1. Производные и дифференциалы высших порядков
Опр-ие: производной n-го порядка (n(2) функции у=f(х) называется
производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.
Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам,
по которым определяли первую.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал
первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По
определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем
случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-
ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так
3. Теорема Ролля.
Теорема Ролля: Если функция у=f(х) непрерывна на замкнутом промежутке
[a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах
промежутка ее значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдется
такая точка x=c, что f'(c)=0
Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b],
f(х)= f(a)=f(b), то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку
интервала (a,b).
Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса
существуют точки х1 и х2 на отрезке [a,b] , в которых достигаются
наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть
концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что
m=М, следовательно, функция f(х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки
предположению.
Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1, т.е. a