Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения РЕФЕРАТ Выполнил студент группы 60-5ЭВТ Немцев Михаил Краснодар 1998г. Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле (1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис. 1). Введем обозначения: Drj = rj+1 - rj, Dji = ji+1 - ji
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейкиDSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениямиrjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji. И следовательно, f(xij, yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем: (4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSijи сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в областиS. С другой стороны, величины ji и rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскостиOjr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5) Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно (6) Выражение dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координатыx и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрированияS определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a, b]. (рис 2). Имеем (8) Где F(r, j) = rf(r cosj, r sinj) Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0, 0) (рис 3). Так как то применяя формулу (6), получим Область S определена Неравенствами Поэтому на основании формулы (8) имеем Пример 2. В интеграле (9) перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4). В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j=0, j=p/4, r cosj=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем