Санкт-Петербургский Государственный Университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Кафедра диагностики функциональных систем
Варламова Александра Александровна
Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита
Заведующий кафедрой
доктор медицинских наук, профессор Шишкин В.И.
Научный руководитель
доктор медицинских наук, профессор Шишкин В.И.
Санкт-Петербург
2008
Содержание
Введение
1 Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних
2 Множественная линейная регрессия
3 Дисперсионный анализ
4 Линейная регрессия
Заключение
Введение
Артриты реактивные — термин, принятый для обозначения артритов, развивающихся после инфекций, но не обусловленных попаданием инфекционного агента в полость сустава. Обычно реактивные артриты носят иммунокомплексный характер, т. е. возникают вследствие нарушений иммунитета у генетически предрасположенных лиц из-за недостаточной утилизации комплексов антиген — антитела макрофагальной системой. Реактивные артриты могут развиваться после многих инфекций (бактериальных, вирусных и др. ) независимо от их тяжести, но чаще — после энтероколитов, вызванных иерсиниями, и инфекций мочевых путей, обусловленных хламидиями.
В настоящее время реактивный артрит (РеА) является одним из наиболее частых ревматологических диагнозов. Обычно реактивным считают артрит, который не удовлетворяет диагностическим критериям ревматоидного или подагрического артрита и не сопровождается специфической для системных ревматических заболеваний внесуставной симптоматикой.
Этиология РеА неизвестна. Предположительно, в основе РеА лежит генетически детерминированная аномалия иммунной системы, которая реализуется при инфицировании некоторыми микроорганизмами.
Клиническая картина РеА может включать:
• характерный суставной синдром;
• клинику урогенитальной инфекции;
• внесуставные поражения (кожи и слизистых оболочек);
• поражения позвоночника (обычно сакроилеит);
• висцеральные поражения;
• системную воспалительную реакцию
Суставной синдром (обязательное проявление заболевания) характеризуется:
– асимметричным олигоартритом (воспалением 2-3 суставов или суставных групп) с поражением суставов ног (коленных, голеностопных, плюснефаланговых и межфаланговых) и тендовагинитом (ахиллобурситом);
– началом первого эпизода артрита в период до 30 дней после полового контакта, со средним интервалом в 14 дней между появлением урогенитальных симптомов и артритом;
– болью и ригидностью с отеком или без него в области прикрепления мышц, сухожилий и связок, особенно ахиллова сухожилия и плантарной фасции, к пяточной кости, что часто ведет к затруднениям при ходьбе
Клинические признаки артрита :
1. Боль в суставе/суставах:
• ощущается во всем суставе;
• связана с движениями и суточным ритмом (при любых движениях, усиливается в покое и ночью);
• сопряжена с амплитудой движений в суставе (при движениях во всех плоскостях, нарастающая с увеличением амплитуды движений);
• обычно тупая, ноющая, выкручивающая.
2. Скованность – субъективное ощущение препятствия движению, которое, как правило, наиболее выражено сразу после пробуждения, периода отдыха или неактивности. Скованность обусловлена нарушением оттока жидкости из воспаленного сустава в покое, уменьшается или проходит при возобновлении движений в суставе. Продолжительность и выраженность скованности отражают степень местного воспаления.
3. Припухлость – преходящее увеличение в размерах и изменение контура сустава, обусловленные как накоплением экссудата в полости сустава, так и отеком периартикулярных тканей. Наиболее отчетливо припухлость выявляется на разгибательных (тыльных) поверхностях локтевых и лучезапястных суставов, на кисти, коленных и голеностопных суставах и стопе.
4. Повышение температуры суставов также является признаком воспаления. Определяется проведением тыльной стороной ладони по поверхности сустава.
5. Болезненность сустава при пальпации подтверждает, что боль в суставе обусловлена именно его поражением, а не является отраженной.
Системная воспалительная реакция
Системные симптомы недомогания, усталости, потеря веса и лихорадка встречаются примерно у 10% пациентов. Практические у всех больных в клиническом анализе крови повышена скорость оседания эритроцитов (СОЭ).
Объект, предмет, цель и задача исследования
В качестве исходных данных для исследования даны выборки численных значений медико-биологических показателей человеческого организма, а именно, показатели активности заболевания: СОЭ, наличие С-реактивного белка, уровня фибриногена и гемоглобина в крови больных реактивным артритом. А также выборка значений болевого синдрома оцененного в баллах по визуальной аналоговой шкале (ВАШБП) и синдрома припухлости (ВАШСП).
В целях полноты изложения приведем необходимые определения :
СОЭ(скорость оседания эритроцитов) — свойство эритроцитов оседать при помещении несвернувшейся крови в вертикально поставленную пробирку. Ускорение наблюдается при большинстве воспалительных, инфекционных и др. заболеваниях.
