ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное образовательноеучреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Д.Н. Карпинский
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к разделу «Традиционные методы вычислительной томографии» спецкурса«Применение томографических методов в медицинской диагностике»
для студентовспециальности «Прикладная математика»
Ростов-на-Дону
2007
Печатается по решениюкафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наукЮФУ, протокол N1 от 10 сентября 2007 года.
Методические указанияразработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теорииупругости Д.Н.Карпинским.
1.ВВЕДЕНИЕ
Томография- одно из бурно развивающихся направлений в области получения и обработкиинформации. Томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта.Основная проблема томографии — как по получаемым в томографическом экспериментепроекционным данным (например, по рентгеновским снимкам) «увидеть»внутреннюю структуру анализируемого объекта. Область математики, в которойразрабатываются методы решения подобных задач, известна как «интегральнаягеометрия» [1].
Хронологияразвития вычислительной томографии:
1895г. – открытие рентгеновских лучей;
1917г. – преобразование Радона;
1920г. – рентгенограмма в медицине;
1930г. – линейная томография, вращательная томография;
1942г. – РВТ в радиоастрономии;
1961г. – сверточный алгоритм;
1964г. – алгоритм РВТ А. Кормака;
1972г. – серийный томограф Г. Хаунсфилда;
1977 г.– учебный курс по вычислительной томографии в университете штата Нью-Йорк;
1979 г.– Нобелевская премия А. Кормаку и Г. Хаунсфилду.
1.2В настоящее время существуют следующие виды томографии:
1) рентгеновскаятомография;
2) радионуклеиднаятомография;
3) ЯМР– томография;
4) ультразвуковаятомография;
5) оптическаятомография;
6) протонно-ионнаятомография;
7) томографияв радиодиапазоне;
8) ЭПР- томография.
Особенноважное значение методы томографии имеют для медицинской диагностики [2].
Всевиды томографии по свойствам изучаемых объектов можно разделить на два большихкласса: трансмиссионную вычислительную томографию (ТВТ) и эмиссионнуювычислительную томографию (ЭВТ). В ТВТ внешнее излучение зондирует пассивный(неизлучающий) объект, частично поглощаясь им. В ЭВТ активный (излучающий)объект представляет собой пространственное распределение источников излучения,при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучение являетсясуперпозицией излучений всех источников, лежащих на линии проецирования.
Рассмотримвначале физический закон распространения внешнего излучения в веществе. Пустьтонкий пучок, например />-излучения, с интенсивностью /> падаетна слой вещества с распределением линейного коэффициента поглощения(ослабления) /> вдоль распространенияпучка. При этом феноменологически /> определяютчерез вероятность /> поглощения /> — кванта при прохожденииэлементарного пути /> соотношением />.
/>
/>Рисунок 1. Квыводу уравнения переноса излучения (1.1).
Стационарноеуравнение переноса излучения в чисто поглощающей неоднородной среде,описывающее процесс излучения в веществе, представляет собой баланс частиц илиэнергии и имеет вид
/> (1.1)
Решениемуравнения (2.1) будет закон Бугера-Ламберта-Бэра для неоднородной поглощающейсреды, который составляет основу расчетов ТВТ.
/> , (1.2)
где/> - интенсивность источникаизлучения.
Рассмотримтеперь закон распространения излучения при действии внутренних источниковизлучения (самоизлучающие объекты).
/>
Рисунок2. К выводу закона переноса излучения при действии внутреннего источника.
Пустьточечный источник излучает в телесный угол /> синтенсивностью /> в веществе сраспределением линейного коэффициента ослабления /> вдольпрямой, соединяющей источник с небольшой площадкой />,наклоненной под углом /> к этой прямой.Тогда для интенсивности />,приходящейся на площадку />,получаем [3]
/> . (1.3)
Выражение(1.3) учитывает четыре основных фактора: пространственное распределениеисточника излучения, геометрическое ослабление, ослабление излучения в веществеи наклон площадки детектора. Формула (1.3) лежит в основе ЭВТ.
