Завдання 1
В ящику 20 куль: 8 зелених і 12 синіх. З ящика навмання виймають однукулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:
а) зелена;
б) синя.
Розв’язок:
а) Позначимо за подію А ={вибрана куля — зелена} Тоді за означеннямкласичної імовірності імовірність події А дорівнюватиме відношенню кількостісприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливихподій — 8 (тому, що 8 зелених куль в ящику), загальна кількість можливих — 20 (тому,що загальна кількість кульок — 20).
/> -ймовірність того що вийнята куля — зелена
б) Позначимо за подію В ={вибрана куля синя} Тоді за означеннямкласичної імовірності імовірність події В дорівнюватиме відношенню кількостісприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливихподій — 12 (тому, що 12 синіх куль в ящику), загальна кількість можливих — 20 (тому,що загальна кількість кульок — 20).
/> -ймовірність того що вийнята куля — синяЗавдання 2
Імовірність несплати податків у кожного з n підприємців становить р. Визначитиймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.
n=500; p=0,1; m1= 40; m2 =250.
Розв’язок:
q=1-p=0,9
За інтегральною теоремою Мавра-Лапласа, маємо:
/>
/>
/>Завдання 3
Задано ряд розподілу дробового попиту на певний продукт Х. Знайтичислові характеристики цієї дискретної випадкової величини:
а) математичне сподівання М (Х);
б) дисперсію D (X);
в) середнє квадратичне відхилення σХХ 10 20 30 40 50 р 0,1 0,15 0,42 0,25 0,08
Розв’язок:
М (Х) = 0,1*10 + 20*0,15 + 30*0,42 + 40*0,25 + 50*0,08= 1+3+12,6+10+4 = 30,6; — математичне сподівання
М (Х2) =936,36Х2 100 400 900 1600 2500 р 0,1 0,15 0,42 0,25 0,08
М (Х2) =0,1*100+400*0,15+900*0,42+1600*0,25+2500*0,08=1048
Dx= М (Х2) — М (Х2) =1048-936.36=111.64 — дисперсія
σХ = /> -середнє квадратичне відхиленняЗавдання 4
Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному законурозподілу з параметрами n, p записати ряд розподілу цієї величини і знайтиосновні числові характеристики:
а) математичне сподівання М (Х);
б) дисперсію D (X);
в) середнє квадратичне відхилення σХ
n=1; p=0,2
Розв’язок:
q=1-p=1-0,2=0,8
М (Х) =np=1*0.2=0.2 — математичне сподівання
D (X) =npq=4*0.2*0.8=0.64- дисперсія
σХ = /> - середнє квадратичне відхиленняЗавдання 5
Побудувати графік щільності розподілу неперервної випадкової величиниХ, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а іпроходить через задані точки
a)
а=3. x 1 2 4 5 f (x) 0.05 0.24 0.24 0.05
г)
а=1. X -2 -1 3 4 f (x) 0.075 0.088 0.088 0.075 Завдання 6
Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисгрн.):
*Скласти варіаційний ряд вибірки.
*Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал начотири-шість рівних підінтервалів.
*Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію варіаційногоряду:
6, 10, 12, 11, 11, 14, 6, 8, 12, 10, 14, 8, 9, 11, 7, 7, 12, 10, 13,6.
Розв’язання:
Скласти варіаційний ряд вибірки.
Оскільки вибірка складається з 20 значень, то обсяг вибірки n=20.
Побудуємо варіаційний ряд вибірки:
6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14.
2. Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал начотири-шість рівних підінтервалів.
У даній вибірці 9 різних варіант, запишемо їх частоти у виглядістатистичного розподілу:
Таблиця 1
хі 6 7 8 9 10 11 12 13 14/> />
nі 3 2 2 1 3 3 3 1 2
Рис.1. Полігон розподілу частот.
Для побудови гістограми та полігону побудуємо інтервальний статистичнийрозподіл.
Виберемо S= 5 інтервалів, а довжину інтервалу обчислимо за формулою.
Тобто:
Складемо шкалу інтервалів. За початок першого інтервалу візьмемо
Варіанти, які співпадають із межами інтервалів, будемо включати внаступний інтервал, крім останнього.
Побудуємо гістограму частот. Для цього на осі ОХ нанесемо інтервали, ана ОУ щільності частот для кожного інтервалу.