С-реактивный белок (СРБ)очень чувствительный элемент крови, быстрее других реагирующий на повреждения тканей. Наличие реактивного белка в сыворотке крови – признак воспалительного процесса, травмы, проникновения в организм чужеродных микроорганизмов – бактерий, паразитов, грибов. С-реактивный белок стимулирует защитные реакции, активизирует иммунитет. Определение СБР используется для диагностики острых инфекционных заболеваний и опухолей. Также анализ СРБ используется для контроля над процессом лечения, эффективности антибактериальной терапии и т.д.
Гемоглобин(от гемо… и латинское globus — шар), красный дыхательный пигмент крови человека, позвоночных и некоторых беспозвоночных животных. Состоит из белка (глобина) и железопорфирина — гема. Переносит кислород от органов дыхания к тканям и диоксид углерода от тканей к дыхательным органам. Многие заболевания крови (анемии) связаны с нарушениями строения глобина, в том числе наследственными (гемоглобинопатии — серповидноклеточная анемия, талассемия и др.).
Фибриноген (от фибрин и… ген), растворимый белок плазмы крови, относящийся к группе глобулинов; фактор I свёртывания крови, способный под действием фермента тромбина превращаться в фибрин. Молекула имеет форму глобулы диаметром около 22 нм. Синтез фибриногена в организме происходит в паренхиматозных клетках печени. Содержание фибриногена в плазме крови здорового человека 300- 500 мг%. При недостаточности фибриногена в организме или при образовании молекул с аномальным строением наблюдается кровоточивость.--PAGE_BREAK--
ВАШБП — оценка интенсивности боли, для характеристики которой используют простые визуальные аналоговые шкалы.
ВАШСП– оценка припухлости суставов, для характеристики которой используют простые визуальные аналоговые шкалы
/>
Визуально аналоговые шкалы важный компонент большинства современных клинических методов, применяемых при обследовании пациентов. Специальные опросники позволяют дать более полную характеристику болевого синдрома, выявить связь между выраженностью боли и нарушением функционального состояния больных.
Объект исследования
Объектом нашего исследования являются выборочные данные результатов измерений СОЭ, СРБ, Гемоглобина, Фибриногена, ВАШБП и ВАШСП, причем изучаемые данные разделены на 4 группы. В первой группе представлены данные при болезни, вызванной моче половыми инфекциями, во второй группе — неизвестной этиологии, в третьей – ОРВИ, в четвертой – желудочно-кишечными инфекциями.
Предмет исследования
Предмет исследования определяем, как нахождение зависимости между показателями активности заболевания (СОЭ, СРБ, Фибриноген, Гемоглобин), болевым синдромом оцененным по визуально аналоговой шкале (ВАШБП) и синдромом припухлости оцененным также по визуально аналоговой шкале (ВАШСП).
Используемые методы
1.Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних
Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ, Фибриноген, гемоглобин, ВАШБП и ВАШСП. Научное обоснованное решение подобной задачи при некоторых предположениях составляет предмет дисперсионного анализа.
Статистическая модель
Выборки производятся из нормальных совокупностей. Первая выборка производиться из совокупности со средним/>, вторая — со средним />, k-я из совокупности со средним />. Все наблюдения независимы.
Критическая область.
Если значение p/>0, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т.е. хотя бы одно среднее арифметическое отличается от остальных значений. Выберем критический уровень значимости pKP для условия принятия нулевой гипотезы pкр=0,05
p>pкр
Гипотезы №1.
Н: />= />=…= />
Н1: не все средние равны.
Так как данный метод работает только для нормальных совокупностей то сначала построим графики функций распределения для каждой выборки.
Для экономии времени и упрощения расчетов воспользуемся Matlab.
/>
График функции распределения для значений Hb в 1 группе
/>
График функции распределения для значений Hb в 2 группе
/>
График функции распределения для значений Hb в 3 группе
/>
График функции распределения для значений Hb в 4 группе
/>
График функции распределения для значений СРБ в 1 группе
/>
График функции распределения для значений СРБ в 2 группе
/>
График функции распределения для значений СРБ в 3 группе
/>
График функции распределения для значений СРБ в 4 группе
/>
График функции распределения для значений СОЭ в 1 группе
/>
График функции распределения для значений СОЭ в 2 группе
/>
График функции распределения для значений СОЭ в 3 группе
/>
График функции распределения для значений СОЭ в 4 группе
/>
График функции распределения для значений Фибриногена в 1 группе
/>
График функции распределения для значений Фибриногена в 2 группе
/>
График функции распределения для значений Фибриногена в 3 группе
/>
График функции распределения для значений Фибриногена в 4 группе
/>
График функции распределения для значений ВАШБП в 1 группе
/>
График функции распределения для значений ВАШБП в 2 группе
/>
График функции распределения для значений ВАШБП в 3 группе
/>
График функции распределения для значений ВАШБП в 4 группе
/>
График функции распределения для значений ВАШСП в 1 группе
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
График функции распределения для значений ВАШСП в 2 группе --PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
96
24
6
96
48
48
6
После выполнения вычислений мы получаем:
p=0.4677 продолжение
--PAGE_BREAK--
Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа
Таблица №1.2.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.
