Шпаргалка по
математике
Формулы сокр.
умножения и разложения на множители :
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1
и x2 — корни
уравнения
ax²+bx+c=0
Степени и корни
:
ap·ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap×bp
= abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pÖa =b
=> bp=a
pÖapÖb = pÖab
Öa ; a = 0
____
/ __
_
pÖ gÖa = pgÖa
___ __
pkÖagk
= pÖag
p ____
/ a pÖa
/ ¾¾ = ¾¾¾¾
Ö b pÖb
a 1/p = pÖa
pÖag
= ag/p
Квадратное
уравнение
ax²+bx+c=0;
(a¹0)
x1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac
D>0® x1¹x2 ;D=0® x1=x2
D ab = x;
a>0,a¹0
a loga x = x, logaa =1; loga
1 = 0
loga
x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga
y
loga x/y = loga x - loga
y
loga xk =k loga x (x
>0)
logak x =1/k loga
x
loga x = (logc x)/( logca);
c>0,c¹1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn =
((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 × q
b2n = bn-1× bn+1
bn = b1×qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p-a) = sin a
sin (p/2 -a) = cos a
cos (p/2 -a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) =
sin a
tg (a + pk) = tg
a
ctg (a + pk) = ctg a
sin² a + cos² a =1
ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ
tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ
1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2
1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn
Формулы
сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ¹ p/2 + pn
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ¹ p/2 + pn
Формулы
двойного аргумента.
sin 2a = 2sin
a cos a
cos 2a = cos² a - sin² a = 2
cos² a - 1 =
= 1-2 sin²a
tg 2a = (2
tga)/ (1-tg²a)
1+ cos a = 2
cos² a/2
1-cosa = 2
sin² a/2
tga = (2
tg (a/2))/(1-tg²(a/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin² a/2 = (1 - cos a)/2
cos²a/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 =
sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a
a¹ p + 2pn, n ÎZ
Ф-лы
преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy =
—————
cos x cos y
Формулы преобр.
произв. в сумму
sin x sin y = ½(cos
(x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ½(cos
(x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ½(sin
(x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между
ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+
tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a)
cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a)
ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a
cos3a = 4cos³a-3 cosa=
= cos³a-3cosasin²a
tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a)
ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1)
sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)
cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)
tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=
sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina
ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=
sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos( arccos a) = a
tg ( arctg a) = a
ctg ( arcctg a) = a
arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2]
arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p]
arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2]
arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p]
arcsin(sina)=
1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]
2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]
arccos (cosa) =
1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]
2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]
arctg(tga)= a-pk
aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)
arcctg(ctga) = a -pk
aÎ(pk; (k+1)p)
arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =
= arctg a/Ö(1-a²)
arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=
= arc ctga/Ö(1-a²)
arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =
= arcsin a/Ö(1+a²)
arc ctg a = p-arc cctg(-a) =
= arc cos a/Ö(1-a²)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)
arcsin a + arccos = p/2
arcctg a + arctga = p/2
Тригонометрические
уравнения
sin x = m ; |m|
= 1
x = (-1)n arcsin m + pk, kÎ Z
sin x =1
sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = -1
x = -p/2 + 2 pk
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos
m + 2pk
cos x = 1
cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = -1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)
Показательные
уравнения.
Неравенства:
Если af(x)>(1, то
знак не меняеться.
2) a(1, то : f(x) >0
j(x)>0
f(x)>j(x)
2. 00
f(x) 0
f(x) >0
f(x ) ¹ 1
Тригонометрия:
1. Разложение
на множители:
sin 2x - Ö3 cos x
= 0
2sin x cos x -Ö3 cos x
= 0
cos x(2 sin x - Ö3) = 0
....
2. Решения
заменой ....
