(C) В. И. Лобанов, к. т. н. РУССКАЯ ЛОГИКА. ПРЕДИСЛОВИЕ.
Все, о чем далее будет идти речь(комплементарная логика, решение логических уравнений, русская силлогистика, силлогистика Аристотеля-Жер гонна, общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известно мировой науке. Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти ку, устраняет множество ненужных правил, законов, излишних терминов, упро щает до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов, процедуру реше ния логических уравнений. По существу произведена революция в логи ке, требующая в том числе коренной перестройки преподавания этой осно вополагающей дисциплины. Я обвиняю весь мир в логической безграмотнос ти, поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное крайне критически и обязательно проверять с точки зрения здравого смысла и математики. Мой доклад на 5-й Общероссийской конференции по логике[13] не вызвал ни одного критического замечания, но и никакой реакции за ис текшее время не последовало.
Автор - инженер, разработчик бортовых и наземных цифровых систем управления, поэтому вполне естественно стремление внедрить инженерные методы в гуманитарную логику. Буду весьма признателен всем оппонентам за конструктивную критику. КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА. БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ
Наиболее важным разделом логики является силлогистика. Она является фундаментом искусственного интеллекта(ИИ), построение которого станет одной из главнейших задач 21 века. По уровню решения проблем ИИ судят о научном потенциале страны. Россия в настоящее время утратила лидерство в данной области. Решение проблем силлогистики, а значит и задач ИИ, поднимет престиж русской науки.
Силлогизмом называется умозаключение, в котором из двух данных суждений(посылок), связанных общим(средним) термином, получается третье(вывод, или заключение). Общеизвестное высказывание "в огороде бу зина, а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствия среднего термина. Народная мудрость очень точно и образно определила самую суть силлогизма.
Гуманитарная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как своим несоответствием Аристотелевой логике[1, 3-6, 9-15, 18, 21], так и полным отсутствием математического(инженерного) аппарата для решения задач силлогистики. Введение кванторов не устранило этих проблем(а нуж ны ли кванторы? ). Поэтому предпринимались и предпринимаются попытки ре визии аристотелевой силлогистики. Особенно интересны и перспективны с точки зрения решения задач анализа и синтеза силлогизмов работы русс ких логиков[6, 9, 18].
Консервативность, вопиющая и воинствующая безграмотность гумани тарной логики(яркий пример - позиция МГУ) породили антагонизм между нею и инженерной логикой, успешно решающей практические задачи фор мального синтеза конечных автоматов. Очевидно скептицизм Льюиса Кэррола по поводу "так называемых логиков" не утратит своей остроты и в 21 ве ке. Известный английский ученый(философ, логик, математик), автор осново полагающего труда по математической логике "Основания математики" Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство мыслить" гово рил: "Не изучайте традиционную формальную логику. Во времена Аристотеля это было великое достижение, каким была Птолемеева астрономия. Изучать то или другое в наши дни - это смешной антиквариантизм". Архаизм гума нитарной логики проявляется не только в силлогистике, но и в логике суждений: доказательство различных законов ведется не анлитически, а в лучшем случае на основе таблиц истинности[7, 8]. Хотя все пространные рассуждения при доказательстве указанных законов укладываются в од ну-две строчки аналитического текста. Произошло перерождение математи ческой логики в болтологику. Многие современные болтологики сдают Арис тотеля в исторический архив. Но прежде нужно решить проблемы Аристоте ля, а уж потом отправлять его в отставку. Поскольку до сих пор в гумани тарной силлогистике ничего не изменилось, попробуем ввести формальный математический аппарат анализа и синтеза силлогизмов.
Для выражения любого умозаключения или посылки в логике здравого смысла достаточно двух конструкций(в скобках представлена краткая фор ма записи суждений) : 1)Все X суть Y(Axy); 2)Некоторые X суть Y(Ixy);
Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения(сил логистических функтора): 1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор; 2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор; 3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор;
4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор. В логике здравого смысла общеотрицательный функтор Exy может быть заменен на общеутвердительный "Все Х суть не-Y", а Oxy является отрица нием для Ixy.
Из кругов Эйлера на основе методов минимизации логических функ ций[15] можно получить следующие соотношения: Axy = (xy')' = x'+y Exy = (xy)'= x'+y'
Здесь и далее апостроф означает отрицание. Физический смысл функ торов Аху и Еху ни у кого не вызывают сомнений. Что касается суждений Ixy, Oxy, то здесь сложилась спорная ситуация. Здравый смысл и булева ал гебра утверждают, что Oxy = (Ixy)', а в традиционной логике[8] Oxy =(Axy)' и Ixy = (Exy)', что отнюдь не бесспорно и не убедитель но. Кроме того частноотрицательное суждение вообще не имеет самостоя тельного смысла, поскольку является тривиальным отрицанием частноутвер дительного высказывания.
Попытаемся прояснить содержательный смысл функтора Ixy. Круги Эй лера не в состоянии отобразить все нюансы такого суждения. Поскольку логические аргументы представляют из себя скаляры, максимальная длина которых не может превышать "полной единицы"(универсума), т. е. x+x'=1, введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйле ра. Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересече ния множеств X и Y, но и отмечает различные ситуации этого пересечения. Для перехода от скалярных диаграмм к аналитическому представлению функторов требуется введение алгебры общеразговорной логики. Общеразго ворная логика четырехзначна. Значения данной логики имеют следующий смысл: 0-нет, i-может быть, j-не может быть никогда, 1-да. Такая вновь вве денная четырехзначная комплементарная логика адекватно отображает ло гику человеческого мышления и описывается следующими базовыми функция ми И, ИЛИ, НЕ: -----T---T-----T-----T----T---T-----T-----¬ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ i0 ¦ j ¦ 0 ¦ i ¦ ¦ 0j ¦ 1 ¦ 0 ¦ j ¦ ij ¦ j ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ 0i ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ ii ¦ j ¦ i ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ i1 ¦ j ¦ i ¦ 1 ¦ +----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+ ¦ j0 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ 10 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ ¦ jj ¦ i ¦ j ¦ j ¦ 1j ¦ 0 ¦ j ¦ 1 ¦ ¦ ji ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1i ¦ 0 ¦ i ¦ 1 ¦ ¦ j1 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 11 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ L----+---+-----+-----¦----+---+-----+-----
На комплементарную логику распространяются все законы обычной двоичной логики, в том числе формула де Моргана и закон двойного отри цания. Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от ми нимизации в двузначной логике[12]. Весь аппарат комплементарной логики был проверен на решении логических уравнений[14].
Используя алгоритм "Селигер"[14], можно получить полную систему обратных функций для двоичной логики. В нижеприведенной таблице дана полная система прямых функций двоичной логики.
-----T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---¬ ¦ xy ¦ z0¦ z1¦ z2¦ z3¦ z4¦ z5¦ z6¦ z7¦ z8¦ z9¦z10¦z11¦z12¦z13¦z14¦z15¦ +----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ ¦ 00 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ L----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+--- Перестановкой столбцов y и z построим таблицы истинности для пол ной системы обратных функций.
-----T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---¬ ¦ xz ¦ y0¦ y1¦ y2¦ y3¦ y4¦ y5¦ y6¦ y7¦ y8¦ y9¦y10¦y11¦y12¦y13¦y14¦y15¦ +----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ ¦ 00 ¦ i ¦ i ¦ i ¦ i ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ ¦ 01 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ i ¦ i ¦ i ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ j ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ j ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ j ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ j ¦ ¦ 11 ¦ j ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ L----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+--- Откуда получаем полную симметричную систему обратных функций : y0 = iz'+jz y1 = xz+ix'z'+jx'z - логическое деление y2 = xz'+ix'z'+jx'z y3 = i(xz+x'z')+j(xz'+x'z) y4 = x'z+ixz'+jxz y5 = z y6 = xz'+x'z y7 = x'z+ixz+jxz' - логическое вычитание y8 = x'z'+ixz'+jxz y9 = xz+x'z' y10 = z' y11 = x'z'+ixz+jxz' y12 = i(xz'+x'z)+j(xz+x'z') y13 = xz+ix'z+jx'z' y14 = xz'+ix'z+jx'z' y15 = iz+jz' Базис силлогистики
Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты представления суждений Axy, Exy, Ixy. Суждение Oxy получается автомати чески из Ixy, поскольку является его отрицанием. Все x суть y(Axy).
1. Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр ной диаграмме, по которой заполнена таблица истинности. -----T---¬ ¦ xy ¦Axy¦ x x' +----+---+ ===========---------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ y y' ¦ 01 ¦ 1 ¦ ==============------- ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+--- По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy: Axy = (xy')' = x'+y (Axy)' = xy'
Кстати, впервые аналитическое представление для Аху вывел на базе рекурсии великий русский логик П. С. Порецкий при решении логических уравнений[17], но никто из болтологиков не заметил этого научного дос тижения. На основе полученного соотношения можно обратиться к уточнению смысла импликации. Дело в том, что x->y = x'+y = Axy. Но отсюда следу ет, что, если х - истинно, то у - также истинно, поскольку "Все х суть у". 2. Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации. Вто рая комбинация аргументов x, y изображена на диаграмме. x' x -----T---¬ ----------=========== ¦ xy ¦Axy¦ y' y +----+---+ a)-----================ ¦ 00 ¦ i ¦ y ¦ 01 ¦ 1 ¦ b)===================== ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---
Ситуация b, представленная на рисунке, может быть проиллюстрирована следующим высказыванием: "Все люди(x) смертны(y)". Это справедливо при условии, что "мир"(универсум)-все живые существа, т. к. все живое-смертно. С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет вид: Axy = y+ix'y' (Axy)' = xy'+jx'y'
3. Третий вариант суждения Axy изображен на нижеприведенных ска лярных диаграммах. По сравнению со вторым вариантом здесь добавлено суждение "x эквивалентно y". x' x -----T---¬ ----------=========== ¦ xy ¦Axy¦ y' y +----+---+ a)-----================ ¦ 00 ¦ i ¦ y ¦ 01 ¦ i ¦ b)===================== ¦ 10 ¦ 0 ¦ y' y ¦ 11 ¦ 1 ¦ c)----------=========== L----+---
Для ситуации "c" справедливо высказывание "Все люди(x) владеют словом(y)". Если весь "мир" - живые существа, то понятия "люди" и "гово рящие живые существа" эквивалентны. Из таблицы получаем следующее соот ношение: Axy = xy+ix' (Axy)' = xy'+jx' 4. Этот вариант соответствует базису Аристотеля[19]. x ===========---------- -----T------¬ y1==============------- ¦ xy ¦ Axy ¦ y2===========---------- +----+------+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+------ Axy = xy+x'y'+ix'y (Axy)' = xy'+jx'y
Эти четыре варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций, но в силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргумен тов не являются решающими. Ни один x не есть y(Exy).
1. Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах. -----T---¬ x x' ¦ xy ¦Exy¦ ===========---------- +----+---+ y' y ¦ 00 ¦ 1 ¦ -------------======== ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ L----+--- Exy = (xy)' (Exy)' = xy
Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел русский ученый П. С. Порецкий[17] при решении логических уравнений. Однако ни сам автор, ни его коллеги не заметили этого достижения и не нашли ему прак тического применения. 2. Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке. -----T---¬ x' x ¦ xy ¦Exy¦ ----------=========== +----+---+ y y' ¦ 00 ¦ i ¦ a)======--------------- ¦ 01 ¦ 1 ¦ y y' ¦ 10 ¦ 1 ¦ b)==========----------- ¦ 11 ¦ 0 ¦ L----+---
Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живой не есть мертвый". Из таблицы истинности имеем: Exy = x'y+xy'+ix'y' (Exy)' = xy+jx'y'
3. Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах. x' x -----T---¬ ----------=========== ¦ xy ¦Exy¦ y y' +----+---+ a)======--------------- ¦ 00 ¦ i ¦ y y' ¦ 01 ¦ i ¦ b)===========---------- ¦ 10 ¦ 1 ¦ y' ¦ 11 ¦ 0 ¦ c)--------------------- L----+---
Высказывание "Ни один человек(x) не бессмертен(y)" иллюстрирует ситуа цию на диаграмме "c". Здесь "мир"-живые существа, а бессмертных существ не бывает. Из таблицы выводим соотношение: Exy = xy'+ix' (Exy)' = xy+jx' Некоторые x суть y.