Компонента дисперсии
Сумма квадратов
Степень свободы
Средний квадрат
Между выборками
23192,8
3
7730,92
Остаточная
1616980,7
178
9084,16
Полная
1640173,5
181
-----
p>pкр
Вывод:
Следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости уровень СРБ в крови не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит.
III) Влияние фактора на СОЭ
Таблица1.3.1.Зависимость СОЭ от инфекции вызвавшей заболевание
1 группа
2 группа
3 группа
4 группа
18
34
10
10
19
4
21
26
42
24
3
6
66
1
7
4
25
35
22
12
10
16
26
25
13
1
12
4
28
36
6
40
3
22
1
52
26
34
18
18
28
50
1
62
38
28
2
40
28
14
4
7
1
64
10
5
52
30
23
3
48
9
2
8
26
32
10
12
14
10
17
5
12
2
15
12
48
2
12 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
18
18
40
60
10
20
12
10
50
3
5
63
58
10
80
10
30
20
5
9
10
40
20
33
5
18
40
15
После вычислений получаем:
p = 0.3222
Таблица №1.6.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.
Компонента дисперсии
Сумма квадратов
Степень свободы
Средний квадрат
Между выборками
1701.7
3
567.223
Остаточная
85230.9
176
484.266
Полная
86932.5
179
-----
p>pкр
Вывод:
Следовательно мы принимаем нулевую гипотезу. т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШСП не зависит от инфекции вызывающей реактивный артрит. продолжение
--PAGE_BREAK--
В связи с тем что не один из показателей активности заболевания а также показатели ВАШ не зависят от инфекции предшествующей реактивному артриту дальнейшее разделение данных на группы можно считать не целесообразным.
2 Множественная линейная регрессия
Общее назначение множественной регрессии (этот термин был впервые использован в работе Пирсона — Pearson. 1908) состоит в анализе связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами) и зависимой переменной.
В общественных и естественных науках процедуры множественной регрессии чрезвычайно широко используются в исследованиях. В общем. множественная регрессия позволяет исследователю задать вопрос (и. вероятно. получить ответ) о том. «что является лучшим предиктором для...».
Общая вычислительная задача. которую требуется решать при анализе методом множественной регрессии. состоит в подгонке прямой линии к некоторому набору точек.В многомерном случае. когда имеется более одной независимой переменной. линия регрессии не может быть отображена в двумерном пространстве. однако она также может быть легко оценена. В общем случае. процедуры множественной регрессии будут оценивать параметры линейного уравнения вида:
Y = a + b1*X1+ b2*X2+… + bp*Xp
Регрессионные коэффициенты (или B-коэффициенты) представляют независимые вклады каждой независимой переменной в предсказание зависимой переменной.
Линия регрессии выражает наилучшее предсказание зависимой переменной (Y) по независимым переменным (X). Однако обычно имеется существенный разброс наблюдаемых точек относительно подогнанной прямой. Отклонение отдельной точки от линии регрессии (от предсказанного значения) называется остатком.
Чем меньше разброс значений остатков около линии регрессии по отношению к общему разбросу значений. тем. очевидно. лучше прогноз. Например. если связь между переменными X и Y отсутствует. то отношение остаточной изменчивости переменной Y к исходной дисперсии равно 1.0. Если X и Y жестко связаны. то остаточная изменчивость отсутствует. и отношение дисперсий будет равно 0.0. В большинстве случаев отношение будет лежать где-то между этими экстремальными значениями. т.е. между 0.0 и 1.0. 1.0 минус это отношение называется R-квадратом или коэффициентом детерминации. Это значение непосредственно интерпретируется следующим образом. Значение R-квадрата является индикатором степени подгонки модели к данным (значение R-квадрата близкое к 1.0 показывает. что модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных).
