Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
КафедраПрикладної математики
Курсова робота
зкурсу «Дискретна математика»
натему
«Функціональнаповнота системи функцій алгебри логіки. Спеціальні класи функцій алгебрилогіки. Теорема Поста»
Виконала: ст. гр.ІФ-31
Мартинюк Н.О
Прийняла: Тесак І.Є
Львів– 2011р.
В роботі розглянуто поняття функціональної повнотисистеми функцій алгебри логіки, спеціальних класів функцій алгебри логіки, атакож досліджено умови виконання теорема Поста.
В середовищі програмування С# реалізується алгоритм, який визначає чи є система функцій алгебрилогіки функціонально повна, вид повноти.
Вступ
Засади алгебрилогіки були сформульовані британцем Джорджем Булем у 1847 році. Пізніше їїрозвивали Чарлз Пірс, Генрі Шеффер, П. С. Порецький, Бертран Рассел, ДавидГільберт та ін.
Відтоді цясистема застосовується для вирішення широкого спектру проблем математичноїлогіки та теорії множин, та особливо конструювання цифрової електроніки(початок використання алгебри логіки для синтезу перемикальних (релейних) схембув покладений в 1938 році роботами відомого американського вченого КлодаШеннона).
Алгебра логіки(Булева логіка, двійкова логіка, двійкова алгебра) — розділ математичноїлогіки, що вивчає систему логічних операцій над висловлюваннями. Тобто,представлення логіки у вигляді алгебраїчної структури.
Спочатку проблематикаалгебри логіки перетиналась з проблематикою алгебри множин (теоретико-множинніоперації).
Проте іззакінченням формування теорії множин, що відбулось в 70-тих роках 19 століття,яка включила в себе алгебру множин, і подальшим розвитком математичної логіки,предмет алгебри логіки значно змінився.
Сучасна алгебралогіки розглядає операції над висловлюваннями, як булеву функцію і вивчаєвідносно них такі питання, як:
-таблиціістинності;
-функціональнаповнота;
-замкнені класи;
-представлення увигляді: ДНФ, КНФ, полінома Жегалкіна.
Базовимиелементами алгебри логіки є висловлювання. Висловлювання будуються над множиною{B,,,, 0, 1}, де B — булева множина, над елементами якої визначені триоперації:
— заперечення(унарна операція),
— кон'юнкція(бінарна),
— диз'юнкція(логічна, бінарна),
— константи —логічний нуль 0 та логічна одиниця 1.
Функціональнаповнота системи функцій алгебри логіки відіграє важливу роль в математичнійлогіці.
Розділ 1. Функціональна повнота системифункцій алгебри логіки
1.1. Функції алгебри логіки
Визначення. НехайЕ2={0,1} основна множина, тоді Е/>={/>}. Тоді всюди визначеною булевоюфункцією називаємо відображення />. Таку функцію можна задатитаблично а також як суперпозицію інших, простіших функцій. Наприклад, для n=1:
Булева функціятабличне зображення.
Таблиця №1
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1 1 1
Функція 0називається константою нулем, функція 1 – константою одиницею, функція х –тотожною, а функція /> - запереченням х (/>).
Булевою функцієюназивається функція />в якій всі аргументи /> є незалежними,і сама функція є логічними змінними, що приймають лише два значення 0 та 1. Ціфункції можуть бути задані аналітично, геометрично або за допомогою таблицьістинності. Всі елементарні булеві функції двох змінних представлені таблицеюістинності.
Таблицяістинності булевих функцій двох змінних.
Таблиця №2№
X= 0
Y= 0
1
1
1
1
fк (X,Y) 1
/> 2 1
/> 3 1
/> 4 1 1
/> 5 1
/> 6 1 1
/> 7 1 1
/> 8 1 1 1
/> 9 1
/> 10 1 1
/> 11 1 1
/> 12 1 1 1
/> 13 1 1
/> 14 1 1 1
/> 15 1 1 1
/> 16 1 1 1 1
/>
Більшість ізшістнадцяти булевих функцій f(x, у) часто застосовуються на практиці. Оскількидані функції використовуються як у математиці, так і в програмуванні, вониможуть мати різне позначення.
Позначеннябулевих функцій та їх назви.
