--PAGE_BREAK--[править] Простейшие обобщения
Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,
Измеримая функция называется n-мерным случайным вектором (относительно борелевской σ-алгебры на ). Измеримая функция называется n-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской σ-алгебры). Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.
При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. Так как при достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения
требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.
Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.
[править] Формулировка
Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то
где , c > 0, c — постоянная.
Приближённую формулу
рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.
При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. Так как при достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения
требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.
Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.
[править] Формулировка
Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то
где , c > 0, c — постоянная.
Приближённую формулу
рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.
Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция , задаваемая формулой:
- импортное определение;
- определение, принятое в российской литературе.
продолжение
--PAGE_BREAK--[править] Свойства FX не убывает на всей числовой прямой. FX непрерывна справа. . . Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения. По определению непрерывности справа, функция FX имеет правый предел FX(x + ) в любой точке , и он совпадает со значением функции FX(x) в этой точке. В силу неубывания, функция FX также имеет и левый предел FX(x − ) в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция FX либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода. [править] Тождества
Из свойств вероятности следует, что , таких что a b:
x ) = 1 — F_X(x)" v:shapes="_x0000_i1083">; ; ; ; ; ; ; . [править] Дискретные распределения
Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
,
то функция распределения FX этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
.
Эта функция непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный pi, в x = xi.
[править] Непрерывные распределения
Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения FX. В этом случае:
,
и
,
а следовательно формулы имеют вид:
,
где | a,b | означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
[править] Абсолютно непрерывные распределения
Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция fX(x), такая что:
.
Функция fX называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и
.
продолжение
--PAGE_BREAK--[править] Вариации и обобщения [править] Многомерные функции распределения
Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:
,
где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда
где символ M обозначает математическое ожидание.
[править] Замечания В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины; Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши. Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):
D[X] = U''(0) − U'2(0)
Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности. [править] Свойства Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание; Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду; Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
, где – их ковариация;
Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
, где ;
В частности, D[X1 +… + Xn] = D[X1] +… + D[Xn] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю; [править] Пример
Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством
Тогда
и
Тогда
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда
где символ M обозначает математическое ожидание.
продолжение
--PAGE_BREAK--