КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни “Основи фінансової та актуарної математики”
1. Задача № 1 (Варіант №1)
Визначити відсотки І, суму накопиченого боргу S, якщо позичка дорівнює Р, термін позички n, відсотки прості по ставці і.
Р = 600000
n = 3
i = 20%
Рішення
Розраховуємо суму накопиченого боргу Sдля постійних простих відсотків, заданих в якості річної відсоткової ставки та для строку позички в цілих роках. Повернення позички та нарахованих відсотків – після закінчення строку кредитного договору.
/>
Розраховуємо суму відсотків за кредит:
/>
2. Задача № 2 (Варіант №1)
Є зобов’язання погасити за 2 роки (з 12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згодний одержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних. Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис. грн.):
12.04.2000 р. – 550 тис. грн.
12.09.2000 р. – 5 000 тис.грн.
30.06.2001 р. – 6 000 тис. грн.
12.09.2001 р. – 3 000 тис. грн.
12.03. 2002 р. —? (залишок) тис. грн.
Використовуючи актуарний метод, розв’язати завдання та скласти контур операції.
Рішення
Оскільки часткові суми кредиту погашаються нерівними частинами помісячно з різним терміном, розрахунки проведемо для реальної тривалості року 365(366) днів при заданій простій річній відсотковій ставці і = 20%.
Складаємо вихідний контур операції.
Згідно з вихідними даними, нам відома початкова сума позичкового боргу Р = 15млн. грн. та перші чотири суми S1 – S4 накопленого боргу, які знаходилися в боржника на протязі строків t1 – t4, указаних в табл. 2.1. Остання п’ята сума часткового повернення боргу S5 знаходилась у боржника на протязі повного строку позички t5= 2,0роки = 366+365 = 731день (враховуючи, що 2000 рік – високосний).
Таблиця 2.1 — Показники вихідного контуру позичкової операції
№ п/п
Назва операції
Сума операції, тис.грн.
Розрахунковий строк позички, днях
1.
Отримання кредиту Р
15 000
731
2.
Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1
— 550
31
3.
Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2
-5 000
183
4.
Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3
-6 000
482
5.
Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4
-3 000
548
6.
Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5
?
731
За даними табл. 2.1 розраховуємо окремо суми часткового повернення основної суми кредиту P(i) та сплачених нарахованих відсотків I(i) за формулою:
/>(2.1)
За формулою (2.1) розраховуємо суми P(i) та I(i)для перших 4-х періодів.
Розрахувавши часткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5 позикового боргу на кінець строку позикового договору.
/>
/>
/>
/>
/>
4. Розраховуємо загальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:
/>(2.2)
/>
5. Враховуючи результати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичкової операції (табл. 2.2):
Таблиця 2.2 — Показники результативного контуру позичкової операції
№ п/п
Назва операції
Сума операції, тис.грн.
Розра-хунковий строк позички, днях
Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн.
Сума сплачених відсотків в тис.грн.
1.
Отримання кредиту Р
15 000
731
-
-
2.
Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1
— 550
31
540,8
9,2
3.
Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2
-5 000
183
4 545,5
454,5
4.
Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
2
58890
285
3
46400
148
4
68550
280
5
65440
210
У звітному році умови страхування були стабільні, величина навантаження у тарифній ставці – 30%. Розрахуйте нетто-ставку і брутто-ставку.
Рішення
1. Показник збитковості страхової суми(У) являє собою відношення сплаченого страхового відшкодування (SВ) до страхової суми всіх об’єктів страхування (SС):
/>
або 0,527грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 0,484грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 0,319грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 0,408грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 0,321грн./на 100 грн.страхової суми;
6. Нетто-ставка зі страхуваннярозраховується за даними 5 років страхових виплат як математичне очікування показника збитковості страхової суми МY+ 2 s— середньоквадратичних відхилення (з рівнем гарантування ймовірної упевненості 0,954).
/>
/>
Tн (Нетто-ставка)0,95= 0,412% + 2*0,094% =0,6%
Як видно із порівняння розрахованої нетто-ставки з фактичними даними пункту 5 розрахунків, ймовірна максимальна нетто-ставка вища ніж деякі фактичні значення, що характерно для малого обсягу статистичних вибірок (за рахунок сдвигів у середньоквадратичному відхиленні).