Обычно. степень зависимости двух или более предикторов (независимых переменных или переменных X) с зависимой переменной (Y) выражается с помощью коэффициента множественной корреляции R. По определению он равен корню квадратному из коэффициента детерминации. Это неотрицательная величина. принимающая значения между 0 и 1. Для интерпретации направления связи между переменными смотрят на знаки (плюс или минус) регрессионных коэффициентов или B-коэффициентов. Если B-коэффициент положителен. то связь этой переменной с зависимой переменной положительна; если B-коэффициент отрицателен. то и связь носит отрицательный характер. Конечно. если B-коэффициент равен 0. связь между переменными отсутствует.
Прежде всего. как это видно уже из названия множественной линейной регрессии. предполагается. что связь между переменными является линейной. На практике это предположение. в сущности. никогда не может быть подтверждено; к счастью. процедуры множественного регрессионного анализы в незначительной степени подвержены воздействию малых отклонений от этого предположения.
Основное концептуальное ограничение всех методов регрессионного анализа состоит в том. что они позволяют обнаружить только числовые зависимости. а не лежащие в их основе причинные связи.
Важность анализа остатков.Хотя большинство предположений множественной регрессии нельзя в точности проверить. исследователь может обнаружить отклонения от этих предположений. В частности. выбросы (т.е. экстремальные наблюдения) могут вызвать серьезное смещение оценок. «сдвигая» линию регрессии в определенном направлении и тем самым. вызывая смещение регрессионных коэффициентов. Часто исключение всего одного экстремального наблюдения приводит к совершенно другому результату.
Используя Matlabнайдем уравнение множественной регрессии для нахождения зависимости ВАШБП и ВАШСП от других показателей а также найдем коэффициент корреляции для определения зависимости между данными выборками и критерий Фишера для определения уровня доверия к полученному уравнению.
Аппарат множественной линейной регрессии реализуется в Matlabпри помощи функции regress. Анализ основывается на нахождении коэффициентов b уравнения вида:
y = b+ b1x1+ b2x2+ b3x3+… + bnxn
Методом наименьших квадратов.
Входными данными для программы будут:
Матрица X по одному измерению равная длине вектора Y(ВАШБП, ВАШСП), а по другому количеству переменных, по которым должна предсказываться переменная “Y” плюс один. Ещё один столбик нам понадобиться для того, чтобы matlabмог по нему рассчитать свободный член уравнения b, расположен он должен быть первым и заполнен единицами. Т.е. 2-й столбец матрицы Xэто значения Hb, 3-й столбец значения СОЭ, 4-й значения СРБ и 5-й Фибриноген.
Y– значения ВАШ (ВАШБП, ВАШСП)
Функция regressзадается следующим образом:
[b.bint.r.rint.stats] = regress(y.X.0.01)
regress(y.X.0.01) – означает что мы будем искать зависимость Yот Х и с вероятностью 99% коэффициенты bбудут принадлежать рассчитанным нами доверительным интервалам.
Выходные данные:
Вектор коэффициентов b.
Матрица bint. содержащая 99% доверительные интервалы для b.
Вектор r(длина которого равна длине Y). содержащий остатки. т.е. разницу между исходными значениями Y. и рассчитанными по полученному уравнению регрессии.
Матрицу rint. содержащую значения 99% доверительного интервала для r
Вектор stats. состоящий из следующих 4 характеристик:
первое значение– коэффициент множественной корреляции R2. показывающий связь исходных данных y и рассчитанных по полученному уравнению. другими словами – это коэффициент. показывающий на сколько хорошо «работает» полученное уравнение. Чем ближе это значение к единице. тем лучше.
второе значение– F-статистика (её ещё называют критерием Фишера).
третье значение– p. табличное значение критерия Фишера при данных степенях свободы. Если критерий Фишера выше этого значения. то уравнению можно верить. продолжение
--PAGE_BREAK--
четвёртое значение– оценка дисперсии ошибок
I) рассчитаем уравнение множественной линейной регрессии для ВАШБП
После выполнения расчетов для ВАШБП получили следующие переменные:
b
bint
r
rint
42.1283
1.8780
82.3786
-21.9027
-73.5518
29.7465
-0.1015
-0.3855
0.1824
-10.4547
-62.2125
41.3031
0.2908
-0.1418
0.7233
14.2154
-36.8404
65.2711
0.0326
-0.0177
0.0829
-18.2805
-68.5417
31.9806
0.7105
-3.0313
4.4524
1.2654
-50.5643
53.0951
45.7534
-5.3326
96.8394
-14.6868
-66.0309
36.6572
7.2762
-44.4701
59.0225
44.4133
-6.6808
95.5074
-5.6498
-57.3639
46.0644
10.6615
-40.5673
61.8902
41.4956
-9.2270
92.2183
5.2307
-46.4949
56.9564
14.2893
-37.3388
65.9175
-16.9757
-64.8977
30.9463
-1.7014
-52.3459
48.9432
11.3454
-40.2887
62.9794
18.1895
-33.3589
69.7380
-24.8022
-75.9894
26.3849
4.1667
-47.1548
55.4881
7.4767
-44.4040
59.3575
53.4995
2.7606
104.2384
продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
10
21
3
7
22
26
12
6
1
18
1
2
10
26
6
4
12
25
4
40
52
18
62
40
7
5
3
8
После вычислений получаем:
p = 0.0219
Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа
Таблица №2.2.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.
Компонента дисперсии
Сумма квадратов
Степень свободы
Средний квадрат
Между выборками
136,7
2
68,326
Остаточная
51587,5
177
291,455
Полная
51724,2
179
-----
pкр
Вывод:
Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости СОЭ зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие. Для проверки такой параметрической гипотезы используется процедура множественного сравнения. При проверке простой параметрической гипотезы (нулевой гипотезы) о равенстве средних одной группы выборок по отношению к другой по статистике t необходимо задать уровень значимости />, определяющий критическое значение статистики/>. Примем/>равным 0,05. Это означает, что в 5% случаев будет неверно отвергнута нулевая гипотеза.
При увеличении групп выборок, увеличивается число проверяемых гипотез.
При использовании простой параметрической гипотезы по статистике t, уровень значимости />будет применяться к каждой гипотезе отдельно, что повлечет к росту вероятности неверно отвергнуть нулевую гипотезу пропорционально количеству выполненных проверок. Т.е., неверно определить значимое отличие выборочных средних. Процедура множественного сравнения обеспечивает заданный уровень значимости для каждой проверки.
Выходной параметр с представляет результаты множественного сравнения в виде матрицы из 5 столбцов. Срока матрицы с соответствуют результатам проверки одной параметрической гипотезы. Таким образом, каждая строка с соответствует одной паре выборок. Первые два значения в строке с показывают номера сравниваемых выборок, пятый — величину разности средних арифметических сравниваемых выборок, четвертый и третий столбцы — 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических.
Таблица 2.2.3 Различия между средними для СОЭ продолжение
--PAGE_BREAK--
№ группы
№ группы
Нижняя граница доверительного интервала
Разница средних арифметических
Верхняя граница доверительного интервала
1 группа
2 группа
-1.2331
5.3127
11.8585
1 группа
3 группа
0.5745
7.4420
14.3096
2 группа
3 группа
-5.7354
2.1293
9.9941
Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 3 группой, величина их разности равна 7.4420, 95% доверительный интервал полученной разности средних арифметических составил [0,5745, 14.3096]. Различия считаются значимыми, если в доверительный интервал не попало нулевое значение. Т.е. средние арифметические выборок статистически значимо отличаются друг от друга, для />.
Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов. Два выборочных средних значимо отличаются, если их доверительные интервалы не пересекаются на графике. При наложении границ доверительных интервалов двух средних арифметических, различие между ними можно считать статистически незначимым.
/>
Таблица 2.3.1. Зависимость СРБ от стадии лечения
1 группа
2 группа
3 группа
6
96
192
6
96
48
192
48
48
48
192
12
768
6
6
384
192
96
12
24
48
6
96
48
12
6
6 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
52
40
100
55
50
78
15
38
50
62
70
40
50
60
56
68
20
10
40
70
50
70
78
41
30
60
40
60
42
83
53
70
51
70
80
70
80
После вычислений получаем:
p =1.0573e-011
Запишем выходные данные в таблицу дисперсионного анализа
Таблица №2.6.2. Дисперсионный анализ по одному признаку.
Компонента дисперсии
Сумма квадратов
Степень свободы
Средний квадрат
Между выборками
21595,1
2
10797,6
Остаточная
65337,4
177
369,1
Полная
86932,6
179
-----
pкр продолжение
--PAGE_BREAK--
Вывод:
Следовательно мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. можно предположить что при 5% уровне значимости ВАШСП зависит от стадии лечения. Используя функцию multcompare, целесообразно определить для какой пары выборок средние арифметические значения имеют статистически значимое различие.
Таблица 2.6.3 Различия между средними для ВАШСП
№ группы
№ группы
Нижняя граница доверительно интервала
Разница средних арифметических
Верхняя граница доверительного интервала
1 группа
2 группа
5,2663
15,3386
25,4109
1 группа
3 группа
15,9332
26,5005
37,0679
2 группа
3 группа
-0.9398
11,1620
23,2637
Полученные значения показывают, что значимая разница средних арифметических наблюдается между 1 и 2 группой и 1 и 3 группой.
Отобразим графически значения средних арифметических и их доверительных интервалов.