Таблиця №3 Функція Позначення Назва
/> константа 0
/>
/>
Кон'юнкція (логічне «і») — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо всі операнди мають значення «істина». Операція відображає вживання сполучника «і» в логічних висловлюваннях./> Позначається в програмуванні як & чи and.
/>
/> заперечення імплікації
/>
/> Повторення першого аргументу
/>
/>/> заперечення оберненої імплікації
/> У Повторення другого аргументу
/>
х/>у Виключна диз'юнкція (XOR, додавання за модулем два) — двомісна логічна операція, що приймає значення «істина» тоді і тільки тоді коли значення «істина» має рівно один з її операндів. Виключна диз'юнкція є запереченням логічної еквівалентності.
/>
/> Диз'юнкція (логічне «або») — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо хоча б один з операндів має значення «істина». Операція відображає вживання сполучника «або» в логічних висловлюваннях. Позначається в програмуванні як or.
/>
/> Стрілка Пірса (операція NOR) — двомісна логічна операція, яка є запереченням диз'юнкції; тому значення «істина» одержується тільки тоді, коли обидва операнди мають значення «хиба».
/>
/> Еквівалентність — двомісна логічна операція, що має значення «істина», якщо обидва операнди мають однакове значення. Операція відображає вживання сполучника «тоді і тільки тоді» в логічних висловлюваннях.
/>
/> заперечення другого аргументу
/>
/> обернена імплікація
/>
/> заперечення першого аргументу
/>
/> Імплікація – двомісна логічна операція, що має значення «хиба», тоді і тільки тоді, коли перший операнд має значення «істина», а другий — «хиба».
/>
/> Штрих Шеффера (операція NAND) — двомісна логічна операція, яка є запереченням кон'юнкції; тому значення «хиба» одержується тільки тоді, коли обидва операнди мають значення «істина».
/> 1 константа 1
1.2 Функціональна повнота
Визначення.Множина функцій алгебри логіки А називається повною системою (в Р2),якщо будь-яку функцію алгебри логіки можна виразити формулою над А.
Теорема 1[1,ст.6]. Система А={/>} є повною.
Доведення. Якщофункція алгебри логіки /> відмінна від тотожного нуля, то fвиражається у вигляді досконалої диз’юнктної нормальної форми, в яку входятьлише диз’юнкція, кон’юнкція та заперечення. Якщо ж />, то />. Теорема доведена.
Лема 1[1, ст.6].Якщо система А – повна, і будь-яка функція може бути виражена формулою надіншою системою В, то В – теж повна система.
Доведення.Розглянемо довільну функцію алгебри логіки /> і дві системи функцій А={g1,g2,…} і B={h1, h2,…}. Оскільки система Аповна, функція /> може бути виражена у виглядіформули над нею />, де />, тобто функція /> представляється у вигляді />, що означає що вона може бутипредставлена формулою над В. Перебираючи таким чином всі функції алгебрилогіки, отримаємо, що система В також повна. Лема доведена.
Теорема 2[1,ст.6]. Такі системи є повними в Р2
1. />;
2. />;
3. />;
4. />/>
Доведення.
1. Відомо(теорема 1), що система А=/>повна. Покажемо, що система В=/>повна. Ззакону де Моргана /> отримуємо, що />, тобто кон’юнкціявиражається через диз’юнкцію і заперечення, і всі функції системи А виражаютьсяформулами над системою В. Система В повна (лема 1).
2. Аналогічнопункту 1: />=/>із леми 1випливає, що вираз пункту 2 є правильний.
3. /> згідно леми 1система повна.
4. /> згідно леми 1система повна.
Розділ 2. Спеціальні класи функцій алгебрилогіки
2.1 Замкнені класи
Визначення. НехайА/>Р. Тодізамиканням А називається множина всіх функцій алгебри логіки, які можнавиразити формулами над А.
Позначення :/>.
Мають місценаступні властивості
1. />;
2. />;
3. />.
Визначення.Система функцій алгебри логіки А називається повною, якщо />.
Визначення. НехайА/>Р. Тодісистема А називається замкнутим класом, якщо замикання А збігається з />.
Теорема 3[1, ст.8]. Нехай А замкнений клас, А/>Р2 і В/>А. Тоді В – неповнасистема (підмножина неповної системи буде також неповна система).