2.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА
2.1Рассмотрим задачу восстановления двумерного распределения коэффициента ослабления/> при просвечивании объектаизлучением внешнего источника. Источник излучения проходит дискретно вдольобъекта. Синхронно с источником с другой стороны объекта движется детекторизлучения. Набор отсчетов, полученный таким образом, определяет одномернуюфункцию, называемую проекцией. Затем система «Источник-детектор» поворачиваетсяотносительно объекта на некоторый угол />,и снимает новый набор отсчетов, определяющий следующую проекцию. По полученномунабору одномерных проекций необходимо восстановить двумерное распределение />. Такую схему измеренийназывают круговой геометрией измерений, а проекции называют параллельнымипроекциями.
/>
Рисунок3. Схема кругового сканирования с параллельными проекциями.
Пустьна плоскости, где введена прямоугольная система координат /> задана функция />. Проинтегрируем этуфункцию по некоторой прямой, лежащей в данной плоскости. Очевидно, чторезультат интегрирования, который обозначим />,зависит от того, по какой именно прямой проводится интегрирование.
/>
Рисунок4. К выводу формул преобразования Радона.
Известно,что всякая прямая может быть описана уравнением
/>, (2.1)
где/> - расстояние от началакоординат до этой прямой; /> - угол,образованный с осью /> перпендикуляром,опущенным из начала координат на эту прямую.
Произвольнаяпрямая /> однозначно задается двумяпараметрами /> и />. Поэтому и результатинтегрирования функции /> понекоторой прямой будет зависеть от этих же параметров, т.е. />. Предположим, что функция /> интегрируется повсевозможным прямым. Подобное интегрирование можно также рассматривать как некотороепреобразование, которое данной функции /> наплоскости /> ставит в соответствиефункцию /> на множестве всех прямых,задаваемую интегралами от /> вдольпрямых. Это преобразование называют преобразованием Радона [4,5], а функцию /> часто называют образомфункции /> в пространстве Радона илипроекцией, которая в обозначениях (1.2) имеет вид
/>. (2.2)
Задачаставится следующим образом: функция /> неизвестна,но известна функция />, являющаясяобразом /> в пространстве Радона;требуется по функции /> определить />. Другими словами решениепоставленной задачи сводится к отысканию явной формулы обращения или к поискупреобразования, обратного преобразованию Радона. Впервые формула обращения былаполучена в статье Иоганна Радона, опубликованной в 1917 году в ТрудахСаксонской академии наук. Однако эта работа была незаслуженно забыта и формулаобращения была открыта заново в 1961 году.
Согласноопределению радоновского образа и с учетом того, что интеграл от заданной функциивдоль прямой равен интегралу по всей плоскости произведения этой функции на /> — функцию, аргументомкоторой является левая часть уравнения (2.3), имеем [6,7]
/>. (2.3)
Интегрирование,осуществляемое по двум переменным, можно свести к интегрированию по однойпеременной. Для этого введем еще одну прямоугольную систему координат />, повернутую относительно /> на угол />. Вспомним, что припереходе от одной из этих систем координат к другой координаты меняютсяследующим образом:
/> /> (2.4)
/> /> (2.5)
Сделаемв (2.3) замену переменных (2.4)
/>=
=/> (2.6)
Дляфункции />, отличной от нуля впределах некоторой ограниченной области, ее радоновский образ такжеопределяется выражением (2.3), только интегрирование проводится не по всей плоскости,а задается границами данной области. Так, если /> отличнаот нуля внутри круга радиуса />, товместо (2.6) имеем
/>. (2.7)
Вобщем случае функция, описывающая радоновский образ, обладает одним важнымсвойством
/>. (2.8)
Физическийсмысл этого свойства состоит в том, что любые пары /> и/> согласно (2.1) задают однуи ту же прямую.
Приведемпримеры, которые иллюстрируют вычисление радоновских образов.
Пример1.
Пусть/>.Подставим это выражение в (2.6) и получим (см. Приложение А)
/>=
=/>. (2.9)
Из(2.9) следует, что если функция /> отличнаот нуля в точке />, то функция,описывающая ее образ в пространстве Радона />,отлична от нуля на линии
/>, (2.10)/> />
где/>.
/>
Рисунок5. /> — функция (а) иее радоновский образ (б)
Пример2.
Пусть/>. Подставляя это выражениев (2.6), получим
/> . (2.11)/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Рисунок6. Функция (а) и ее радоновский образ (б)
Область,где /> принимает максимальныезначения, представляет собой линию, которая определяется выражением (2.10).
Пример3.
При/> (2.12)
получаем
/> (2.13)