/>
4 Линейная регрессия
1. Построим уравнение зависимости ВАШБП и ВАШСП для первой группы
После выполнения расчетов для ВАШБП получаем:
b
bint
r
rint
55.5897
-1.0234
112.2027
-32.5449
-81.3671
16.2774
-0.0352
-0.4366
0.3663
-16.7412
-66.1905
32.7082
0.1469
-0.4263
0.7201
9.0742
-39.3668
57.5152
0.0356
-0.0260
0.0972
-8.5563
-55.9419
38.8293
-2.1095
-6.7707
2.5517
-6.1470
-55.9481
43.6541
34.3332
-14.4218
83.0883
-20.6578
-69.6085
28.2929
1.0256
-48.6646
50.7159
30.9239
-18.0042
79.8520
-9.5008
-59.1208
40.1192
4.6638
-43.7703
53.0980
37.1898
-10.8186
85.1982
-1.3469
-51.0447
48.3509
-0.9230
-50.3921
48.5461
-5.1806
-49.4128
39.0516
-4.6042
-52.2626
43.0542
4.7203
-44.8871
54.3278
продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
-33.7018
63.3881
4.9313
-44.3565
54.2190
10.2322
-39.2524
59.7168
-6.7317
-56.0897
42.6263
-45.0832
-92.8981
2.7317
-1.2306
-50.6325
48.1713
4.6044
-44.0055
53.2143
-16.8474
-65.7849
32.0901
20.2082
-28.9442
69.3606
18.0733
-31.4132
67.5598
3.2683
-46.1174
52.6539
-0.2778
-49.6871
49.1316
5.9373
-43.6017
55.4764
-20.5885
-69.9104
28.7334
15.3592
-33.8331
64.5514
-1.7328
-50.4724
47.0067
-19.9232
-67.8864
28.0400
5.8655
-43.9565
55.6874
-13.1686
-54.8756
28.5383
-27.2116
-75.7461
21.3230
38.5398
-9.0647
86.1444
4.6457
-44.8956
54.1870
13.9550
-35.3909
63.3008
30.3302
-17.8422
78.5026
stats =0.0513 1.2021 0.3156 360.6221
Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
ВАШБП= 55.5897 – 0.0352 Hb+ 0.1469 СОЭ + 0.0356 СРБ -2.1095Фибриноген
R2=0.0513 — 5.13% от исходной изменчивости могут быть объяснены
F=1.2021
p= 0.3156
F>pследовательно полученному уравнению можно верить.
Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения, а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии. продолжение
--PAGE_BREAK--
Новое уравнение будет выглядеть следующим образом:
ВАШБП= 39,5747 +0,1252 Hb+ 0.3508СОЭ + 0.0253 СРБ -4,0355 Фибриноген
stats =0.2812 5.5758 0.0007 78.6334
R2=0.2812 — 28,12% от исходной изменчивости могут быть объяснены
F=5,5758
p= 0
F>pследовательно полученному уравнению можно верить..
После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:
b
bint
r
rint
50.8776
-3.1564
104.9115
-32.7325
-79.2404
13.7754
0.0166
-0.3665
0.3998
2.5397
-44.8640
49.9434
0.2963
-0.2508
0.8434
6.0810
-40.1855
52.3475
0.0337
-0.0252
0.0925
-10.0531
-55.2500
35.1438
-1.8469
-6.2958
2.6019
-10.1094
-57.5855
37.3666
25.0166
-21.8947
71.9280
-35.0493
-81.0569
10.9584
-13.8155
-61.0841
33.4531
18.8248
-28.3079
65.9575
-13.4091
-60.6874
33.8691
24.2126
-21.5301
69.9554
23.6332
-22.7868
70.0532
-13.0071
-60.3015
34.2874
16.7728
-30.2081
63.7536
-12.8332
-54.9193
29.2530
-17.0851
-62.3357
28.1656
-8.0691
-55.3793
39.2411
0.3814
-46.8518
47.6146
-21.6864
-68.2933
24.9205
-20.1860
-66.7151
26.3432
продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
12.3716
-34.0022
58.7454
2.8311
-44.2230
49.8853
17.2681
-29.7928
64.3289
-30.1500
-76.5286
16.2285
-39.1008
-85.0149
6.8132
-11.5112
-58.5528
35.5305
21.5233
-24.4938
67.5404
0.3722
-46.5532
47.2975
19.2687
-27.6451
66.1824
24.1824
-22.8096
71.1744
-9.1500
-56.2240
37.9239
-18.6838
-65.5500
28.1823
6.0431
-41.2354
53.3216
-13.8500
-61.0871
33.3872
12.2025
-34.8040
59.2090
-12.7632
-59.1466
33.6201
22.5056
-23.1477
68.1590
2.9215
-44.6495
50.4926
8.2468
-31.6490
48.1426
-4.5385
-51.4144
42.3374
24.5790
-21.5012
70.6591
30.9866
-15.5081
77.4813
20.6225
-26.2676
67.5126
29.5655
-16.3814
75.5124
stats =0.0890 2.1745 0.0783 328.5125
Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
ВАШСП= 50.8776 + 0.0166 Hb+ 0.2963 СОЭ + 0.0337 СРБ -1.8469Фибриноген
R2=0.0890 — 8.9% от исходной изменчивости могут быть объяснены продолжение
--PAGE_BREAK--
F=2.1745
p= 0.0783
F>pследовательно полученному уравнению можно верить.
