Алгебра и Начало анализа

|Алгебра и начала анализа. | |[pic]1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и |Отве| |график. |т | |[pic]3. Функция y = k/x, её свойства и график, график |Отве| |дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре). |т | |[pic]4. Показательная функция y = ax, её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]6. Функция y = sin(x), её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]7. Функция y = cos(x), её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]8. Функция y = tg(x), её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]9. Функция y = ctg(x), её свойства и график. |Отве| | |т | |[pic]10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве| |арифметической прогрессии. |т | |[pic]11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве| |геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей |т | |геометрической прогрессии. | | |[pic]12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, |Отве| |sin(x) |[pic]13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, |Отве| |cos(x) |[pic]14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) 0, то этот угол острый; если k
5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.
[pic]
Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а [pic]0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х [pic]0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- [pic]; 0] и возрастает в промежутке [0; + [pic]).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + [pic]).
Свойства функции y = ax2 при а
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х [pic]0, то y
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + [pic]) и возрастает в промежутке (- [pic]; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- [pic]; 0].
И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = [pic], n= [pic]. Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a
[pic]
Ответ 3 Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой [pic], где [pic]- коэффициент обратной пропорциональности.
1. Область определения функции [pic]- есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. [pic].
2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 0.
Свойства функции y = loga x при 0 1, то loga x
[pic] №6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin [pic]).
1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех [pic];
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. sin(x) = 0 при x = [pic];
6. sin(x) > 0 для всех [pic];
7. sin(x)
8. функция возрастает на [pic];
9. функция убывает на [pic].
[pic] № 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos [pic])
1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех [pic];
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. cos(x) = 0 при [pic];
6. cos(x) > 0 для всех [pic];
7. cos(x) > 0 для всех [pic];
8. функция возрастает на [pic];
9. функция убывает на [pic]
[pic] №8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg [pic]).
1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида[pic];
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. tg(x) = 0 при х = [pic];
6. tg(x) > 0 для всех [pic];
7. tg(x)
8. функция возрастает на [pic].
[pic] №9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg [pic])
1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида [pic];
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
5. ctg(x) = 0 при x = [pic];
6. ctg(x) > 0 для всех [pic];
7. ctg(x)
8. функция убывает на [pic].
[pic]
Ответ № 10
1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d.
4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
[pic](1)
6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-
1). (2)
7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
[pic](3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение [pic]
9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an
= a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная. Ответ № 11
1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q.
4. Если q > 0 ([pic]), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. [pic](1)
6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: [pic](2)
7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
[pic], [pic](3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. [pic], [pic](4)
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn
= b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической прогресси при [pic]
1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где [pic]и
[pic]. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию [pic], называется предел суммы n первых ее членов при [pic].
2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула [pic]. № 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]
Частные случаи:
2. sin(x) = 0, x = [pic]
3. sin(x) = 1, x = [pic]
4. sin(x) = -1, x = [pic]
5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где [pic], имеет вид: x=
[pic]
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x)
1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
(sin(x)
sin(x) = 0 если х = [pic];
sin(x) = -1, если x = [pic]>;
sin(x) > 0, если [pic];
sin(x) Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].
2. Частные случаи:
cos(x) = 1, x = [pic];
cos(x) = 0, [pic];
cos(x) = -1, x = [pic]
3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x)
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x)
2. Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если [pic];
cos(x) = -1, если x = [pic];
cos(x) = 1, если x = [pic];
cos(x) > 0, если [pic];
cos(x) > 0, если [pic].
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: [pic].
2. Частные случаи:
tg(x) = 0, x = [pic];
tg(x) = 1, [pic];
tg(x) = -1, [pic].
3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x)
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x)
2. Важно знать, что:
tg(x) > 0, если [pic];
tg(x)
Тангенс не существует, если [pic].
№ 15
1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов [pic], [pic], [pic],
[pic], выражаются через значения sin [pic], cos [pic], tg [pic]и ctg
[pic].
2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу: |Функция|Аргумент [pic] | |[pic] | |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |sin [pic] |cos [pic] |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos [pic] |-cos [pic] |-sin [pic] |sin [pic] | |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos[pic] |-cos[pic] |- sin [pic] |sin [pic] |cos [pic] |cos [pic] | |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] | |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] | |Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
1. a) при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла
[pic]название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла
[pic]название функции сохраняют;
б) считая [pic]острым углом (т. е. [pic]), перед функцией угла
[pic]ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов [pic],
[pic], [pic]. Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + [pic]по абсолютной величине равна той же функции угла [pic], если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + [pic]. положительна, когда [pic]- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
[pic][pic]
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол [pic]и на угол
[pic](рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов [pic]и [pic]. Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы [pic]и [pic]. По определению скалярного произведения векторов:
[pic][pic][pic]= х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение [pic][pic][pic]через тригонометрические функции углов [pic]и [pic]. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos [pic], y1 = R sin [pic], х2 = R cos [pic], y2 = R sin
[pic].
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
[pic][pic][pic]= R2cos[pic] cos[pic] + R2sin[pic] sin[pic] =
R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
[pic][pic][pic]= [pic][pic]cos [pic]BOC = R2cos [pic]BOC.
Угол ВОС между векторами [pic]и [pic]может быть равен [pic]-
[pic](рис.1), [pic]- ([pic] - [pic]) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
[pic]BOC = cos ([pic] - [pic]). Поэтому
[pic][pic][pic]= R2 cos ([pic] - [pic]).
Т.к. [pic][pic][pic]равно также R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]), то
cos([pic] - [pic]) = cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic].
cos([pic] + [pic]) = cos([pic] - (-[pic])) = cos[pic] cos(-[pic]) + sin[pic] sin(-[pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].
Значит,
cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].
2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin([pic] + [pic]) = cos( [pic]/2 - ([pic] + [pic])) = cos(( [pic]/2 -
[pic]) - [pic]) = cos( [pic]/2 - [pic]) cos[pic] + sin( [pic]/2 -
[pic]) sin[pic] = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].
Значит,
sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].
sin([pic] - [pic]) = sin([pic] + (-[pic])) = sin[pic] cos(-[pic]) + cos[pic] sin(-[pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].
Значит,
sin([pic] - [pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].
№ 17
Формулы двойных углов Формулы сложения позволяют выразить sin 2[pic], cos 2[pic], tg 2[pic], ctg 2[pic] через тригонометрические функции угла [pic].
Положим в формулах
sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic] ,
cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic] ,
[pic],
[pic].
[pic]равным [pic]. Получим тождества: sin 2[pic] = 2 sin [pic]cos [pic];
cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]= 1 - sin2 [pic]= 2 cos2 [pic]- 1;
[pic]; [pic].
№ 18
Формулы половинного аргумента
1. Выразив правую часть формулы cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2[pic] = 1 - sin2 [pic], cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]- 1.
Если в данных соотношениях положить [pic]= [pic]/2, то получим:
cos [pic]= 1 - 2 sin2 [pic]/2, cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]/2 - 1. (1)
2. Из формул (1) следует, что
[pic] (2), [pic] (3).
3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
[pic] (4).
4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол [pic]/2.
5. Полезно знать следующую формулу:
[pic]. № 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin [pic]+ sin [pic], положим [pic]= x + y и [pic]= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin [pic]+ sin [pic]= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений [pic]= x + y, [pic]= x - y относительно x и y, получим х = [pic], y = [pic].
Следовательно,
sin [pic]+ sin [pic]= 2 sin[pic] cos[pic] .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin [pic]-sin [pic]= 2 cos[pic] sin [pic];
cos [pic]+ cos [pic]= 2 cos[pic] cos[pic] ;
cos [pic]+ cos [pic]= -2 sin[pic] sin [pic]. № 20
Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где [pic], достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить [pic]. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение [pic]= [pic]- q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: [pic]стоит вместо x и [pic]- q - вместо m. Находим [pic]= [pic]. Отсюба х = - [pic][pic]. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если [pic] [pic]= q . Возращаемся к обычному виду [pic].
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.
№ 21 Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу [pic](где b > 0, a > 0 и a [pic]1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
1. [pic];
2. [pic];
3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
[pic].
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = [pic], y = [pic].
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = [pic][pic][pic]= [pic].
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
[pic].
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
[pic].
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством. № 22
1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения [pic]функции в точке х0 к приращению [pic]аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: [pic].
2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен [pic]. В этом состоит геометрический смысл производной.
5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс. № 23
1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
[pic].
2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и
[pic].
3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
[pic].
4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и
[pic].