Вариант № 7
[pic]
Задание:
1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.
2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.
3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.
4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.
5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.
1. Вводим новые переменные x ( Ax, y ( By, t ( Tt и переписываем систему:
[pic]
2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы
2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)
2. [pic]
P[pic]
3. [pic]
Q[pic]
3. Характеристики неподвижных точек
Запишем Якобиан нашей системы
[pic]
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом
портрете возможные области значений [pic].
а) точка О – сток, как было показано выше; б) точка Р[pic]:
[pic]
Область 1: [pic]
Область 2: [pic]
Точка Р – исток (неуст. узел)
Область 3: [pic]
Точка Р – седло в) точка Q[pic]:
Область 1: [pic]
Область 2: [pic]
Область 3: [pic]
[pic]
Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
Кроме того, при поиске собственных значений
Якобиана возникает уравнение
[pic]
Решение уравнения D