Далее произведем анализ остатков и исключим из выборки экстремальные наблюдения, а затем заново рассчитаем уравнение множественной регрессии.
Новое уравнение будет выглядеть следующим образом:
ВАШСП= 39.8065 +0,0884 Hb+ 0.0029СОЭ + 0.0389 СРБ -0.4223 Фибриноген
stats= 0.2067 3.3879 0.0155 86.9531
R2=0.2067 — 20,67% от исходной изменчивости могут быть объяснены
F=3.3879
p= 0.0155
F>p следовательно полученному уравнению можно верить.
Рассчитаем уравнение зависимости ВАШБП и ВАШСП для 2 группы
После выполнения расчетов для ВАШБП получаем:
b
bint
r
rint
90.4842
24.1462
156.8221
2.8245
-34.9728
40.6217
-0.4358
-0.8641
-0.0074
-14.6052
-49.9660
20.7557
0.2928
-0.3478
0.9334
0.6256
-36.7237
37.9750
0.0538
-0.0164
0.1239
-22.5401
-58.7748
13.6946
-1.7341
-7.8643
4.3962
12.9742
-23.6786
49.6270
-20.7990
-56.9699
15.3718
0.7644
-36.4334
37.9622
-2.8781
-30.9361
25.1800
1.9709
-34.6095
38.5513
1.5751
-36.0531
39.2034
-17.3262
-52.1622
17.5098
31.2551
-3.0712
65.5815
-3.0250
-15.1183
9.0683
-9.9760
-47.2306
27.2785
-7.7462
-44.9435
29.4512
-12.4228
-46.8670
22.0214
16.5984
-20.5358
53.7326
19.7876
-17.0973
56.6725
-12.9166
-50.4226 продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--
-38.7327
29.4899
-2.9869
-35.5847
29.6109
24.9639
-8.0240
57.9519
-4.8812
-39.5228
29.7604
-7.7152
-43.2511
27.8206
29.8032
-1.5126
61.1190
-1.8318
-34.4443
30.7806
-5.6245
-40.7179
29.4690
-6.0394
-40.6636
28.5847
2.2833
-32.7475
37.3140
-7.5858
-42.9437
27.7722
-13.3812
-48.4307
21.6683
0.5296
-30.6683
31.7274
5.7404
-22.5060
33.9868
20.2943
-10.7267
51.3154
11.1403
-23.4900
45.7705
2.0630
-32.7541
36.8801
-4.3143
-37.7294
29.1009
-17.6017
-51.7051
16.5017
29.3290
-1.1442
59.8022
9.7861
-22.9731
42.5453
9.2109
-24.7332
43.1550
-23.7047
-56.2236
8.8141
-7.0506
-39.0017
24.9005
stats = 0.5009 8.7816 0.0001 173.5544
Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
ВАШБП= 51,9250 -0,3334 Hb+0,3274 СОЭ — 0.0534 СРБ +3,2847Фибриноген
R2=0,5009 — 50,09% от исходной изменчивости могут быть объяснены продолжение
--PAGE_BREAK--
F=8,7816
p= 0.0001
F>pследовательно полученному уравнению можно верить.