Доведення
/>
отже В – неповнасистема.
Теорема доведена
Прикладизамкнених класів
Клас />
Класу /> належать такіфункції: />
Класу /> не належать такі функції: />
Теорема 4[1, ст.8]. Клас /> – замкнений .
Доведення
Нехай />
Розглянемофункцію
/>
Серед зміннихфункцій /> можутьзустрітись однакові, тому в якості змінних функції /> візьмемо всі різні із них.
Тоді />, отже функція/> такожзберігає 0. Розглянутий тільки окремий випадок (без змінних в якостіаргументів). Проте, оскільки тотожна функція зберігає нуль, підстановка простихзмінних еквівалентна підстановці тотожної функції, теорема доведена.
Клас />
Класу /> належать такіфункції: />
Класу /> не належать такіфункції: />
Теорема 5[1, ст.8]. Клас />– замкнений.
Доведення
Нехай
/>
Розглянемо функцію
/>
Серед зміннихфункцій /> можутьзустрітись однакові, тому в якості змінних функції /> візьмемо всі різні із них.
Тоді />, отже функція/> такожзберігає 1. Розглянутий тільки окремий випадок (без змінних в якостіаргументів). Проте, оскільки тотожна функція зберігає одиницю, підстановка простихзмінних еквівалентна підстановці тотожної функції, теорема доведена.
Клас /> лінійнихфункцій.
Визначення.Функція алгебри логіки /> називається лінійною, якщо
/>
де />
Іншими словами, вполіномі лінійної функції немає доданків, що містять кон'юнкцію.
Класу /> належать такіфункції: />
Класу /> не належатьтакі функції: />
Теорема 6. Клас /> – замкнений.
Доведення. Оскількитотожна функція — лінійна, досить розглянути тільки випадок підстановки у формулифункцій: нехай /> Достатньо показати, що />. Дійсно, якщоне враховувати доданків />, то всяку лінійну функцію можна зобразитиу вигляді />.Якщо тепер замість кожного /> підставити лінійний вираз, товийде знову лінійний вираз, константа 0 або константа 1.
2.2 Клас самодвоїстих функцій та його замкненість
Визначення.Функцією двоїстою до функції алгебри логіки /> називається функція />
Теорема 7. Принцип двоїстості
Нехай
/>
Тоді />
Доведення.
Розглянемо
/>
Теорема доведена.
Клас />самодвоїстих функцій.
Визначення. Функція алгебри логіки /> називаєтьсясамодвоїстою, якщо /> Тобто />.
Класу /> належать функції
/>
Класу /> не належатьфункції
/>
Теорема 8. Клас /> – замкнений.
Доведення. Нехай
/>
/>
Тоді з принципудвоїстості випливає, що
/>
Отже, />
Теорема доведена
2.3 Клас монотонних функцій та його замкненість
Визначення
Нехай />
Тоді />
Визначення.Функція алгебри логіки /> називається монотонною, якщо длядвох будь-яких порівняльних наборів /> і /> виконується імплікація
/>
Клас /> усіхмонотонних функцій.
Класу /> належать такіфункції: />
Класу /> не належатьтакі функції: />
Теорема 9. Клас /> - замкнений
Доведення.Оскільки тотожна функція монотонна, достатньо перевірити лише випадоксуперпозиції функцій.
Нехай />, длябудь-якого /> і/>
Розглянемодовільні набори />, такі, що />. Позначимо /> Тоді длябудь-якого /> маємо/>, тобто />. Позначимо />.
Тоді завизначенням /> ів силу монотонності функції />. Але /> і нерівність />, отже />.
Теорема доведена
Критерій Постаформулює необхідну і достатню умову повноти для системи функцій: системабулевих функцій є повна тоді і тільки тоді, коли вона не міститься повністю вжодному з класів Т0, Т1, S, M, L.
Повна системаназивається базисом, якщо вона перестає бути повною при вилученні з неїдовільної функції.
Прикладом повнихсистем із однією функцією є штрих Шеффера та стрілка Пірса.
Широко відомими єтакі повні системи булевих функцій:
1. Булеваалгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними та унарною операціями (/>), відповіднодо законів де Моргана вона не є базисом оскільки диз’юнкцію чи кон’юнкцію можнавиключити.