Лобачевский Н. И. создал "воображаемую геометрию". По образу и по добию великого русского геометра не менее великий русский логик Ва сильев Н. А. разработал "воображаемую логику". Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике, тем более что частному суж дению Ixy уделено недостаточное внимание. 1. Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке. x x' -----T---¬ ================----- ¦ xy ¦Ixy¦ y y' +----+---+ a)==============------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ y y' ¦ 01 ¦ i ¦ b)==================--- ¦ 10 ¦ i ¦ y' y y' ¦ 11 ¦ 1 ¦ c)--------==========--- L----+--- Из таблицы истинности получим соотношение: Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) (Ixy)' = j(xy'+x'y) 2. Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке. -----T---¬ x' x ¦ xy ¦Ixy¦ ----------=========== +----+---+ y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦ a)-----==========------ ¦ 01 ¦ 1 ¦ y y' ¦ 10 ¦ 1 ¦ b)==============------- ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---
Первой ситуации соответствует, например, такое суждение: "Некоторые молодые люди(x) - студенты(y)". Здесь универсум - люди.
Для иллюстрации второй ситуации подходит такой пример: "Некоторые млекопитающие(x) суть немые(y)". Универсум - существа. Если в первом случае студенты и молодые люди еще не составляют универсума, то во вто ром - млекопитающие и неговорящие существа дополняют друг друга до универсума. Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y+ix'y' (Ixy)' = jx'y'
Этот базис назван автором русским базисом. Он абсолютно согласует ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление.
3. Третий вариант суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба зису[19]. B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комби нация понятий x, y, лишь бы пересечение этих понятий не было пус тым. Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют приводимые ниже скалярные диаграммы. x' x ----------=========== -----T---¬ y y' ¦ xy ¦Ixy¦ a)==============------- +----+---+ y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦ b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦ y' y ¦ 10 ¦ i ¦ c)-----================ ¦ 11 ¦ 1 ¦ y' y L----+--- d)-------------======== Ixy = xy+i(x'+y') (Ixy)' = j(x'+y')
4. Рассмотрим четветый вариант суждения Ixy. Этот базис получил название несимметричного. x' x -----T---¬ ----------=========== ¦ xy ¦Ixy¦ y' y +----+---+ a)-------------======== ¦ 00 ¦ 1 ¦ y' y y' ¦ 01 ¦ i ¦ b)-----==========------ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---
Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические вузы не выпускают). Из таблицы получим соотношение: Ixy = x+y'+ix'y (Ixy)' = jx'y 5. Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке. x' x -----T---¬ ----------=========== ¦ xy ¦Ixy¦ y' y +----+---+ a)-------------======== ¦ 00 ¦ i ¦ y' y y' ¦ 01 ¦ i ¦ b)-----==========------ ¦ 10 ¦ 1 ¦ y y' ¦ 11 ¦ 1 ¦ c)==============------- L----+---
Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые люди(x) суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари вают). Универсум - "живые существа". Из таблицы истинности получим соотношение: Ixy = x+ix' (Ixy)' = jx' 6. Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке. -----T---¬ ¦ xy ¦Ixy¦ x' x +----+---+ ----------=========== ¦ 00 ¦ 0 ¦ y y' ¦ 01 ¦ 1 ¦ ==============------- ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+--- Ixy = x+y (Ixy)' = x'y' 7. Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так: x =======-------- -----T---¬ y1----=====------ ¦ xy ¦Ixy¦ y2=========------ +----+---+ y3---============ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ Ixy = y+iy' ¦ 10 ¦ i ¦ Oxy = jy' ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+---
Здесь приведены не все возможные варианты представления силлогис тических функторов Ixy. Желающие могут продолжить этот список. В работе Васильева Н. А. утверждается, что в общеразговорном базисе из Ixy обязательно следует Ixy', т. е. Ixy -> Ixy'. Попытаемся решить это логическое уравнение с целью синтеза суждения Ixy, удовлетворяющего критерию Васильева. В результате решения были получены следующие соотношения: 1)Ixy = x 2)Ixy = x+y+x'y' = 1 3)Ixy = x+ix'
Первое уравнение не является представлением функтора Ixy, посколь ку в нем отсутствует вероятностная составляющая; второе уравнение соот ветствует общеразговорному базису(восьмому по счету), а третье уравне ние - пятому базису. Общеразговорный базис(базис Васильева) изображен на рисунке. Необходимо отметить, что русский и общеразговорный базисы являются симметричными базисами, т. е. Ixy -> Iyx. x ----------=========== y -----==========-----
Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждой конк ретной посылки.
