О курсе “Элементы теории Галуа”
Меньшикова Е.А., Шендеровский В.Г.
Всем,
кто учился в средней школе, приходилось решать алгебраические уравнения, т.е.
уравнения вида
anxn+an-1xn-1+…+a0=0,
где an, an-1,…, a0–некоторые числа.
Изучение
уравнений начинается во втором классе с решения уравнений первой степени
(линейных):
ax+b=0.
В
восьмом классе переходят к квадратным уравнениям, знакомятся с формулами корней
квадратного уравнения. В школьном курсе математики редко встречаются уравнения
третьей, четвертой и более высоких степеней. Как правило, их решают сведением к
линейным и квадратным уравнениям. Вероятно, многие задавались вопросом:
“Существуют ли столь же простые, как и для квадратного уравнения, или чуть
более сложные формулы вычисления корней уравнения более высоких степеней?”
Уже
несколько лет на нашем факультете читается курс “Элементы теории групп и теории
Галуа” (разработанный одним из авторов статьи), в рамках которого и дается
ответ на этот вопрос.
1.
О целесообразности курса
Естественно,
возникает вопрос: ”А зачем вести курс, который не входит в программу
педагогического университета?” Мы приведем ряд аргументов, доказывающих, на наш
взгляд, целесообразность чтения такого курса.
Преподавание
любого предмета (математики в особенности) предполагает элементы
исследовательской деятельности. При этом можно указать следующие направления
для исследований: поиск эффективных частных методик, создание новых учебников,
подготовка школьников к олимпиадам. Необходимость уделять большое внимание
выработке навыков научного исследования внутри математики вытекает из закона
психологии о переносе навыков. Возникнув сначала внутри математики, навыки
исследовательской деятельности будут перенесены в профессиональную сферу. В
силу этого важно пробудить у будущего учителя математики интерес к предмету,
привить ему навыки самостоятельной творческой работы, развить умение решать
нестандартные задачи и проблемы.
В
рамках данного курса рассматривается большое количество как задач на
вычисления, так и теоретических задач. Студенты имеют широкие возможности
испытать собственные силы в решении теоретических задач разного уровня
сложности: от задач “на определение” до задач, решение которых требует
использования комплекса результатов теорем, других задач, разного рода
технических приемов и немалой доли математической фантазии. Безусловно, далеко
не все предлагаемые задачи по плечу “среднему” и даже “хорошему” (в
общепринятом смысле этого слова) студенту, и существует опасность не только не
развить интерес к математике, но и прийти к противоположному результату.
Избежать
этого можно, разумно дозируя сложность задач, сочетая индивидуальный подход,
когда студентам разных способностей предлагаются для самостоятельного решения (исследования)
задачи соответствующего уровня, с коллективным обсуждением достаточно серьезных
проблем, когда выслушиваются и обсуждаются все предлагаемые идеи решения, и
когда преподаватель играет незаметную роль наблюдателя и лишь иногда вопросами
или замечаниями пытается интенсифицировать или изменить ход обсуждения. Можно
привести конкретные результаты, полученные за несколько лет преподавания
данного курса одним из авторов (Шендеровский В.Г.) Здесь и многообразие идей
(зачастую неожиданных) решения некоторых задач, и расширение списка упражнений
за счет сконструированных, сформулированных новых задач в процессе решения
других проблем. Было несколько случаев, когда удалось пробудить интерес к
математике у “закоренелых двоечников”, что позволяло им успешно завершить курс
обучения в университете (в чем они позднее признавались). Наконец, обсуждаемый
курс для значительного числа студентов стал первой ступенькой в самостоятельной
исследовательской работе, приведшей к написанию дипломных работ (например, второй
автор, Меньшикова Е.А., успешно защитила даже две работы, связанные с тематикой
курса), докладов, представленных на научные студенческие конференции, областные
конференции и конкурсы научных работ молодых ученых, а в ряде случаев
(Меньшикова Е., Казусев А., Масленников Н., Сидорова Л.) –к продолжению
обучения в аспирантуре ЯГПУ.