2. АлгебраЖегалкіна (/>/>, />/>1 – константа одиниця) – є базисом.
Перша системавикористовується для представлення булевих функцій у вигляді диз’юнктних та кон’юнктних нормальних форм, друга – дляпредставлення у вигляді поліномів Жегалкіна.
Приклад. Системафункцій {/>}є функціонально повною, але система функцій {/>} не є функціонально повна.
Якщо уфункціонально повній системі є функції константи «0» чи константи «1», то вонапослаблено функціонально повна.
Приклад. Системафункцій {/>},що поповнена константою одиниці, тобто {{/>},1}, є послаблено функціональноповна.
Максимальнакількість булевих функцій у базисі – 4.
Деколи кажуть просистему функцій повну в деякому класі, а також про базис цього класу. Наприкад,систему {/>}можна назвати базисом класу лінійних функцій.
Визначення.Система булевих функцій називається мінімально повним базисом, якщо видалення знеї будь-якої функції перетворює цю систему в неповну.
Приклад. Мінімальноповний базис є {/>}, але система {/>} не є мінімально повнимбазисом.
ФункціональноЗамкнуті класи, відмінні від порожнього класу і сукупності всіх можливихбулевих функцій, називаються власними функціонально замкненими класами.
Отже, довільнафункція, яку можна зобразити формулою з використанням функцій множини P, такожвходить в цю множину
1. /> - замкнутістьщодо заміни змінних;
2. /> - замкнутістьщодо суперпозиції.
В 1941 році ЕмільПост надав повний опис замкнених класів, який назвали решіткою Поста.
Особливоважливими замкнутими класами є так звані передповні класи.
алгебра логіка функція теорема поста
2.4 Передповні класи
Визначення. Нехай/>. /> називається передповнимкласом, якщо
1. />;
2. />.
Теорема 10. В /> передповними єлише такі 5 класів: />
Доведення
1. Покажемоспочатку, що жоден з цих п’яти класів не міститься в іншому. Дляцього достатньо для кожного з цих п’яти класів вказати чотири функції, що належать цьому класу, але що неналежать іншим чотирьом
/> />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1
/>
/> 1
/> 1
/>
/> 1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
2. Доведемо,що всі класи – T0, T1, L, S, M є передповними. Дійсно, нехай /> і />. Тоді системи /> немає в жодному ізкласів Поста. Отже, система /> – повна і /> – передповний клас.
3. Нехай /> - передповнийклас
Тоді />
Якщо />, то />
Жоден зпередповних класів не міститься повністю в об'єднанні чотирьох інших класів;довільний замкнутий клас, відмінний від P2, повністю міститься хочаб в одному з п'яти передповних класів.
Таблиця №3 Хиба Істина Заперечення Кон'юнкція, AND Диз'юнкція, OR Виключна диз'юнкція XOR Еквівалентність, XNOR Імплікація Заперечення імплікації Штрих Шеффера, NAND Стрілка Пірса, NOR Т0 • • • • • Т1 • • • • • S • M • • • • L • • • • •
Щоб вибратифункціонально повну систему функцій потрібно, щоб таблиця з їхніх стовпців вкожному рядку містила хоча б одну порожню клітинку.
Щоб вибрати базисдля класу потрібно, щоб таблиця з їхніх стовпців в кожному рядку (крім рядкацього класу) містила хоча б одну порожню клітинку.
2.5 Інші важливі замкнені класи
1. Класкон'юнкцій K, що є замиканням множини операцій {/>}. Він представляє собою множинуфункцій виду />.
2. Класдиз'юнкцій D, що є замиканням множини операцій {/>}. Він представляє собою множинуфункцій виду />.
3. Клас Uфункцій одної змінної, що містить тільки константи, заперечення та селектор(функцію, що тотожна одній зі своїх змінних).
4. Клас /> функцій (m — натуральне число, більше одиниці), в яких для довільних m наборів, на якихфункція рівна нулю, знайдеться змінна, яка теж рівна нулю на всіх цих наборах.
5. Клас />функцій, дляяких виконується умова />.
6. Клас /> функцій (m — натуральне число, більше одиниці), в яких для довільних m наборів, на якихфункція рівна 1, знайдеться змінна, яка теж рівна 1 на всіх цих наборах.