Для указания используемого базиса применяется нумерация, состоящая из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy. Например, для анализа и синтеза силлогизмов в общем(неконкретном) виде автор предпочитает русский базис 1-1-2, который описывается следующими соотношениями: Axy = (xy')' = x'+y Exy = (xy)' = x'+y' Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i
Этот базис назван автором русским базисом, т. к. он удовлетворяет некоторым требованиям русского логика Васильева Н. А. относительно на учного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy. Вполне естественно, что силлогистика, основанная на русском базисе, была названа автором русской силлогистикой. Силлогистика Васильева(общеразговорная) основана на базисе Васильева(1-1-8). Русский базис, в отличие от базиса Васильева, позволяет проводить синтез силлогизмов не только графически ми, но и аналитическими методами. Общее количество базисов силлогистики не менее 4*3*8 = 96.
Кстати говоря, так называемые "жергонновы отношения"[19] могут быть представлены следующими скалярными диаграммами. x ===========---------- x ----------=========== y1==============------- y1==============------ y2===========---------- y2-----==========----- Axy y3-----================ y4-------------======== Ixy x ===========---------- x ----------=========== y -------------======== y1============-------- Exy y2-----==========----- y3------------========= Oxy -----T------¬ -----T------¬ -----T------¬ -----T------¬ ¦ xy ¦ Axy ¦ ¦ xy ¦ Exy ¦ ¦ xy ¦ Ixy ¦ ¦ xy ¦ Oxy ¦ +----+------+ +----+------+ +----+------+ +----+------+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦ L----+------- L----+------- L----+------- L----+------
На основе скалярных диаграмм получены таблицы истинности, по кото рым построены логические функции для базиса Аристотеля-Жергонна: Axy = xy+x'y'+ix'y Exy = (xy)' = x'+y' Ixy = xy+i(x'+y') Oxy = xy'+i(x'+y)
Утверждать, что этот базис отражает общеразговорную логику, было бы опрометчиво.
Логике здравого смысла посвящено много публикаций. Необходимо прежде всего отметить фундаментальную работу Васильева В. А. [6], поло жившую начало общеразговорной логике; великолепную книгу Светлова В. А. "Практическая логика"[18], в которой российский автор просто и изящно решает сложные проблемы силлогистики. Я бы назвал эту книгу "мечтой студента". Глубока и содержательна книга Кулика Б. А. "Логические основы здравого смысла"[9], в которой российский автор впервые в мире не только заговорил о логике здравого смысла, но и приступил к ее пост роению на основе алгебры множеств. Кстати говоря, скалярные диаграммы являются графическим эквивалентом множеств, и аналитические мето ды, предложенные автором, вполне согласуются с методами Кулика Б. А...Все эти работы косвенно подтверждают, что в здравый смысл силлогистики Аристотеля мало кто верит. Итак, приоритет России в создании логики здравого смысла бесспорен.
Что такое здравый смысл? "Философский словарь"(Харьков, 1986 г. ) определяет этот термин следующим образом. "Здравый смысл - принцип оценки и систематизации фактов повседневного опыта, обеспечивающий че ловеку успешную ориентацию в повседневных житейских ситуациях". Исходя из этого определения только русскую и общеразговорную силлогистики можно отнести к логике здравого смысла. Кроме того, только в логике здравого смысла из разумной посылки Ixy следует осмысленное заключение Iyx. ИНЖЕНЕРНЫЙ СИНТЕЗ СИЛЛОГИЗМОВ.