После выполнения расчетов для ВАШСП получаем:
b
bint
r
rint
44.7235
-27.8214
117.2684
-15.6190
-51.9023
20.6643
-0.3118
-0.7778
0.1541
13.4645
-19.7720
46.7010
0.0107
-1.0559
1.0774
-19.4484
-56.0444
17.1477
0.3283
-0.1464
0.8029
-18.9404
-55.6121
17.7314
6.0335
-3.0863
15.1533
-5.0498
-41.8544
31.7548
-7.4380
-37.8063
22.9302
8.6181
-22.7173
39.9534
-7.3520
-45.1540
30.4499
-14.3138
-51.4481
22.8204
33.6879
1.4068
65.9691
-3.5780
-40.8555
33.6994
16.6724
-20.0775
53.4222
-2.4427
-40.5253
35.6399
-13.0771
-50.3597
24.2055
-1.0498
-37.9267
35.8271
-6.7081
-44.3360
30.9198
18.5853
-16.7246
53.8952
-10.3977
-44.7668
23.9713
17.5803
-18.7245
53.8852
-7.6640 продолжение
--PAGE_BREAK--
-44.4229
29.0949
-4.9677
-42.8951
32.9598
27.4189
-6.7161
61.5538
-1.5148
-36.2139
33.1844
-10.5774
-47.6882
26.5333
7.4664
-29.3253
44.2580
7.3551
-29.7707
44.4808
-0.6253
-38.4278
37.1772
-18.7849
-55.6298
18.0599
-6.4776
-39.5299
26.5747
-8.9331
-38.8279
20.9618
17.3573
-16.1847
50.8992
13.7644
-22.9312
50.4600
6.7772
-30.1412
43.6957
-5.4197
-40.9425
30.1031
-18.5833
-54.8797
17.7131
20.4549
-13.7811
54.6908
-1.2967
-36.4797
33.8862
3.2762
-33.0916
39.6440
0.9204
-35.6226
37.4633
-3.1398
-37.2792
30.9997
stats = 0.5571 11.0045 0.0000 196.4207
Следовательно наше уравнение будет выглядеть следующим образом:
ВАШСП= 44,7235 – 0,3118 Hb+ 0.3283 СОЭ + 0.0107 СРБ +6,0335Фибриноген
R2=0.5571 — 55,71% от исходной изменчивости могут быть объяснены
F=11,0045
p= 0
F>pследовательно полученному уравнению можно верить. продолжение
--PAGE_BREAK--
Заключение
В данной дипломной работе был проведен математический анализ заболевания реактивный артрит.
Был проведен анализ связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами), а именно показателями активности заболевания и зависимой переменной ВАШ (ВАШБП, ВАШСП).
Полученные уравнения показали, что лучшими предсказывающими факторами (предикторами) для ВАШБП являются уровень фибриногена и гемоглобина в крови, причем связь с гемоглобином носит отрицательный характер, а с фибриногеном положительный. Для ВАШСП лучшими предикторами будут уровень фибриногена в крови и СОЭ, для обоих факторов связь носит положительный характер.
Так же был проведен регрессионный анализ в динамике, в результате которого было установлено что в первой группе (начало лечения) лучшими предсказывающими факторами для ВАШСП и ВАШБП являются уровень фибриногена в крови и СОЭ, причем связь с СОЭ носит положительный характер а связь с фибриногеном отрицательный. Во второй (2 месяца лечения ) группе для ВАШБП – фибриноген и гемоглобин, для обоих факторов связь имеет отрицательный характер. Для ВАШСП – фибриноген и СОЭ, связь с фибриногеном носит отрицательный характер. В третьей (3 месяца лечения) группе для ВАШСП и ВАШБП – фибриноген, гемоглобин, СОЭ, связь носит отрицательный характер только для гемоглобина. Эти данные приведены ниже в таблице.
1 группа
(Начало лечения)
2 группа
(2 месяца)
3 группа
(3 месяца)
Общее уравнение
ВАШБП
1-й предиктор
Фибриноген
Фибриноген
Фибриноген
Фибриноген
2-й предиктор
СОЭ
Гемоглобин
Hb/СОЭ
Гемоглобин
Характер связи
с первым предиктором
отрицательный
отрицательный
положительный
положительный
Характер связи
со вторым предиктором
положительный
отрицательный
Отрицательный/
положительный
отрицательный
ВАШСП
1-й предиктор
Фибриноген
Фибриноген
Фибриноген
Фибриноген
2-й предиктор
Гемоглобин
СОЭ
Hb/СОЭ
СОЭ
Характер связи
с первым предиктором
отрицательный
отрицательный
отрицательный
положительный
Характер связи
со вторым предиктором
положительный
положительный
Отрицательный/
положительный
положительный
При выполнении анализа выскакивающих вариант было отмечено что большее их количество находится в первой группе, возможно, это связано с неправильной оценкой субъективного показателя ВАШ, также в этой группе наблюдается небольшой процент объяснения исходной изменчивости переменной ВАШ.
При проведении однофакторного дисперсионного анализа для сравнения средних арифметических значений выборок оказалось, что вид инфекции предшествующей реактивному артриту не влияет на показатели активности и ВАШ. На изменение показателей, а именно СОЭ, фибриногена и ВАШ влияет стадия лечения, причем значительные улучшения показателей ВАШ наступают после 2 месяцев лечения, но далее их значения остаются неизменными, а показатели СОЭ и фибриноген изменяются после 3 месяцев лечения.