КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни
«Теоріяймовірностей та математична статистика”
Завдання1
Два стрільці незалежно один від одного роблять поодному пострілу по мішені. Ймовірність влучення першого – 0,8, а другого – 0,4.Відомо, що є одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив другий стрілець.
Розв’язання
Позначимовипадкові події:
Х1:”влучивперший стрілець”,
Х2:”влучивдругий стрілець”,
Y:“є одне влучення у мішень”,
Z:“влучив другий, а перший не влучив”
Апріорнаймовірність того, що при одному пострілі влучить другий стрілець і не влучитьперший, (подія Z) визначаємо як ймовірність перерізу (добутку) подій />:”перший невлучив” і Х2:”другий влучив”.
За умовою
/>
Ймовірністьподії Y дорівнює (згідно з теоремами множення і додавання):
/>
Всилу незалежності подій Х1 та Х2, і враховуючи, що ймовірністьподії Z – це умовна ймовірність події Х2 при умові події />, знаходимо
/>
Зіншого боку, подію Z можна подати як переріз події Y та події Х2при умові, що подія Y здійснилася. Згідно з теоремою множення
/>,
де /> – апостеріорнаймовірність того, що наявне одне влучення у мішень зроблено другим стрільцем.
Звідсизнаходимо шукану ймовірність того, що влучив другий стрілець при умові, що єодне попадання:
/>
Завдання 2Ймовірність настання події А укожному з 18 незалежних випробуваннях дорівнює 0,2. Знайти ймовірність настанняцієї події принаймні двічі.
Розв’язання
Заданів задачі випробування є випробуваннями Бернуллі. Ймовірність появи події Ау кожному окремому випробуванні становить
р=Р(А)=0,2,
аймовірністьїї непояви
q=P(/>)=1-P(A)=1-0,2=0,8.
Ймовірністьтого, що подія А відбудеться К разів у серії з N випробуваньвизначається за формулою Бернуллі:
/>,
де /> – числосполучень з N елементів по K.
Ймовірністьтого, що подія А відбудеться принаймні 2 рази (тобто 2 абобільше) дорівнює
/>
Дляспрощення розрахунків перейдемо до протилежної події (поява події А менше2 разів, тобто 0 або 1 раз):
/>
Завдання 3Випадкова величина Х задана рядомрозподілуХ х1 х2 х3 х4 Р р1 р2 р3 р4
Визначитиневідому р і. Знайти функцію розподілу випадкової величини
F(Х) та побудувати їїграфік. Обчислити математичне сподівання М(Х), дисперсію D(Х)та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.
Х 11 13 15 19 Р 0,18 0,32 0,4 ?
Розв’язання
Згідноз умовою нормування розподілу ймовірностей випадкової величини
/>
Звідсизнаходимо />:
/>
Функціюрозподілу знаходимо на основі означення функції розподілу:
/>
Графікфункції розподілу зображено на рис.1.
Математичнесподівання:
/>
Дисперсія:
/>
Середнєквадратичне відхилення
/>
Завдання 4
1. Записати вибірку у вигляді:
- варіаційного ряду;
- статистичного ряду частот;
- статистичного ряду відносних частот.
2. Побудувати полігон, гістограму та кумуляту для вибірки, поданої увигляді таблиці частот.
3. Обчислити числові характеристики варіаційного ряду розподілу:
- середнє арифметичне значення;
- моду;
- медіану;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
4. Пояснити зміст обчислених числових характеристик.
Вибірка:
7 8 40 4 6 5 4 3 2 4 8 6 2 2 5 3 6 6 5 5 3 5 6 7 8 9 5 2 5 4 5
6 6 36 5 3 4 5 10 3 7 5 3 3 3 7 5 3 4 9 2 1 4 4 4 2 4 3 4 4 5 5
3 7 53 2 6 2 4 4 4 0 6 1 3 4 4 5 4 8 3 5 4 11 9 9
Розв’язання
1:
a) Варіаційнийряд – це послідовність варіант (спостережуваних значень), розташованих узростаючому порядку.
Заданавибірка у вигляді варіаційного ряду:
0 0 11 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 89 9 9 9 10 11.
б) Статистичнийряд частот – це перелік значень варіант вибірки, розташованих у порядкузростання, з відповідними їх частотами (тобто числом повторень кожного значенняу вибірці).
Заданавибірка у вигляді статистичного ряду частот (Хі – значення варіанти,ns – частота):
Хі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ni 2 2 8 15 20 17 10 5 4 4 1 1
в)Статистичний ряд відносних частот – це перелік значень варіант вибірки,розташованих у порядку зростання, з відповідними їх відносними частотами.Відносна частота – це відношення частоти даного значення до об’єму вибірки.
Об’ємвибірки становить 89 (вибірка містить 89 варіант).
Заданавибірка у вигляді статистичного ряду відносних частот (Хі – значенняваріанти, Ps – відносна частота):
Хі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Pi 2/89 2/89 8/89 15/89 20/89 17/89 10/89 5/89 4/89 4/89 1/89 1/89
2:
а)Полігон частот – це ламана, відрізки якої з’єднують точки (Хі, Рі)що відповідають елементам статистичного ряду частот. Полігон частот зображенона рис.1. Полігон побудовано за допомогою процесора електронних таблиць MSExcel (інструмент майстер діаграм).
б)Побудуємо для заданої вибірки гістограму частот.
Гістограмачастот – це ступінчаста фігура, яка складається з прямокутників, основами якихє часткові інтервали шириною h, на які розбито інтервал зміни спостережуваноївеличини Х, а висота дорівнює відношенню частоти інтервалу ni доширини інтервалу h (ni/h). Висота прямокутника має зміст густиничастоти.
Дляпобудови гістограми візьмемо ширину часткових інтервалів рівною 1 (тоді висотипрямокутників будуть рівними частоті значень варіант).
Полігончастот зображено на рис.2. Полігон побудовано за допомогою процесораелектронних таблиць MS Excel.
в)Побудуємо кумуляту частот для заданої вибірки.
Кумулятаявляє собою графік статистичного ряду нагромадженої (кумулятивної) частоти.Кумулятивна частота для кожного значення варіанти дорівнює сумі частот усіхпопередніх (менших) значень варіант.
Дляпобудови кумуляти побудуємо статистичний ряд нагромадженої частоти даноївибірки:
Хі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 >11
ni 2 4 12 27 47 64 74 79 83 87 88 89
Кумулятузображено на рис. 3.
3:
Обчисленнячислових характеристик варіаційного ряду розподілу.
Середнєарифметичне значення (вибіркове середнє)
/>
де xі– і-те значення варіанти, ni – частота цього значення, N – об’ємвибірки.
Мода– це значення, яке має найбільшу частоту у вибірці. З статистичного ряду частотвибираємо варіанту, яка має найбільшу частоту. Це варіанта х=4, яка має частоту20. Мода Мod(X) дорівнює
Mod(X)=4
Медіана– це варіанта, яка ділить варіаційний ряд на дві частини, рівні за числомваріант. Оскільки число елементів вибірки непарне (N=89), то медіаною єваріанта, яка має номер
/>
Зваріаційного ряду знаходимо медіану
/>
Дисперсіявизначається за формулою
/>
ідорівнює
/>
Cереднєквадратичне відхилення σ дорівнює
/>
Коефіцієнтваріації R
/>
4:
Середнєарифметичне (вибіркове середнє) є найкращою оцінкою математичного очікуваннявеличини Х (її середнього значення).
Модаі медіана також є оцінками істиного значення величини. Вони характеризуютьсяменшою, ніж середнє арифметичне чутливістю до брутальних промахів.
Дисперсіяє мірою мінливості спостережуваної величини. Чим більша дисперсія, тим більшамінливість величини, її розсіювання навколо середнього значення. Одиницявимірювання дисперсії – квадрат одиниці вимірювання самої величини.
Середнєквадратичне відхилення також є характеристикою мінливості величини, її відхиленнявід математичного очікування. Одиниці вимірювання – ті ж, що самої величини.
Коефіцієнтваріації служить для порівняння величин розсіювання відносно вибірковогосереднього двох варіаційних рядів.
Списоквикористаної літератури
1. Гмурман В.Е. Теориявероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшаяшкола, 2001. – 479 с.
2. Горбань С.Ф., СнижкоН.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – К.:МАУП, 1999. – 168 с.
3. Горкавий В.К., ЯроваВ.В. Математична статистика: Навчальний посібник. – К.: ВД «Професіонал», 2004.– 384 с.
4. Жлуктечко В.І.,Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика:Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. – Ч.П. Математична статистика. – К.: КНЕУ, 2001.– 336 с.
5. Іванюта І.Д., Рибалка В.І.,Рудоміно-Дусятська І.А. Елементи теорії ймовірностей та математичноїстатистики. – К.: Слово, 2003. – 272 с.
6. Савчук М.В. Програма знавчальної дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для спеціальності6.050200 «Менеджмент організацій» — К.: ІПК ДСЗУ, 2006. – 16 с.
7. Шефтель З.Г. Теоріяймовірностей: Підручник. – К. Вища школа, 1994. – 192 с.