Две замечательные
теоремы планиметрии.
Мендель В.В.
,
доцент кафедры геометрии ХГПУ
В
этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая.
Эти
теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство
авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие)
считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы.
Замечательным
свойством теоремы Чевы является то, что она может служить отправной точкой при
повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью
легко доказываются следующие свойства:
1. медианы треугольника пересекаются в одной
точке;
2. высоты треугольника пересекаются в одной
точке;
3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы
одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной
точке;
В
С1 А1
В1
А
С
рисунок
1. а) (прямая пересекает две стороны и продолжение третьей)
4.
отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или
вневписанной) окружности пересекаются в одной точке.
Кроме того, авторы предлагают для
самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих
использование теоремы Чевы.
К сожалению, задач, предполагающих применение
теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно.
Одна из целей данной статьи: показать, как
эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень)
геометрических задач.
Формулировки
теорем Чевы и Менелая.
В
А
С В1
А1
С1
рисунок
1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон)
Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках
приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием
направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся
формулировки и доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные
для восьмиклассников.
Теорема
Менелая.
Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на
одной прямой тогда и только тогда, когда:
(*)
на
рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника.
Доказательство:
Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то
имеет место утверждение (*).
Будем рассматривать случай, соответствующий
рис.1 а).
Опустим
из вершины треугольника перпендикуляры АН1, ВН2 и СН3 на прямую А1 B1.(см.
рис.2)
В
Н1
Н2
С1
А1 Н3
А С В1
рисунок
2
Мы
получили три пары подобных прямоугольных треугольников А Н1С1 и В Н2С2, В Н2А1
и С Н3 А1, С Н3B1 и А Н1 B1.
(У
первых двух пар равны верти-
кальные
углы при вершинах С1 и А1 соответственно, у третьей пары общий угол с вершиной
B1). Запишем отношения, вытекающие из этих подобий:
; ; .
Легко заметить, что произведение левых частей
трех этих равенств равно единице. Отсюда следует, что произведение правых
частей также равно единице. Что и соответствует утверждению (*).
Обратное утверждение удобно доказать методом “
от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и
С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то
точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место
формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство: в силу предположения, то же равенство
выполняется и для отрезков АС1 и С1В:
.
Таким образом, точки С1 и С2 делят отрезок АВ
в одном и том же отношении. Отсюда вытекает интуитивно ясное (хотя и не столь
очевидно доказуемое) противоречие: нет двух различных точек, делящих один и тот
же отрезок в одном и том же отношении(грубо говоря, у одного отрезка не может
быть двух различных середин).
Доказательство для случая, соответствующего
рис.1 б) аналогично.
Теорема
Чевы.
Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка В1О АС, точка С1 О АВ. Прямые АА1, ВВ1 и СС1
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:
(**)
На рис.3 а) и б) показаны различные возможные
варианты расположения точек на прямых АВ, АС и ВС.
В
С1
А1
О
А
В1
С
рисунок
3 а)
Доказательство:
(прямая теорема)
Запишем теорему Менелая для треугольника АВВ1
и прямой С1О(С): (1)
проделаем
тоже для треугольника В1ВС и прямой А1О(А):
(2)
В
А
В1 С
О
С1 А1
рисунок
3 б)
Перемножив левые части равенств (1) и (2) и
сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**).
Обратное утверждение доказывается методом “ от
противного“ также, как и в теореме Менелая.
Некоторые
рекомендации по применению теоремы Менелая
для
решения задач.
Одним из замечательных свойств геометрических
задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик
школьников и абитуриентов, которым предлагается решить конкурсную(или
олимпиадную) задачу, а метод решения не подсказан.
Итак, в каких случаях уместно применить
теорему Менелая? Имеет смысл рассмотреть возможность применения этой теоремы
если в условиях задачи:
1)
идет речь об отношениях отрезков(иногда завуалированном: доказать равенство
отрезков, доказать что точка является серединой отрезка и т.п.);
2)
если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник
и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).
Конечно есть случаи когда применение теоремы
Менелая в решении не очевидно и требует дополнительных построений.
Заметим также, что иногда полезно применять
обратную теорему (в частности, если нужно доказать, что какие-то точки лежат на
одной прямой).
Примеры
решения задач.
Начнем с достаточно простых.
1.
Площадь треугольника АВС равна S. Отрезок АМ поделил сторону ВС в отношении ВМ:МС=4:3, а отрезок ВN поделит
сторону АС в отношении АN:NС=5:3. Найдите площадь
четырехугольника NKМС (K-точка пересечения АМ и ВN).
Решение:
SMKNC=SBNC-SBKM.
Поэтому нам нужно найти площади треугольников NВС и KВМ(выразить их через S).
Площадь первого из них найти просто: так как N делит сторону АС как 3:8. А так как у треугольников
АВС и NВС высоты из В совпадают, то SNBC=SABC=S. Найдем
теперь SBKM. Так как треугольник NВС и ВKМ имеют общий угол В, их площади
относятся как произведения сторон, прилежащих к вершине В: SBKM:SNBC=(BKЧBM):(ВNЧBC)=BK/BNЧBM/BC.
Второе
отношение легко найти из условия задачи: ВМ:ВС=4:7.
Для того, чтобы найти отношение ВK:ВN воспользуемся теоремой
Менелая: запишем её для треугольника NВС и точек М, K и А:
Второе
и третье отношения нам известны, подставим их:
и
Подставив
найденные отношения в приведенную выше формулу, получим:
,
зная площадь треугольника NВС (S) находим площадь
треугольника ВKМ:
Теперь
легко найти SMKNC: SMKNC= SBNC-SBKM=S-S=S.
Для
самостоятельного решения можно предложить аналогичную задачу в более сложной
редакции.
2.
Площадь треугольника АВС равна S. Отрезки, проведенные из вершины В поделили
сторону АС в отношении 1:2:3 (считая от А ). Отрезки,
проведенные из вершины С, поделили сторону АВ в отношении 2:3:4 ( считая от А ). Найдите
площадь четырехугольника, который “вырезали” из треугольника АВС четыре данных
отрезка.
Следующая задача была предложена И.Ф.
Шарыгиным во втором туре олимпиады в 1995 году для решения учащимся 10-11
классов.
3.
Вокруг четырехугольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD
пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD в точке K (точки В и D лежат на
отрезках АМ и АK соответственно). Пусть Р- проекция точки М на прямую АМ.
Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.
Решение:
Совершенно естественным будет рассмотреть треугольник АDВ и
М
В
L Q С
А Д К Р
рисунок
4
прямую
LQ(P). Запишем теорему Менелая:
Напомним,
что РА+РC=РВ+ РD =180°.
Выразим отрезки АL и LD через перпендикуляр
KL: АL=KLЧctgРD. Отсюда
Теперь
выразим отрезки ВР и РА через МР: BP=MPЧctgРA (из D AMP),
BP=MPЧctgРMBP=MPЧctg(180°-РB)=MPЧctgРD (из D MBP).
Отсюда
рисунок
5
Подставив найденные отношения в полученную
выше формулу имеем:
откуда
что и требовалось доказать.
(Авторское
решение построено на рассмотрении групп подобных треугольников).
В
заключение вниманию читателей представляется задача, предложенная в этом году
на краевой олимпиаде.
4.
На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF
пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FЕ.
Решение:
запишем теорему Менелая для треугольника САF и прямой DЕ(В):
т.к.
СD=DА и АЕ=ВС, то получаем: FВ:ЕF=1 или FВ=ЕF. Что и
требовалось доказать.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru