Подъем инвариантов классических групп
А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический
университет, кафедра алгебры
Пусть
G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D,
над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n)
канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное
действие группы G на - m
экземплярах пространства матриц M(n)
сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов
In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место
естественный эпиморфизм , который
индуцирован каноническим отображением , где тогда и только
тогда, когда , или (для
симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне
"центрального" -блока). На
остальных местах отображение тождественно.
Все
необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ),
можно найти в [5].
Мы
будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть .
Cлучай
B, D. Мы будем предполагать, что . Подходящим
образом изменяя базис, мы можем считать, что . Более того,
так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что .
Пара
аффинных G-многообразий (G -
произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G- модули
с ХФ. Здесь IV - это идеал . Пусть
W=M(n), V= C(A)=CG(A), где . Наша задача
сейчас - показать, что и, что - хорошая пара.
Нетрудно
проверить, что g-1Ag = En + (a-1)(xij),
где xij = g1ig1j, g=(gij), En - единичная матрица. Обозначим через M(n)r
множество матриц ранга , а через S -
подпространство симметрических матриц в M(n).
Лемма
1. Класс сопряженности V совпадает с , где T - это
множество всех матриц, удовлетворяющих условиям .
Обозначим
множество через L
Доказательство.
Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида
(xiyj), где независимо
пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть и лежит в . Тогда xiyj =
yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь . Тогда из
xi0yj0 = yi0xj0 следует, что . Далее, если
xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0
тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов
отношение xi/yi является константой. Обозначим ее t. Переходя к параметрам
xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в
уравнения определяющие T и используя то, что , мы получим,
что . Достроим
cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и
расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g.
Ясно, что , и g-1Ag = En
+ (a-1)z. Таким образом, . Обратное
включение очевидно.
Поскольку
, то мы можем
воспользоваться леммой 1 () [7] и
заключить, что , если
докажем, что нормальное
многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому
достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из
сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу является
доминантным. В частности, мы имеем вложение . Образ этого
вложения порожден элементами xixj. Алгебра имеет
градуировку , где R0 -
подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной. Элемент однороден
относительно этой градуировки, поэтому "наследует"
градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0.
Ранг якобиана равен 1 по
крайней мере на , и . По критерию
Серра ([6] , теорема
5.8.6), K[Sn] нормально (). Пусть
теперь - целый над
R0. Так как , то и .
Следовательно, , то есть , откуда z1=0.
Согласно
предложению 6.7 [2], чтобы доказать, что (
отождествляется с , где ZG(A) -
централизатор элемента A, достаточно проверить, что дифференциал сюръективен.
Однако . Используя
формализм с двойными числами [8], имеем: . Таким
образом, . Отсюда ясно,
что образ имеет ту же
размерность n-1. Итак, . Отметим еще
для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый
"нижний" -угол - это
произвольная матрица из G(n-1), а в первом столбце и первой строке везде стоят
нули, кроме начала, где коэффициент равен .
По
тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M(n), L) - хорошая
пара. Согласно лемме 1.3(a) [4], можно рассмотреть "башню" и проверить
каждый "скачок". Рассмотрим сначала . Мы имеем
коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) диаграмму:
где вертикальные стрелки - это просто
включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим "дуальную"
диаграмму:
В
первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во второй
- вложения. Отсюда ясно, что можно
отождествить с (в принятых
выше обозначениях). Здесь I - идеал, порожденный элементом f. Из тех же
градуировочных соображений ясно, что . Осталось
отметить, что f G-инвариант и, следовательно, G-модуль изоморфен R0.
То, что R0 с ХФ, будет следовать из того, что - хорошая
пара.
Пусть
теперь по правилу . Ясно, что -эквивариантное
отображение, где K* = GL(1) действует по правилу . Напомним,
что отображение G-многообразий называется
факторным, если сюръективно и . Хорошо
известно, что K*-факторное
отображение [4]. Обозначим через . Покажем, что
(U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL(n)-модули с ХФ в
G-модули с ХФ. Алгебра изоморфна как -модуль (Kl -
это одномерный K*-модуль с весом l). Хорошо известно, что GL(n)-модуль Sk(E(n))
с ХФ [9]. По теореме Донкина-Матье, K[U] -модуль с ХФ.
Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G. Представим
алгебру K[U] в виде .
Отождествление происходит по правилу , где - стандартный
базис E(n), а f1,f2 - E(2). Cогласно [1], имеет -фильтрацию c
факторами , где - функтор
Шура, пробегает все
разбиения с . Нетрудно
заметить, что идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации,
где . Поскольку без кручения
[3], то . В частности,
IB с ХФ как G-модуль, а значит, и как -модуль. В
итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из [4]. А
это значит в частности, что - хорошая
пара. Осталось заметить, что (M(n), M(n)1) - хорошая GL(n)-пара по [4].
Согласно сказанному выше, это также хорошая G-пара. В частности, хорошей
G-парой будет , что и
требуется.
Случай
C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце
повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A
остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние
строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны
и пробегают K*. Кроме того, "серединный" -квадрат лежит
в G(n-2)=Spn-2(K). Далее, легко проверить, что класс сопряженности C(A)
совпадает с En + (a-1)L, где . В частности,
он уже замкнут. Проверка того, что отождествляется
с факторным совершенно
аналогична. Здесь , образ Lie(G)
состоит из матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только
коэффициенты первой строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и
поэтому размерность образа тоже равна 2n-2. Наконец, (M(n), L) - очевидно
хорошая пара. Достаточно рассмотреть башню и использовать
то, что tr(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом случае
характеристика поля произвольна.
Пусть
теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы
2 из [5], мы получим эпиморфизм ,
индуцированный (на остальных
общих матрицах отображение тождественно). Разбив матрицы из M(n) на блоки в
соответствии с блочным "строением" группы ZG(A), мы видим, что
пространство M(n) изоморфно (так как ZG(A)-многообразие) в
ортогональном случае и в
симплектическом. Здесь K и K4 тривиальные модули, а на En-1 (соответственно на
En-2) ZG(A) действует как G(n-1) (G(n-2)) c точностью до умножения на скаляр.
Отсюда ясно, что каноническое отображение (), даст
эпиморфизм (). Пусть Rn,m
- Q-алгебра, порожденная следами от всевозможных произведений общих матриц, или
транспонированных к ним (в случае C - симплектически транспонированных).
Лемма
2. Суперпозиция описанных выше отображений - это просто и затем -
каноническое на остальных матрицах.
Доказательство.
К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам
привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что In,m
порождается элементами из После этого
утверждение леммы очевидно, ведь произведение матрицы A на матрицы Xi(n), у
которых приравнены нулю коэффициенты левого верхнего "угла" (или
"окаймления" в случае C), дает тот же результат, что и произведение
единичной матрицы.
В
силу сделанного выше замечания о порождающих In,m специализация отображает
In,m+1 в In,m. Отсюда уже легко получается основная теорема.
Теорема.
Каноническое отображение алгебры K[M(n)m] в K[M(n-1)m] ( в случае C)
индуцирует эпиморфизм колец инвариантов.
Список литературы
Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J.
Shur functors and Shur complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207-278 (1982).
Борель
А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972.
De Concini C., Procesi C. A
characteristic free approach to invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21.
P. 330-354.
Donkin S. The normality of conjugacy
classes of matrices// Inv. Math., Vol.101. P.717-736 (1990).
Donkin S. Invariants of several
matrices// Invent. Math. Vol.110. P.389-401 (1993).
Grotendick A., Dieudonne J. Elements
de geometrie algebriques// Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960-1967.
Grosshans F. Observable subgroups
and Hilbert's fourteenth problem// Am.J. Math. 95. P.229-253 (1973).
Humphreys J.E. Linear algebraic
groups/ Springer Verlag. 1975.
Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor
products of exterior powers and Procesi hypothesis// Commun. in Algebra.
22(15). 6385-6399 (1994).
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/