Введение.
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с
необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение
пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с
самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и
молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется
стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).
Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в
планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например,
говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым
подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В
планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же
единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с
несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные
из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым,
расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать
отдельно.
План.
I. Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые, плоскости, параллельность------------ 6 III. Изображение пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение------------------------ 17
I.Основные аксиомы стереометрии
Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще
одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения»
плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических
действий» новое, третье измерение:
. Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого
недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это
обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:
. Через любые три точки проходит плоскость.
С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из
бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей звучит так:
. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
. (рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая
через них плоскость единственная.
Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные
плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по
которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само
нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого
взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным,
потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут
пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются
планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того,
что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например,
аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только
одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже
распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие:
прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой
плоскости.
Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ? (рис. 3). Вне
плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В
соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость ?.
Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и имеет с ? две общие точки.
Значит, ? пересекается с ? по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В.
По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия
лежит в плоскости ?, что и требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
. На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в
новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной
плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из
излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через
две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению
параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности
параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают
главное свойство параллельных прямых в пространстве:
. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое
транзитивностью параллельности:
. Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть
одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В
пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые —
если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они
скрещиваются. На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD —
параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем
прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.
Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем
выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ
параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD
содержащих их квадратов.
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для
плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не
имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том
случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы
теоремы о транзитивности:
. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
. Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности
прямой и плоскости:
. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.
А вот признак параллельности плоскостей:
. Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.
Часто используется и такая простая теорема:
. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой
и плоскости следует, например, что прямая А№В№ параллельна плоскости АВСD
(так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные
грани куба, в частности А№В№С№D№ и ABCD, параллельны по признаку
параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной грани соответственно
параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример.
Плоскость, содержащая параллельные прямые AA№ и СС№, пересекают
параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым АС и А№С№, значит, эти
прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В№С и А№D.
Следовательно, параллельные плоскости АВ№С и А№DC, пересекающие куб по
треугольникам.
III. Изображение пространственных фигур.
Есть такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно
рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к
изложенным выше рассуждениям, то окажется:
единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка
куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении обозначений.
С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя,
очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не
многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды.
Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его
придумать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру,
соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает
хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж
может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.
Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы
его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции. При
центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а
произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с
прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное
расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в
пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы.
Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см.
статью «Проективная геометрия»).
Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно
сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в
бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.
Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х
прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и
есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).
Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под
изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.
В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в
исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции)
точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными,
сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и
изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку
основного свойства параллельной проекции:
. Если АВ =k CD, а A№,B№,C№ и D№- проекции точек A,B,C и D, то
A№B№= k C№D№.
Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство —
совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если
задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и
изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX =
kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по
изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно
восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а
задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы
предопределяем изображения всех точек пространства.
В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника,
может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться:
проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а,
построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС
на ? вдоль прямой l = СС№ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный
прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в
параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм.
Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной
пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе
с соединяющими их отрезками.
Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём,
например, отношения, в которых треугольное сечение A№BD нашего куба (рис.
9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В№С№. Посмотрим
на куб со стороны бокового ребра ВВ№, а точнее говоря, спроектируем куб
вдоль прямой BD па плоскость АА№С№С. Понятно, что проекцией будет сам
прямоугольник АА№С№С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины
оснований (точки В и D совпадут;
рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а
точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем
рисунке A№Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства
параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция
позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка,
на которые он рассекается плоскостью A№BD: в частности, отрезок KQ, где К —
середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в
отношении 1:2. Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в
пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения
некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется
построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим
началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов
АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.
Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её
чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на
его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение
сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б;
кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из
произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость
ОАВ; получаем точки R№ и Q№. Плоскость искомого сечения пересекает
плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.
IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.
До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными
геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам
достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех
их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность
изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте,
нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие
перпендикулярности, известное из планиметрии.
Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через
точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.
Например, ясно, что ребро АА№ нашего куба перпендикулярно основанию
АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой
прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно
того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно
признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
. Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.
Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают
l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны
параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в
частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно
сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой
лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
. Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой
называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную
плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно
ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной
проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при
решении задач о расстояниях и углах в пространстве.
Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень
простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):
. Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а№ на плоскость перпендикулярна l.
Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не
перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому,
что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.
Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC№
на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх
перпендикулярах, и сама диагональ АС№ перпендикулярна BD. По такой же
причине перпендикулярны АС№ и А№В. Отсюда следует, что диагональ
перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.
В стереометрии помимо обычных плоских
углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-
вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися
прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен
углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая
и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из
углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между
пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами,
проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все
названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.
Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба
(рис. 14). Заменим прямую В№С на параллельную ей диагональ A№D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60° (треугольник
BA№D равносторонний). Угол между диагональю АС№ и основанием куба равен
углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg
(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями BDA№ и BDC№ (рис. 14)
равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№ и МС№ лежат в
этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное
вычисление даёт arccos (1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину
отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от
точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на
плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного
треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями,
очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой
плоскости (рис. 15, а).
Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися
прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?, параллельную прямой b
(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой b
на ? и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ
перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к
прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися
прямыми.
Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто
можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной
фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„'
ребром длины и: прямоугольник размером
а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или, что то же, вдоль
диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3
(проекция вдоль диагонали куба АС№; мы видели, что прямая АС№
перпендикулярна плоскости BDA№, а потому правильный треугольник BDA, со
стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции
можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ — он равен углу
между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние
r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С равно расстоянию
на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В и B№C — изображения первой и
второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что
общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти,
что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между
прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС№
превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до
BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.
Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её
проекции и угол между плоскостями:
. Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади
S многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:
Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с
линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой
многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные
фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива
и для них. V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.
ЗАДАЧА 1.
По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника,
расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и
сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении
нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?
ЗАДАЧА 2.
Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя
четырехугольными гранями и двумя треугольными?
ЗАДАЧА 3.
На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два
отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку
определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно,
то как?
ОТВЕТЫ.
1.
2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.
3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и
только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ,
либо они параллельны.
-----------------------
.C
Рис. 2
l
Рис. 1
.
.
A
B
Рис. 3
?
?
Рис. 4
С
В
А
D
C№
Рис. 5
D№
A№
B№
а
б
Рис. 6
?
D№
D
C
B
B№
A
A№
C№
Рис. 7
l
Рис. 8
Рис. 9
B№(=D№) Q
Р(=К’) B(=D)
М
А
А№
С
С№
R№
E
M
Q№
R
Q
С
О
А
В
Р
R
Q
С
О
А
В
Р
Рис. 10
l
?
a
a№
Рис. 11
B№
A№
C№
D№
D
C
B
A
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
A
b
b№
a
?
а
б
б
B№
B
A№
D№
C
D
A(=C№)
а
r
B№(=D№)
B(=D)
A
C№
C
A№
Рис. 16
?
h
Рис. 17
Рис. 18
B
C
A
Рис. 19
F
D
?
Рис. 20
E
?
РЕФЕРАТ
на тему:
«Геометрия в пространстве».
ученик 9 «А» класса гимназии № 6
Гейко Денис.
__________________
ПОДГОТОВИЛ:
ПРОВЕРИЛ:
Ежегодная научная пресс-конференция, гимназия №6, г. Хабаровск
2001 год.