3.Тарифна ставка, за якою укладається страховий договір, називається брутто-ставкой. Вона складається з двох частин: нетто-ставки і навантаження. Нетто-ставка – це ціна страхового ризику. Навантаження – вартість, яка покриває витрати страховика з організації та ведення страхової справи, а також містить елементи прибутку.
Загальна методика розрахунку брутто-ставки має вигляд:
/>(7.1)
де Тб – брутто-ставка, % від страхової суми;
Тн – нетто-ставка, % від страхової суми;
Нс – статті навантаження (витрати страховика та його прибуток), в абсолютних процентах від страхової суми;
Н0– регламентовані статті навантаження в процентах від брутто-ставки;
Брутто – ставка з врахуванням заданого навантаження розраховується як:
/>
8. Задача № 8 (Варіант №1)
Обчисліть річну нетто-премію по змішаному страхуванню життя особи у віці 35 років, яка виявила бажання застрахуватися на суму 5000 грн. терміном 15 років, якщо річна нетто-премія за втрату працездатності від нещасних випадків становить 1 грн.50 коп., одноразова нетто-премія по страхуванню на випадок смерті – 120 грн. 77 коп., одноразова нетто-премія по страхуванню дожиття – 393 грн. 51 коп із 1000 грн. страхової суми, а сучасна вартість майбутнього платежу – 10 грн.20 коп.
Рішення
1. За правилами страхової компанії “Універсальна” при змішанному страхуванні життя на випадок дожиття, смерті або нещасного випадку страхові виплати (не ануїтети) встановлюються у таких розмірах:
№ п/п
Страховий випадок
Розмір виплати у відсотках від страхової суми
1.
Дожиття застрахованої особи до закінчення строку дії договору страхування або до досягнення нею віку, визначеного договором страхування
100
2.
Смерть застрахованої особи
100
3.
Інвалідність внаслідок нещасного випадку:
при першій групі інвалідності
при другій групі інвалідності
при третій групі інвалідності
100 страхової суми, встановленої для інвалідності
80 — “ -
60 — “ -
4.
Тимчасова непрацездатність внаслідок нещасного випадку
0,2 % за кожен день непрацездатності але не більше 25 % страхової суми
5.
Смерть внаслідок нещасного випадку
100 страхової суми
Страхові виплати можуть проводитись як у вигляді одноразових, так і у вигляді регулярних послідовних виплат протягом визначеного терміну (ануїтету).
Страхування на дожиття та на випадок смерті
Страховим випадком по даній програмі є смерть Застрахованої особи під час дії Договору страхування або дожиття застрахованої особи до кінця дії Договору страхування.
Для вибору страхового тарифу береться повна кількість прожитих років особи збільшена на один.
Для визначення страхового внеску необхідно страхову суму помножити на відповідний віку, статі, періодичності сплати внесків та строку дії Договору нетто-тариф. При розрахунку місячного, квартального чи піврічного страхового внеску отриману суму ділимо на кількість сплати внесків в рік (відповідно на 12, 4, 2).
Виплата проводиться як у випадку дожиття, так і у випадку смерті застрахованої особи.
Страхування від наслідків нещасних випадків
Застрахованими можуть бути особи, щодо яких укладено договір страхування життя за основними ризиками.
Страховими випадками є: тимчасова непрацездатність, стійка непрацездатність і смерть застрахованої особи внаслідок нещасного випадку.
Для вибору страхового тарифу береться повна кількість прожитих років особи збільшена на один.
Для визначення страхового внеску необхідно страхову суму помножити на відповідний нетто-тариф, який розраховується згідно із Додатком №1 до Правил добровільного страхування життя та пенсій “Універсальні”.
