Лабораторная работа № 2
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙФИЛЬТР
Цель работы
Ознакомиться с аналоговым и дискретнымвариантами реализации фильтра
Общие сведения
В аналоговомварианте экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено иописывается дифференциальным уравнением
/>, (15)
где /> и /> – параметры настройкифильтра.
Уравнению (15)соответствует амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)
/>, (16)
где /> – постоянная временифильтра.
Из условия (3) /> (математическое ожидание)для статического режима определяют оптимальное значение параметра />. Коэффициент усиления
/>. (17)
Определение оптимальногозначения параметра /> производится из условия (4) /> (среднеквадратичнаяпогрешность оценки).
Для этого предварительнорассчитывают спектральную плотность /> погрешностиэкспоненциального фильтра по формуле (7) с учётом (16) и (17).
/>. (18)
Дисперсия погрешностиэкспоненциального фильтра, согласно (6), (7), с учётом (16), равна
/>. (19)
При вычислении этогоинтеграла оба слагаемых подынтегрального выражения раскладывают на простыедроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида
/>. (20)
После выполнениясоответствующих преобразований получают следующее выражение для дисперсиипогрешности фильтрации:
/>. (21)
Оптимальное значениепараметра настройки /> получают изнеобходимого условия экстремума функции />:
/>. (22)
Откуда оптимальноезначение параметра
/>. (23)
Таким образом, функция /> имеет единственную точкустационарности, тип которой зависит от знака второй производной при />.
Можно показать, что привыполнении условия
/>, (24)
особая точка являетсяминимумом функции />, а привыполнении условия
/> (25)
в точке />, функция /> достигает максимума.
Таким образом, еслисочетание характеристик полезного сигнала и помехи соответствуют случаю (24),то оптимальное значение параметра настройки /> определяетсяпо формуле (23).
Если это условие невыполняется, то оптимальным является наибольшее допустимое значение параметра />.
При программнойреализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (15) заменяютразностным уравнением вида
/> (26)
где i – номер цикла расчёта
Отсюда получают следующеерекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения /> в очередном i-томцикле расчёта:
/> (27)
К достоинствам алгоритмаэкспоненциальной фильтрации относятся: малая трудоёмкость расчётов и малыйобъём памяти ЭВМ, в которой должны храниться величина /> и обновляемая в каждомцикле расчёта величина />.
Пример выполнения лабораторной работы с использованиемпакета MCAD представлен в Приложении 3 к лабораторной работе №2. Здесьпредставлен вариант расчёта трёхкратного сглаживания экспериментальных данных,полученных от ИИК технологического процесса, построены графики. Общая часть заданий
1. Ознакомиться стеоретическим описанием
2. Выполнить расчёты вMCAD сглаженных значений данных полученных от ИИК. Для расчётов пользоваться формулами:
/>
/>
/>
/>
За начало отсчёта примемследующие допущения:
Расчёт произвести длятрёх значений g:
g = 0,4; 0,5; 0,6
3. Провести анализполученных зависимостей на выполнение фильтрации полезного сигнала от помехи
4. Сделать выводы и датьпредложения о возможности применения сглаживающего фильтра для уменьшения помех