Для побудови цього графіка відкладається крапка на висоті, відповіднійчастоті кожної варіанти. За варіанту приймемо середини інтервалів. Після цьогокрапки сполучаються відрізками прямих.
3. Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцесваріаційного ряду:
Визначимо значення емпіричних показників.
Статистичний розподіл вибірки встановлює зв‘язок між рядом варіант, щозростає або спадає, і відповідними частотами. Він може бути представленийтаблицею розподілу рівновіддалених варіант, прийнявши за варіанти серединиінтервалів хі.
Для обчислень перейдемо від одержаного інтервального розподілу дорозподілу рівновіддалених варіант, прийнявши за варіанти середини інтервалівхі. Знайдемо вибіркову середню, дисперсію, вибіркове середньоквадратичневідхилення за методом добутку.
Запишемо:
варіанти хі* в перший стовпчик;
відповідні варіантам частоти, в другий стовпчик;
за уявний нуль виберемо варіанту, яка має найбільшу частоту, тобто С=19,4;
одержані умовні варіанти запишемо в третій стовпчик;
добутки niui, niui2 та ni (ui+1) 2 запишемо в наступні стовпчики.
Контроль проведемо за формулою
Маємо: 54+2*22+20=118
118=118
Обчислимо умовні моменти розподілу від першого до четвертого порядківвключно:
Маємо:
Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментіврозподілу
1,1*1,6+19,4=21,2
= =8,3635
Медіанним частинним інтервалом буде третій інтервал, оскільки це першийінтервал, для якого сума частот усіх попередніх частинних інтервалів з данимвключно перевищує половину обсягу вибірки:
5+5+2=12
Для визначення моди інтервального статистичного розподілу необхіднознайти модальний інтервал, тобто такий частинний інтервал, що має найбільшучастоту появи.
Модальним частинним інтервалом буде 2 інтервал.
=20,2 =18,6
= 2 = 5
= 1,6 = 1,6
Ме — 1=1 = 5
= 2
Використовуючи лінійну інтерполяцію, моду обчислимо за формулою:
Відповідь: 21,2; 8,3635;Завдання 7
Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальнийрозподіл генеральної сукупності за даними вибірки.
хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37
mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1
Розв’язання:
Розіб‘ємо інтервал [1; 37] на такі шість частинних інтервалів довжиноюh=6:
хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37
mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1
[1;
7), [7; 13), [13; 19), [19; 25), [25; 31), [31; 37].
новими варіантами будуть середини інтервалів:
х1= (1+7) /2=4;
х2= (7+13) /2=10;
х3= (13+19) /2=16;
х4= (19+25) /2=22;
х5= (25+31) /2=28;
х6= (31+37) /2=34.
Як частоти ni варіант хі візьмемо суму частот варіант, які потрапили увідповідний і-тий інтервал. Запишемо такий статистичний розподілрівновіддалених варіант:
хі 4 10 16 22 28 34
ni 3 10 36 14 0 2
Спочатку знайдемо вибіркове середнє, дисперсію, вибірковесередньоквадратичне відхилення. За уявний нуль виберемо варіанту, яка маєнайбільшу частоту, тобто С= 16.
Обчислимо умовні моменти розподілу:
Маємо:
Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментіврозподілу
0,061*6+16=16,366
= =29,77
Перевіримо гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності Х. Дляцього необхідно знайти теоретичні частоти, ураховуючи, що n=65, h=6 за формулою:
Значення диференціальної функції Лапласа.
В перший стовпчик якої запишемо номер інтервалу;
В другий — варіанти, третій обчислимо за формулою. В четвертий стовпчикзапишемо відповідні значення функцій Лапласа, які візьмемо із значень таблиціφ (u).
В п‘ятий стовпчик запишемо обчислені теоретичні частоти.
Використавши критерій Пірсона зробимо висновок про можливість розподілувеличин Х згідно з нормальним законом.
З таблиці додатку для критичних точок розподілу Х2, числу вільнихстепенів і рівнем значущості а, заходимо критичні точки. Значення критичнихточок при різних α менше, ніж спостережене значення.
Так як, то є підстави відкидати гіпотезу про нормальний розподілгенеральної сукупності ознаки Х, тобто емпіричні і теоретичні частотивідрізняються суттєво, а це якраз і свідчить, що дані вибірки не співпадають згіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.