Несомненным
достоинством курса является его цельность. По существу весь курс посвящен
доказательству одной “школьной” теоремы, объясняющей, условно говоря, почему мы
умеем решать квадратные уравнения и не умеем решать уравнения 5-ой степени. Эта
теорема (теорема Абеля) является и источником, и конечной целью исследования. И
в рамках небольшого курса удается пройти весь путь: от постановки задачи до
получения красивого конечного результата.
Изучение
теории Галуа в педагогическом университете обеспечивает преемственность между
школьным и вузовским курсами математики.
Во-первых,
как указывалось выше, одной из основных при изучении математики в школе
является линия уравнений. Однако для уравнений четвертой степени и большинства
уравнений третьей степени совсем не ясно, чем объясняется их разрешимость в
радикалах, да и формулы Кардано и Феррари выводятся довольно искусственными
преобразованиями. Теория Галуа позволяет обосновать разрешимость данных
уравнений в радикалах и отсутствие общей формулы для корней уравнения степени
пять и выше.
Во-вторых,
многочисленные примеры полей, рассматриваемые при изучении данного курса, прямо
или косвенно связаны с содержанием школьного курса математики (так решения
практически всех квадратных уравнений из школьного учебника являются элементами
квадратичных расширений поля рациональных чисел).
В-третьих,
подробное изучение групп симметрий (самосовмещений) многогранников и
многоугольников позволяет углубить знания студентов о свойствах геометрических
объектов.
В-четвертых,
значительное место в школьном курсе геометрии занимают задачи на построение
геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Обоснование
возможности/невозможности таких построений и проводится в данном курсе.
Наконец,
вопросы, рассматриваемые в данном курсе, органично входят в программу курса
“Алгебра и теория чисел”. Здесь активно используются и развиваются понятия,
результаты, полученные в других разделах: линейная алгебра, теория чисел,
теория многочленов. Например, такое математическое понятие как группа, впервые
рассматриваемое на I курсе в разделе “Линейная алгебра”, здесь становится
центральным объектом исследования. При решении ряда задач по теории групп
активно используются знания, полученные студентами в рамках курса “Теория
чисел” (III семестр). Раздел “Элементы теории Галуа” является логическим
продолжением курса “Алгебра многочленов” (IV семестр). Таким образом, чтение
обсуждаемого курса позволяет повторить и закрепить ранее изученный материал.
2.
О структуре курса
Данный
курс охватывает следующие темы: основные понятия теории групп и теории полей,
теория Галуа и разрешимость алгебраических уравнений в радикалах.
Большое
внимание уделяется теории групп как одной из самых развитых и важных областей
алгебры. В этом разделе формируются понятия, идеи и методы, которые
используются как в самой математике, так и за ее пределами –в топологии, теории
функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и
естествознания. В рамках данного курса изучаются начальные разделы теории
групп, излагаемые на базе общих понятий. Все рассматриваемые понятия
иллюстрируются большим числом простых, в значительной части геометрических
примеров. Развивая понятие группы, рассматриваются такие вопросы, как
циклические группы, подгруппы и нормальные делители, коммутант и разрешимость
групп, симметрические группы.
Вторая
часть курса посвящена изучению теории Галуа. Студенты знакомятся с основными
определениями и фактами из теории полей, рассматривается доказательство
основной теоремы Галуа и вопрос о разрешимости алгебраического уравнения в
радикалах (показывается, что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна
разрешимости его группы Галуа; доказывается разрешимость общего алгебраического
уравнения степени не выше 4 и теорема Абеля). На практических занятиях студенты
строят соответствия Галуа конкретных расширений, вычисляют группы Галуа
уравнений. Особенно подробно рассматриваются уравнения 3-й и 4-й степени:
доказывается ряд утверждений, с помощью которых вычисляются группы Галуа как
уравнений с конкретными числовыми коэффициентами, так и некоторых типов
уравнений.
В
качестве иллюстрации к вышесказанному приведем фрагмент курса.
Список литературы
Меньшикова
Е.А. Сборник задач по курсу алгебры (V-VI семестры)// Тезисы конференции
молодых ученых. - Ярославль: ЯГПИ, 1998.
Шендеровский
В.Г. Элементы теории групп и теории Галуа. - Ч.1 - Ярославль: ЯГПИ, 1991.
Шендеровский
В.Г. Элементы теории групп и теории Галуа. - Ч.2 - Ярославль: ЯГПИ, 1992.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.yspu.yar.ru