1)Дифференциальноеуравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши
Диф.ур-мназ-ся ур-е, связывающее независим.перем. х сикомую ф-июу, и ее производные.
/>.
/>. => ОДУ
/>.
Общимрешением ОДУ первого порядка назся ф-ия />, удовл.след.условиям:
1)/> явл.решением ур-я /> при />
2)/> ∃ такоезначение произв.пост. />, при котором /> удовл.данному нач.условию./>-общий интеграл
Частн.решением обыкн.диф.ур-япервого порядка наз-ся ф-ия/> кот.получ.из общего решения/>) при конкретном значениис.
ЗадачаКоши — задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальномуусловию />
2)Уравнениес разделяющимися переменными.
Наз-сяобыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду: />
Кним относ. диф.ур.вида:
1)/> 2) /> умножим на /> =>
/>.- ур-ес раздел.перем.
3)Однородные уравнения. Уравнения,приводящиеся к однородным
Ф-ия />наз-ся однород.ф-ей /> порядка или n-ой измерениями относительно переем/> если при />.
/>. аргументом явл.дробь.
4)Уравненияв полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
/>.Ур-е наз-ся ур-ем в полныхдиф.если сущ-ет такоя ф-ия
/>.
5)Линейноедифференциальное уравнение первого порядка
ДУ1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде /> – заданные ф-ии, в частности– постоянные.
а)Метод Бернулли
Решение ур-я/>ищется в виде произведениядвух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки /> – неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна(но ≠0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как:
/>, />).Тогда/>Подставляявыражение у и у’ в /> получаем: /> Подберем ф-ю /> так что бы
/>. Итак, />, интегрируя получаем:
/> Ввиду свободы выбора ф-ии/> можно принять с=1=> v=/>
Подставляя найденную ф-июв ур-е /> получаем: />.
Получено уравнение с раздел.перем.Решаемего: />
/>.
Возвращаясь к переменной у,получеам решение исходного ДУ />
/>.сходного ДУ переменной у, получаемрешение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.
б)Метод Лагранжа
Рассмотрим однородное уравнение/>. Очевидно, это уравнение с разделяющимисяпеременными, его решение: />
Решения исходного уравнениябудем искать в виде:/>
Подставив полученное решениев исходное уравнение: />, получаем: c/>где c1 — произвольная константа.
Таким образом, решение исходногоуравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения:/>.
6)УравнениеБернулли
Ур-евида />
Еслиn=0, то ДУ – линейное, а приn=1 – с раздел.переменными.
Данноеур-е решается двумя способами:
Первыйспособ
Заменой
/>, уравнение приводится к линейному/> и может быть решено методом Лагранжа(вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим />.
Тогда/>.
Подберем/> так, чтобы было
/>.
дляэтого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.
Послеэтого для определения /> получаем уравнение
/> — уравнение с разделяющимисяпеременными.
7)Уравнениенеразрешенное относительно /> Метод введения параметра
/> – относительно производной/>
a)/>
б)/>
в)/>
/>.
/> где