Признаки
равенства треугольников.
Теорема о сумме
внутренних углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Свойства
средней линии треугольника.
Теорема Фалеса.
Признаки подобия треугольников.
Признаки
равенства и подобия прямоугольных треугольников. Пропорциональность отрезков в
прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
Свойство
серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство биссектрисы угла.
Теоремы о
пересечении медиан, пересечении биссектрис и пересечении высот треугольника.
Свойство
отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону.
Свойство
касательной к окружности. Равенство касательных, проведенных из одной точки к
окружности. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образованном
касательной и хордой. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и об
угле между двумя секущими, выходящими из одной точки. Равенство произведений
отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата касательной произведению
секущей на ее внешнюю часть.
Свойство
четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника,
описанного около окружности.
Теорема об
окружности, вписанной в треугольник. Теорема об окружности, описанной около
треугольника.
Теоремы синусов
и косинусов для треугольника.
Теорема о сумме
внутренних углов выпуклого многоугольника.
Признаки
параллелограмма. Свойства параллелограмма.
Свойства
средней линии трапеции.
Формула для
вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Уравнение
окружности.
Теоремы о
параллельных прямых в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.
Признак параллельности плоскостей.
Признак
перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об общем перпендикуляре к двум
скрещивающимся прямым. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех
перпендикулярах.
III. Требования
к поступающему
На экзамене по
математике поступающий должен уметь:
выполнять (без
калькулятора) действия над числами и числовыми выражениями; преобразовывать
буквенные выражения; производить операции над векторами (сложение, умножение на
число, скалярное произведение); переводить одни единицы измерения величин в
другие;
сравнивать
числа и находить их приближенные значения (без калькулятора); доказывать
тождества и неравенства для буквенных выражений;
решать
уравнения, неравенства, системы (втом числе спараметрами) иисследовать их
решения;
исследовать
функции; строить графики функций и множества точек на координатной плоскости,
заданные уравнениями и неравенствами;
изображать
геометрические фигуры на чертеже; делать дополнительные построения; строить
сечения; исследовать взаимное расположение фигур; применять признаки равенства,
подобия фигур и их принадлежности к тому или иному виду;
пользоваться
свойствами чисел, векторов, функций и их графиков, свойствами арифметической и
геометрической прогрессий;
пользоваться
свойствами геометрических фигур, их характерных точек, линий и частей,
свойствами равенства, подобия и взаимного расположения фигур;
пользоваться
соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические,
тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади, объемы;
составлять
уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи;
излагать и
оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми
пояснениями.
На устном
экзамене поступающий должен дополнительно уметь:
давать
определения, формулировать и доказывать утверждения (формулы, соотношения,
теоремы, признаки, свойстваит.п.), указанные во втором разделе настоящей
программы;
анализировать
формулировки утверждений и их доказательства;
решать
задачи на построение циркулем, линейкой; находить геометрические места точек.
Список
литературы
Для подготовки
данной работы были использованы материалы с сайта http://www.teenclub.ru/