УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Факультет: Бизнес, Маркетинг, Коммерция
Дисциплина: Финансовая математика
Ф.И.О. студента: Спрыжков Игорь Максимович
Курс: 3. Семестр: 5.
Дата сдачи: _____________________
Ученая степень преподавателя: _______________________________________
Ф.И.О.: Осташкин С.В.
Оценка: _________________________ Подпись: _________________________
Дата проверки: __________________
Задача 1. Капитал величиной 4000 денежных единиц (д.е.) вложен в банк на
80 дней под 5% годовых. Какова будет его конечная величина.
Решение.
Способ 1.
[pic],
K’ = K + I = 4000+44=4044, где K – капитал или заем, за использование которого заемщик
выплачивает определенный процент;
I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за
пользование денежной ссудой; p – процентная ставка, показывающая сколько д.е. должен заплатить
заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за
год); d – время, выраженное в днях.
360 – число дней в году.
Способ 2.
Время t = 80/360 = 2/9.
K’ = K + K(i(t = 4000(1 + 0.05(2/9) = 4044, где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы, t – время, выраженное в годах.
Задача 2. На сколько лет нужно вложить капитал под 9% годовых, чтобы процентный платеж был равен его двойной сумме.
Решение
2(K = I.
2(K = K(9(g/100, g = 2(100/9 = 22.22
Задача 3. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д.е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).
Решение
Таблица 1
План погашения кредита (амортизационный план)
|Месяц |Долг |Процентный |Выплата |Месячный |
| | |платеж |долга |взнос |
| |6000 |10% | | |
|1 |5000 |50 |1000 |1050 |
|2 |4000 |42 | |1042 |
|3 |3000 |33 | |1033 |
|4 |2000 |25 | |1025 |
|5 |1000 |17 | |1017 |
|6 |( |8 | |1008 |
| | |175 |6000 |6175 |
Объяснение к таблице
Месячная выплата основного долга составит:
K / m = 6000/6 = 1000.
Месячный взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и
процентного платежа для данного месяца.
Процентные платежи вычисляются по формуле:
[pic], где I1 – величина процентного платежа в первом месяце; p – годовая процентная ставка, %.
Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:
[pic]=175.
Общая величина ежемесячных взносов:
[pic]=1029.
Задача 4. Вексель номинальной стоимостью 20000 д.е. со сроком погашения
03.11.95. учтен 03.08.95 при 8% годовых. Найти дисконт и дисконтировать величину векселя.
Решение
Так как нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по
формуле:
[pic]=409, где Kn – номинальная величина векселя; d – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя;
D – процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).
Дисконтированная величина векселя равна разности номинальной стоимости
векселя и дисконта (процентного платежа):
20000 – 409 = 19591.
Задача 5. Пусть в банк вложено 20000 д.е. под 10% (d) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет:
а) 3 месяца;
б) 1 месяц.
Решение
При декурсивном (d)расчете сложных процентов:
Kmn = K(Ip/mmn, Ip/m = 1 + p/(100(m), где Kmn – конечная стоимость капитала через n лет при p% годовых и
капитализации, проводимой m раз в год. а) K = 20000(I2.54 = 20000((1 + 10/(100(4))4 = 20000(1.104 = 22076
д.е. б) K = 20000(I10/1212 = 20000((1 + 10/(100(12))12 = 20000(1.105 =
22094 д.е.
При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:
Kmn = K(Iq/mmn, Iq/m = 100m/(100m - q), где q – годовой прцент. а) K = 20000((100(4/(100(4 – 10))4 = 20000(1.107 = 22132 д.е. б) K = 20000((100(12/(100(12 – 10))12 = 20000(1.106 = 22132 д.е.
Задача 6. Номинальная годовая ставка – 30%. Найти уравнивающую процентную ставку при начислении сложных процентов каждые 3 месяца.
Решение
[pic]= 6.779%.
Задача 7. По одному из вкладов в банке в течение 20 лет накоплено
200 000 д.е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (d) составляет 8%.
Решение
K0 = Kn(r-n = Kn(II8%20 = Kn((1 + p/100)-n = 200000((1 + 8/100)-20 =
= 200000(0.21454 = 42909 д.е., где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный коэффициент.
Задача 8. Каждые три месяца в банк вкладывается по 500 д.е. Какова будет совокупная сумма этих вкладов в конце 10-го года при процентной ставке 8% и годовой капитализации.
Решение
Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную
уравнивающую ставку:
[pic]=1.9427%
Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:
Svmn = u([pic], где rk = 1 + pk/100, где v – число вкладов в расчетном периоде, n - число лет, m – число капитализаций в год. тогда rk = 1 + 1.9427/100 = 1.0194
S4(10 = 500([pic] = 500(60.8157 = 30407.84 д.е.
Задача 9. Насколько увеличатся годовые вклады по 2 000 д.е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.
Решение
[pic], u1 = u(I2%4 / III2% = 2000(1.0824 / 4.204 = 514.93 д.е.
Snm = 514.93(III2%3(4 + 2000 = 514.93(13.6803 + 2000 =
= 9044.41 д.е.
Задача 10. Пусть первый вклад в банк составляет 2000 д.е., а каждый последующий уменьшается на 100 д.е. по отношению к предыдущему.
Найти величину вкладов в конце 10-го года, если они производятся ежегодно, постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация ежегодная.
Решение
[pic]
Задача 11. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов постнумерандо по 5000 д.е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.
Решение
При ежегодной капитализации:
C0 = a(IVpn = 5000(IV8%10 = 5000(6.71=33550
Задача 12. Пусть величина займа равна 20000 д.е. Амортизация осуществляется одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет при 2% годовых. Найти величину выплаты задолженности за второй и третий годы, если капитализация процентов производится ежегодно.
Решение
Таблица 2
План погашения займа (амортизационный план)
|Год |Долг |Процентный |Выплата |Аннуитет |
| | |платеж |долга | |
|1 |20000 |400 |1826.53 |2226.53 |
|2 |18173.47 |363.47 |1863.06 | |
|3 |16310.41 |326.21 |1900.32 | |
Пояснения к таблице
Аннуитет вычисляем по формуле: a = K(Vpn = 20000(V2%10 = 20000(0.1113 = 2226.53 д.е.
Чтобы определить выплату задолженности b1, вычисляем величину
процентного платежа I:
I1 = K1(p/100 = 20000(2/100 = 400 д.е.
Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и
процентным платежом: b1 = a – I1 = 2226.53 – 400 = 1826.53 д.е.
Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д.е.
Остаток долга равен:
K2 = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д.е.
Вычислим процентный платеж на остаток долга:
I2 = 18173.47(2/100 = 363.47 д.е.
Вторая выплата составит: b2 = a – I2 = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д.е.
Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:
K3 = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д.е.
Далее
I3 = 16310.41(2/100 = 326.21 д.е.
Третья выплата задолженности составит: b3 = a – I3 = 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д.е.
Список использованной литературы
1. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-
банковских расчетов. – М.: Финансы и статистика, 1994.