Прежде чем приступить к анализу или синтезу силлогизма, необходимо проверить корректность формулировки посылок. Нередко частноутвердитель ное суждение механически употребляется вместо общеутвердительного. Если для суждения "Некоторые прямоугольники - квадраты" мы будем использо вать любой базис здравого смысла(русский, общеразговорный), то придем в силу симметрии этих базисов к абсурдному заключению "Некоторые квадра ты - прямоугольники". С точки зрения здравого смысла исходное суждение ошибочно: оно должно иметь вид "Все квадраты - прямоугольники". Такими ошибками прямо-таки напичкан в общем хороший учебник[20] профессуры Оксфорда и Кембриджа. Во избежание подобного рода ляпсусов в силлогис тике здравого смысла предлагается простой алгоритм проверки посы лок: Ixy -> Iyx, т. е. перемена мест аргументов не должна приводить к аб сурду.
Автором разработаны аналитические методы синтеза силлогизмов на основе алгоритмов "Осташ"(в честь города Осташков, родины основателя Российской математики Магницкого Л. Ф. ) и "ИЭИ"(Ивановский энергетичес кий институт)[13-15]. Эти способы дополняются графическим методом на базе скалярных диаграмм. Графический алгоритм носит имя "ТВАТ" в честь Тушинского вечернего авиационного техникума, студентам которого в 1997г. автор впервые изложил данный метод. Алгоритмы просты, нагляд ны, доступны пониманию школьников. Алгоритм"Осташ" универсален: он ис пользуется как для синтеза заключения, так и для поиска недостающей по сылки. Однако "Осташ" несколько сложнее алгоритма "ИЭИ", поэтому алго ритм "Осташ" здесь не приводится. Алгоритм "ИЭИ"(аналитический синтез силлогизмов).
1. Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для функторов A, E, I, O. Если обе посылки частно-утвердительные, то заключения не существует.
2. Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнк ции всех посылок. Провести обязательную минимизацию.
3. Получить из М заключение силлогизма f(x, y), заменив средний тер мин m или m' на 1. Если средний термин входит в М автономно, то заменить его на i.
Алгоритм "ИЭИ" в случае частного заключения дает менее строгий результат, чем алгоритм "ТВАТ". Поэтому аналитика в случаях получения частного заключения должна быть проверена графикой. Алгоритм "ТВАТ"(графический синтез силлогизмов).
1. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с по мощью скалярных диаграмм. С этой целью вначале выбрать посылку, выражен ную общим суждением, и представить ее на скалярной диаграмме. Затем изобразить скалярные диаграммы второй посылки. При этом нужно реализо вать все возможные для данной посылки ситуации из набора Axy, Exy, Ixy в рамках ограничений, заданных этой посылкой, относительно среднего терми на.
2. Занести в таблицу истинности все значения f(x, y) для входных наборов xy: 00, 01, 10, 11.
3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x, y). 4. Полученный результат представить в виде силлогистического функ тора в соответствии с известным базисом. Пример 1.
Пусть задан силлогизм и требуется проверить его корректность. Все люди(m) - талантливы(х) Здесь и далее все посылки Все студенты(у) - люди(m) приведены в русском базисе. ------------------------- Все студенты(у) - талантливы(х) Решение По алгоритму "ИЭИ" получим M = AmxAym = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mx f(x, y) = y'+xy'+x = y'+x = Ayx. Проведем анализ силлогизма по алгоритму "ТВАТ". m m' -----T------¬ ===========---------- ¦ xy ¦f(x, y)¦ x x' +----+------+ ==============------- ¦ 00 ¦ 1 ¦ y y' ¦ 01 ¦ 0 ¦ =======-------------- ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+------
Из скалярной диаграммы видно, что "Все Y суть X"(Ayx). Из таблицы истинности получаем соотношение f(x, y) = y'+x = Ayx. Оба алгоритма дали одинаковые результаты. Необходимо подчеркнуть, что универсумом в данной задаче является понятие "живые существа", т. е. талантливыми могут быть и животные(иначе первая посылка некорректна). Пример 2. Все члены коллегии адвокатов (x) - юристы (m) Все сотрудники нашего отдела (y) - юристы (m) ____________________________________________________ Найти f(x, y) Решение AxmAym -> f(x, y)
По традиционным представлениям [8] задача не имеет решения. Интуи тивно можно согласиться с традицией.
Проверим свою интуицию чисто формально по алгоритмам "ИЭИ" и "ТВАТ". M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = m+x'y' f(x, y) = x'y'+i = Ix'y'(3) -----T------¬ x ===========---------- ¦ xy ¦f(x, y)¦ m ================----- +----+------+ y1 -----------====------ ¦ 00 ¦ 1 ¦ y2 -----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦ y3 ========------------- ¦ 10 ¦ i ¦ y4 =============-------- ¦ 11 ¦ i ¦ L----+------
Из таблицы истинности получим заключение(индекс в скобках указы вает номер базиса): f(x, y) = x'y'+i = Ix'y'(3). Это соответствует в 3-м(Аристотелевском) базисе следующему заключению: "Некоторые x' суть y'". Графический и аналитический результаты совпали. Пример 3. Все математики(m) - хитрые(x) Некоторые математики(m) - умные(y) ____________________________________________________ Найти f(x, y) Решение AmxImy -> f(x, y) M = AmxImy = (m'+x)(y+m+im'y') = mx+m'y+xy+im'y' f(x, y) = x+y+iy' = Ixy -----T------¬ m ===========---------- ¦ xy ¦f(x, y)¦ x ================----- +----+------+ y1 -------===========--- ¦ 00 ¦ i ¦ y2 -----================ ¦ 01 ¦ i ¦ y3 -----========-------- ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ L----+------
f(x, y) = x+ix' = Ixy(5) = IxyIxy', т. е. "Некоторые хитрые - ум ные, а некоторые хитрые - глупые". Алгоритм "ТВАТ" дал более сильное заключение, чем алгоритм "ИЭИ". Пример 4. Проверить силлогизм. Все математики(m) - умные(y) Некоторые математики(m) - хитрые(x) ____________________________________________________ f(x, y) = IxyIx'y. M = AmyImx = (m'+y)(m+x+im'x') = m'x+my+xy+im'x' f(x, y) = x+y+ix' = Ixy По алгоритму "ТВАТ" получим более сильное заключение: f(x, y) = y+iy' = Ixy(7) = IxyIx'y. Пример 5.
У Кэрролла [10, стр. 27] приведен "неправильный" силлогизм: Все солдаты(х) храбрые(m) Некоторые англичане(y) храбрые(m) --------------------------------- Некоторые англичане - солдаты
Автор силлогизма утверждает, что любое заключение будет лож ным. Проверим утверждение Кэрролла для русского базиса. M = AxmIym = (x'+m)(y+m+im'y') = m+x'y+im'x'y' f(x, y) = x'y+i = Ix'y(3), т. е. "Некоторые не-солдаты - англичане".
Алгоритм "ТВАТ" подтверждает этот результат. Для посылок в Аристо телевском базисе получаем Ixy(3).
Используя приведенные методы, проверим все 64 традиционных модуса для 4-х фигур категорического силлогизма в русском базисе(2-й базис). В результате получим следующие правильные модусы. 1-я фигура:
AAA, AEIxy'[3], AIIxy[5], AOOxy[7], EAE, EEIx'y'[3], EIIx'y[5],
EOOxy[7], IAIxy'[3], IEIxy'[2], IOOxy[7], OAOxy[2], OEOxy[5], OIOxy'[2], OOOxy[2]. 2-я фигура:
AAIx'y'[3], AEE, AIIx'y[3], AOOxy[2], EAE, EEIx'y'[3], EIIx'y[5], EOOxy[7], IAIxy'[3], IEIxy'[2], IOOx'y[2], OAOxy[2], OEOxy[5], OIOxy'[2], OOOxy[2]. 3-я фигура:
AAIxy[3], AEIxy'[3], AIIxy[5], AOOxy[7], EAIx'y[3], EEIx'y'[3],
EIIx'y[5], EOOxy[7], IAIxy[7], IEIxy'[7], IOOx'y[2], OAOxy[5], OEOxy[5], OIOxy'[2], OOOxy[2]. 4-я фигура:
AAA, AEE, AIIx'y[3], AOOxy[2], EAIx'y[3], EEIx'y'[3], EIIx'y[5],
EOOxy[7], IAIxy[7], IEIxy'[7], IOOx'y[2], OAOxy[5], OEOxy[5], OIOxy'[2], OOOxy[2]. Правильные модусы для базиса Васильева выглядят так: 1-я фигура: AAA, AEI[3], AII[3], EAE, EEI[3], EII[3], IAI[3], IEI[3]. 2-я фигура: AAI[3], AEE, AII[3], EAE, EEI[3], IAI[3], IEI. 3-я фигура: AAI, AEI[3], AII[3], EAI[3], EEI[3], EII[3], IAI, IEI[3]. 4-я фигура: AAA, AEE, AII[3], EAI[3], EEI[3], EII[3], IAI[3], IEI[3].
Индекс в скобках указывает номер базиса заключения. Отсутствие ин декса указывает на русский базис заключения.
Для базиса Аристотеля-Жергонна(3-й базис) получим следующие пра вильные модусы(без указания базиса заключения).
1-я фигура: AAA, AEO, AII, AOI, EAE, EEI, EII, EOI, IEO, OEI. 2-я фигура: AAI, AEE, AII, AOI, EAE, EEI, EII, IEO, OAO.
3-я фигура: AAI, AEI, AII, AOO, EAI, EEI, EII, EOI, IAI, IEO, OAI, OEI. 4-я фигура: AAA, AEE, EAI, EEI, EII, EOI, IAI, IEI. Выводы.
1. Анализ современного состояния логики показал некорректность традиционного базиса силлогистики, который не является ни Аристотелевс ким, ни общеразговорным(бытовым).
2. Впервые для представления суждений введены скалярные диаграм мы, адекватно отображающие функторы Axy, Exy, Ixy.
3. Впервые показано, что как общие, так и частные суждения имеют не однозначную структуру. Дано их математическое описание.
4. Впервые представлено все многообразие базиса частноутвердитель ного суждения и дано его аналитическое представление.
5. Впервые для аналитического описания суждений введена многознач ная комплементарная логика[13, 15], на основании которой были разработа ны математические методы анализа и синтеза силлогизмов, а также методы решения логических уравнений и нахождения обратных логических функ ций[14].
6. Впервые разработан графический метод синтеза силлогизмов. 7. Впервые разработаны силлогистики здравого смысла(русская и об щеразговорная) и переработана силлогистика Аристотеля.
8. Впервые силлогистика поставлена на математическую основу. Литература 1. Аристотель. Сочинения. В 4-х томах. - М: 1978.
2. Бахтияров К. И. Логические основы компьютеризации умозаключений. - М: 1986.
3. Брусенцов Н. П. Диаграммы Льюиса Кэррола и аристотелева силлогис тика. -В кн. Выч. техника и вопросы кибернетики . Вып. 13.
4. Брусенцов Н. П. Полная система категорических силлогизмов Аристо теля. -В кн. Вычислительная техника и вопросы кибернетики . Вып. 19, МГУ, 1982.
5. Брусенцов Н. П. Искусство достоверного рассуждеия. - М: Фонд"Новое тысячелетие", 1998. 6. Васильев Н. А. О частных суждениях. - Казань: 1910. 7. Гжегорчик А. Популярная логика. - М: 1979. 8. Кириллов В. И. Старченко А. А. Логика. - М: 1995.
9. Кулик Б. А. Логические основы здравого смысла. - С-Пб. :1997. 10. Кэррол Л. История с узелками. - М: 1973.
11. Лобанов В. И. Инженерные методы разработки цифровых устройств. М: 1977.
12. Лобанов В. И. Метод минимизации булевых функций от большого чис ла переменных с помощью карт Карно. - Инф. листок N54-87, М: Мо соблЦНТИ, 1987.
13. Лобанов В. И. Кризис логики суждений и некоторые пути выхода из него. //Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке(Материалы V Общероссийской научной конференции) СПб: 1998.
14. Лобанов В. И. Решение логических уравнений. //Научно-техническая информация. Сер. 2. N%9, 1998, с. 34-40.
15. Лобанов В. И. Многозначная силлогистика без кванторов. //Науч но-техническая информация. Сер. 2. N%10, 1998, с. 27-36.
16. Новиков П. С. Элементы математической логики. - М: 1973.
17. Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики. - Казань, 1881. 18. Светлов В. А. Практическая логика. - СПб: 1997.
19. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М: 1967. 20. Тейчман Д. ,Эванс К. Философия. - М. :1997. 21. Шачнев В. А. Математическая логика. -¦М: 1991.