3.
sin² x -
sin 2x + 3 cos² x =2
sin² x - 2
sin x cos x + 3 cos ² x = 2
sin² x + cos² x
Дальше пишеться
если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое
невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические
нер-ва :
sin a ³ m
2pk+a1 = a = a2+ 2pk
2pk+a2 = a= (a1+2p)+ 2pk
Пример:
I cos (p/8+x)
pk+ 5p/6
2pk+ 17p/24
II sin a = 1/2
2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk
cos a ³(=) m
2pk + a1
2pk+a2
cos a ³ - Ö2/2
2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk
tg a³(=) m
pk+
arctg m =a= arctg
m + pk
ctg ³(=) m
pk+arcctg
m
Производная:
(xn)’
= n× xn-1
(ax)’ =
ax× ln a
(lg ax )’= 1/(x×ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos² x
(ctg x)’ = -
1/sin²x
(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)
(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²)
(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)
(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²)
Св-ва:
(u × v)’ =
u’×v + u×v’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²
Уравнение
касательной к граф.
y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)
уравнение к
касательной к графику в точке x
1. Найти
производную
2. Угловой
коофициент k =
= производная в
данной точке x
3. Подставим X0,
f(x0), f ‘ (x0), выразим х
Интегралы :
ò xn dx = xn+1/(n+1)
+ c
ò ax
dx = ax/ln a + c
ò ex
dx = ex + c
ò cos x
dx = sin x + cos
ò sin x
dx = - cos x + c
ò 1/x dx
= ln|x| + c
ò 1/cos² x =
tg x + c
ò 1/sin² x = - ctg x + c
ò 1/Ö(1-x²) dx =
arcsin x +c
ò 1/Ö(1-x²) dx =
- arccos x +c
ò 1/1+ x² dx =
arctg x + c
ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c
Площадь
криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Теорема синусов
a² = b²+c² -
2bc cos a
b² = a²+c² - 2ac
cos b
c² = a² + b² - 2ab
cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих.
Медиана делит
противопол.
сторону напополам.
Биссектриса -
угол.
Высота падает
на пр. сторону
под прямым
углом.
Формула Герона
:
p=½(a+b+c)
_____________
S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)
S = ½ab sin a
Sравн.=(a²Ö3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2× h
Круг
S= pR²
Sсектора=(pR²a)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн×Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.×H
Sполн.=
Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1+S2+ÖS1S2)
S1 и
S2 — площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 pR²H
Sбок.
=pRl
Sбок.=
pR(R+1)
Усеченный
Sбок.=
pl(R1+R2)
V=1/3pH(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.×H
прямая: Sбок.=Pосн.×H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпс×a
V = Sпс×a, а
-бок. ребро.
Pпс —
периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pR²H ; Sбок.=
2pRH
Sполн.=2pR(H+R)
Sбок.=
2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pR³ -
шар
S = 4pR³ -
сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pR³H
H - высота
сегм.
Шаровой сегмент
V=pH²(R-H/3)
S=2pRH
град
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
a
-p/2
-p/3
-p/4
-p/6
0
p/6
p/4
p/3
p/2
2p/3
3p/4
3p/6
p
sina
-1
-Ö3/2
-Ö2/2
- ½
0
½
Ö2/2
Ö3/2
1
- ½
0
cosa
1
Ö3/2
Ö2/2
½
0
- ½
-Ö2/2
- Ö3/2
-1
tga
Ï
-Ö3
-1
-1/Ö3
0
1/Ö3
1
Ö3
Î
-Ö3
-1
0
ctga
---
Ö3
1
1/Ö3
0
-1/Ö3
-1
--
n
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
9
16
25
36
49
64
81
3
8
27
64
125
216
343
512
729
4
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
5
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
6
64
729
4096
15625
46656
7
128
2181
8
256
6561
-a
p-a
p+a
p/2-a
p/2+a
3p/2 - a
3p/2+a
sin
-sina
sina
-sina
cosa
cosa
-cosa
-cosa
cos
cosa
-cosa
-cosa
sina
-sina
-sina
sina
tg
-tga
-tga
tga
ctga
-ctga
ctga
-ctga
ctg
-ctga
-ctga
ctga
tga
-tga
tga
-tga