Рішення
Одноразова нетто-ставка страхування на дожиття розраховується по формулі:
/>
де S – страхова сума;
n – кількість років страхування на дожиття з моменту заключення договору;
х — вік застрахованого на момент заключення договору страхування;
l(x) — кількість доживших до віку х осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
l(x+n) — кількість доживших до віку (х+n)осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
Одноразова нетто-ставка страхування на випадок смерті для осіб у віці х-років при терміні страхування n – років розраховується по формулі: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
де S – страхова сума;
n – кількість років страхування на дожиття з моменту заключення договору;
х — вік застрахованого на момент заключення договору страхування;
l(x) — кількість доживших до віку х осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
d(x) — кількість померлих у віці (х)осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
d(x+n-1) — кількість померлих у віці (х+n-1)осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
3. Якщо відома сучасна вартість дисконтованих сумарних ануїтетних щорічних платежів по страхуванню на дожиття та по страхуванню на випадок смерті />, то розрахунок сумарної ставки змішаного страхування nPx(дожиття, смерть, нещасний випадок) виконується за формулою (вихідні дані надані в задачі в розрахунку на 1000 грн. страхової суми):
/>
9. Задача № 9 (Варіант №1)
Знайти розмір премії при страхуванні на дожиття до 30 років новорожденому хлопчику. Ставка і = 9%, страхова сума = 100000 грн.
Рішення
Одноразова нетто-ставка страхування на дожиття розраховується по формулі:
/>
де S – страхова сума;
n – кількість років страхування на дожиття з моменту заключення договору;
х — вік застрахованого на момент заключення договору страхування;
l(x) — кількість доживших до віку х осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
l(x+n) — кількість доживших до віку (х+n)осіб на 100 000 осіб населення (таблиця смертності — Додаток А);
Враховуючи вихідні умови задачі:
l(0) = 100 000 осіб
l(30)=94 070 осіб (чоловіки)
/>
/>
10. Задача № 10 (Варіант №1)
Страхувальник у віці 55 років уклав довічний договір страхування з умовою щорічної сплати страхових внесків, поки він живий. Страхова сума складає 5000 грн., річна норма прибутковості – 5%. Визначити розмір страхових внесків.
Рішення
1. Довічне або пожиттєве страхування — це страхування, що забезпечує стра-хове покриття протягом всього життя застрахованої особи аж до моменту її смер-ті. Цей вид страхування цікавий для людей, котрі навіть у смерті бажають принес-ти користь своїм рідним чи близьким. Так, програма довічного страхування життя страхової компанії “Універсальна” передбачає одноразову сплату страхового внес-ку чи регулярну сплату внесків протягом всього життя або до досягнення віку 55,60,65 чи 70 років
2. В табл. 10.1 балансовим методом розрахована щорічний обсяг страхових внесків з застрахованих, кількість яких щорічно зменшується з рівня lxдля 55 років згідно таблиці смертності (Додаток А). Залишок зібраного щорічного фонду страхових платежів за ставкою доходності переходить у фонд наступного року.
3. Щорічний постійний нетто — внесок застрахованих становить 226,6 грн. на рік, при цьому щорічна кількість платників внесків скорочується.
4. Як показують результати розрахунків, змінного щорічного фонду достатньо для виплати страхової суми до 100 років.
Таблиця 10.1
/>
Список використаної літератури
1. ЗАКОН УКРАЇНИ «Про страхування» (Законом України від 4 жовтня 2001 року N 2745-III цей Закон викладено у новій редакції) // із змінами і доповненнями, внесеними Законами України від 15 грудня 2005 року N 3201-IV.
2. БалабановИ.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1996. – 192 c.
3. ГвозденкоА.А. Основы страхования. М.: Финансы и статистика, 1998 – 228 c.
4. Кофанов В.О. Основи актуарної математики: Навч.посібник. – Д.: РВВ ДНУ, 2005. – 96 с.
5. Правила добровільного страхування життя та пенсій «Універсальні» (із змінами та доповненнями від 27.01.2004 року) // ВАТ “Компанія страхування життя «Універсальна», Тернопіль, 2004, http://www.universalna-life.com.ua.
5. Основы страховой деятельности: Учебник /Отв. Ред. Проф. Т.А. Федорова… М.: Издательство БЕК, 1999. — 776 с.
6.Основи актуарних розрахунків: Навчально-методичний посібник/ С.М. Лаптев, В.І. Грушко, М.П. Денисенко. — К.: Алерта, 2004. — 328 с.
7. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 192 с.
8. Фінансово-банківська статистика. Практикум: Навч.посібник /П.Г.Вашків, П.І. Пастер та інш. – К.: Либідь, 2002. –324 с.
9. Шахов В.В. Страхование: Учебник для вузов.- М.: Страховой полис. ЮНИТИ, 1997.- 311 с.
10. Шумелда Я. Страхування: Навчальний посібник для студ. вищих навчальних закладів/ Я. Шумелда. — 2-ге вид., переробл. і допов… — Тернопіль: Джура, 2006. — 296 с.
Додаток
Таблиця смертності за 1999-2000 роки[5]
Чоловіки
Жінки
Чоловіки
Жінки
Міські поселення та сільська місцевість
Міські поселення та сільська місцевість
Вік
lx
dx
lx
dx
Вік
lx
dx
lx
dx
100000
1432
100000
1032
51
76757
1399
91847
557
1
98568
188
98968
166
52
75358
1466
91290
586
2
98380
108
98802
75
53
73892
1573
90704
640
3
98272
63
98727
57
54
72319
1550
90064
659
4
98209
62
98670
47
55
70769
1778
89405
754
5
98147
46
98623
36
56
68991
1724
88651
781
6
98101
48
98587
30
57
67267
1793
87870
832
7
98053
42
98557
25
58
65474
1892
87038
913
8
98011
48
98532
27
59
63582
1957
86125
977
9
97963
43
98505
25
60
61625
2154
85148
1068
10
97920
42
98480
24
61
59471
2098
84080
1131
11
97878
43
98456
24
62
57373
2161
82949
1212
12
97835
41
98432
27
63
55212
2209
81737
1349
13
97794
49
98405
28
64
53003
2278
80388
1494
14
97745
57
98377
34
65
50725
2308
78894
1620
15
97688
72
98343
38
66
48417
2221
77274
1635
16
97616
96
98305
45
67
46196
2284
75639
1735
17
97520
127
98260
51
68
43912
2405
73904
1892
18
97393
160
98209
60
69
41507
2465
72012
2041
19
97233
180
98149
60
70
39042
2492
69971
2167
20
97053
218
98089
63
71
36550
2471
67804
2370
21
96835
237
98026
69
72
34079
2477
65434
2516
22
96598
271
97957
68
73
31602
2385
62918
2683
23
96327
278
97889
79
74
29217
2275
60235
2825
24
96049
302
97810
74
75
26942
2322
57410
3069
25
95747
313
97736
83
76
24620
2234
54341
3181
26
95434
329
97653
87
77
22386
2099
51160
3340
27
95105
321
97566
95
78
20287
2040
47820
3466
28
94784
331
97471
96
79
18247
1895
44354
3496
29
94453
383
97375
107
80
16352
1974
40858
3780
30
94070
451
97268
125
81
14378
1944
37078
3991
31
93619
420
97143
126
82
12434
1609
33087
3556
32
93199
466
97017
133
83
10825
1496
29531
3435
33
92733
505
96884
139
84
9329
1498
26096
3603
34
92228
523
96745
143
85
7831
1375
22493
3435
35
91705
580
96602
152
86
6456
1180
19058
3169
36
91125
594
96450
160
87
5276
1038
15889
2762
37
90531
634
96290
175
88
4238
870
13127
2581
38
89897
672
96115
198
89
3368
714
10546
2530
39
89225
714
95917
204
90
2654
592
8016
1838
40
88511
830
95713
234
91
2062
481
6178
1550
41
87681
813
95479
241
92
1581
386
4628
1268
42
86868
864
95238
265
93
1195
304
3360
1005
43
86004
928
94973
286
94
891
236
2355
767
44
85076
983
94687
307
95
655
181
1588
562
45
84093
1102
94380
339
96
474
136
1026
394
46
82991
1118
94041
356
97
338
101
632
263
47
81873
1151
93685
394
98
237
73
369
166
48
80722
1236
93291
449
99
164
53
203
98
49
79486
1297
92842
463
100
111
37
105
54
50
78189
1432
92379
532
продолжение
--PAGE_BREAK--