7. Клас /> функцій, дляяких виконується умова />.
В 1941 році ЕмільПост показав, що довільний замкнутий клас є перетином скінченної кількостівищеописаних класів. Також Пост встановив, що довільний замкнутий клас можебути породжений скінченним базисом.
Властивості:
1. Перетинзамкнутих класів є замкнутим класом.
2. Об'єднаннязамкнутих класів може не бути замкнутим класом.
3. Доповненнязамкнутого класа булевих функцій до множини всіх булевих функцій P2не є замкнутим класом.
Розділ 3. Теорема Поста
Лема 2(пронесамодвоїсту функцію.) [1, ст. 10]. З будь-якої несамодвоїстої функції алгебрилогіки />,підставляючи замість усіх змінних функції /> і/>, можна отримати/>.
Доведення
Нехай/>
Тоді />
/>
Побудуємо функцію/> так:
/>
Дійсно
/>
і/>
Зауважимо, щопідстановка задовольняє умові теореми, так
як/>
Лемy доведенo.
Лема 3(пронемонотонну функцію.) [1, ст. 11]. З будь-якої немонотонної функції алгебрилогіки />,підставляючи замість усіх змінних функції />, можна отримати функцію
/>
Доведення
Нехай />. Тоді існуютьтакі набори /> і/>, що /> (тобто /> і />) і />. Виділимо тірозряди /> наборів /> , в яких вони відрізняються.Очевидно, в наборі /> ці розряди
рівні 0, а внаборі />. Розглянемо послідовність наборів/> таких,що/>, де /> виходить з /> заміною одногоз нулів, розташованого в одній з позицій />, на одиницю (при цьому набори /> і /> — сусідні).
Оскільки />, а />, серед наборів /> знайдуться два сусідні /> і />, такі що /> і />. Нехай вони відрізняються в r-мурозряді: />,/>. Тодівизначимо функцію /> так: />. Справді, тоді />, /> і />. Лема доведена.
Лема 4(пронелінійну функцію.) [1, ст. 11]. З будь-якої нелінійної функції алгебри логіки />, підставляючизамість усіх змінних/>, можна отримати /> або />.
Доведення. Нехай />. Розглянемо поліном Жегалкінацієї функції.
З її нелінійностівипливає, що в ньому присутні складові виду/>. Будемо вважати, що існує добуток/>. Такимчином, поліном Жегалкіна цієї функції виглядає так
/>,
Причому />
Інакше кажучи, />такі, що/>.
Розглянемодопоміжну функцію
/>.
Тоді функція
/>
Лему доведено.
Теорема 11
Cистема функцій алгебри логіки/> є повноюв /> тоді ітільки тоді, коли вона не міститься цілком в жодному із класів: />.
Доведення
Необхідність.Нехай /> –повна система, /> – будь-який з класів /> і нехай />
Тоді
/>
Отриманепротиріччя завершує обґрунтування необхідності.
Достатність.Нехай
/>
Тоді в /> існуютьфункції
/>
Достатньопоказати, що
/>
Розіб’ємо доведення на три частини:отримання заперечення, констант і кон’юнкції.
1. Отримання/>.Розглянемо функцію /> і введемо функцію />. Так як функція /> не зберігає 0,/>. Можливідва випадки: /> або />. Розглянемо функцію /> і аналогічнимспособом введемо функцію />. Так як функція /> не зберігає одиницю, />. Можливітакож два випадки: /> або />. Якщо хоч в одному випадкуотримали шукане значення, то пункт завершений. Якщо ж в обидвох випадкахотримали константи, то згідно з лемою 3(про немонотонну функцію), підставляючифункцію /> замістьусіх змінних константи і тотожні функції, можна отримати заперечення. Отже,заперечення отримане.
2. Отриманняконстанти 0 та 1. Маємо />. Згідно з лемою 2(пронесамодвоїсту функцію), підставляючи замість усіх змінних функції /> заперечення(отриманев попередньому пункті) і тотожну функцію, можна отримати константи
/>
Константиотримані.
3. Отриманнякон’юнкції />.Маємо функцію />. Згідно з лемою4(про нелінійнуфункцію), підставляючи у функцію /> замість усіх змінних константи ізаперечення(які були отримані у попередніх пунктах доведення), можна отриматикон’юнкцію або заперечення кон’юнкції. Проте на першому етапі заперечення вжеотримано, отже, завжди можна отримати кон’юнкцію
/>
Кон’юнкціяотримана.
Отже, />
Остання рівністьвипливає з другого пункту теореми 2. Враховуючи лему 1 достатність доведена.
Розділ 4. Постановка і реалізація задачі
Постановказадачі.
Задано систему функцій алгебри логіки. Визначити чиє ця система функціонально повна, визначити вид повноти.
Реалізація задачі.
Для розв’язання задачі написана програма, якареалізована в середовищі С#. Вона є об’єктно орієнтована.
Алгоритм реалізації програми.
Вводжу систему функцій алгебри логіки. За теоремоюПоста перевіряю її на повноту(послаблену повноту), використовуючи таблицю №3.
Для коректної роботи програми достатньо таких характеристиккомп’ютера: Windows ХР 2008, процесор з тактовою частотою – 200МГц, оперативна пам'ять – 32 Мб, вільна пам'ять на жорсткому диску – 200 Мб.
Необхідно коректно вводити вхідні дані. Для цьогокористувачеві надається інструкція з позначенням всіх операцій:
1 – хиба;
2 – істина;
3 – заперечення;
4 – кон’юнкція;
5 – диз’юнкція:
6 – додавання за модулем 2;
7 – еквівалентність;
8 – імплікація;
9 – заперечення імплікації;
10 – штрих “Шеффера”;
11 – стрілка Пірса.
При некоректному вводі вхідних даних користувачевібуде виведене повідомлення про помилку.
Кожну наступну вибрану операцію потрібно вводитипісля натискання кнопки Enter. Для завершення вводу потрібно двічі натиснути кнопку Enter.
Контрольніприклади виконання програми
/>
/>
/>
Висновки
Засади алгебри логіки були сформульовані британцемДж. Булем в 1847 році. Зараз алгебра логіки широко використовується для конструюванняцифрової електроніки, синтезу перемикальних (релейних) схем.
Еміль Пост (11.02.1897 — 21.04.1954) –американський математик і логік, зробив великий внесок у розвиток дослідженьщодо питання повноти системи функцій алгебри логіки. Ним був отриманий рядфундаментальних результатів в математичній логіці, він дав одне з найбільшвживаних визначень понять несуперечності і повноти формальних систем числення,а також йому належить доведення функціональної повноти і дедуктивної повноти (уширокому і вузькому сенсі) висловлювань.
Також вивчаючи складні спеціальні каналидиференціального аналізатора, американський науковець Клод Шеннон бачив, щоБулеву алгебру і двійкову арифметику можна використовувати, щоб спроститирозташування електромеханічних реле, які тоді використовувалися у телефонах.Використання цієї властивості електричних перемикачів є базовою логічноюконцепцією, яка лежить в основі всіх електронних цифрових комп'ютерів.
Питання функціональної повноти алгебри логіки відіграєважливу роль в математичній логіці: всі двомісні логічні операції численнявисловлювань можуть бути виражені через кон'юнкцію і заперечення, або черездиз'юнкцію і заперечення, або через імплікацію і заперечення, або навіть черезєдину операцію антикон'юнкцію («штрих Шефера»), тобто всі ці сімейства логічнихв'язок є функціонально повними класами операцій алгебри логіки.
Список використаноїлітератури
1. Алексеев В.Б., Поспелов А.Д.Дискретная математика. – М., 2002. – 44с.
2. Белоусов А.И., Ткачев С.Б.Дискретная математика. –М.,2004. – 743с .
3. Мартинюк О.М. Основи дискретноїматематики. – Одеса: Наука і техніка,2008.-300с.
4. Борисенко О.А. Лекції здискретної математики (множини і логіка): навчальний посібник. – 3-є вид.,випр. і доп. – Суми: ВДТ «Університетська книга», 2002. – 180 с.
5. Плотников А.Д. Дискретнаяматематика: учебное пособие. – М.: Новое знание, 2005. – 288 с.
6. Основи дискретної математикиКапітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А. та ін.– К.: Наукова думка,2002. – 580 с.