1. Пароль для входа вкомпьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова вероятность правильногонабора пароля с первого раза, если: д) на нечетных местах комбинации стоятодинаковые цифры
Решение:
P(A)=/>
n– общее число исходов.
Допустим на нечетныхместах стоит 0_0_0_0_0
На трех других местахможет быть: n0=/> комбинаций ( 10цифр, 3 места), если на нечетных местах стоит 1, /> и т.д. />
n=n0+n2+…+n0=10∙/>=/>
m=число благоприятных исходов
m=0
P(A)=/> =0,0001
Ответ: 0,0001
2. Девять карточек,пронумерованных цифрами от 1 до 9, расположены друг за другом в случайномпорядке. Определить вероятности следующих событий: Г) каждая из последних 4 карточекимеет номер больше 3
Будем использоватьклассическое определение вероятности:
/>,
где m– число исходов, благоприятствующих осуществлению события />, а n– число всех элементарных равновозможных исходов.
Сразу вычислим, что /> - число различных способовразложить карточки.
Найдем числоисходов, благоприятствующих этому событию. Номер больше трех имеют карточки:4,5,6,7,8,9, всего 6 карточек. Выбираем на последнее место карточку 6 способами(любую из этих шести), на предпоследнее место карточку 5 способами (любую изоставшихся пяти, одна уже выбрана), на третье с конца место карточку 4 способами,на четвертое с конца место карточку 3 способами. Получили всего /> способов разложитьпоследние 4 карточки так, чтобы их номер был больше 3. Теперь раскладываемоставшиеся 5 карточек 5!=120 способами. Итого получаем 120*360=43200 способов.
Тогдавероятность />.
Ответ: 0,119
3. Отрезок AB разделенточкой C в отношении 3:7. На этот отрезок наудачу бросается 5 точек. Найтинаивероятнейшее число точек, попавших на отрезок AC и вероятность именно такогочисла точек на отрезке AC
Бросается 5 точек n=5
Вероятность попасть наАС для одной точки Р=/>= 0,3
1)/>-наивероятнейшеечисло точек, попавших на АС
np–q ≤/>
p=0,3;q=1-p=0,7
5∙ 0,3-0,7 ≤/>
0,8 ≤ />
/> =1
2) Вероятность именнотакого числа точек на АС
/> (1)=?
Применим формулуБернулли.
/> (K)= /> ./> ./> ;
/> (1)= /> ./> ./> =/> ∙0,3∙/>= 5 ∙ 0,3∙/>= 0,36
Ответ: 0,36
4. Устройство состоитиз трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа первого, второго итретьего элементов соответственно равны 0,2, 01 и 0,6. Найти вероятность того,что не отказал первый элемент, если известно, что отказали какие-то дваэлемента
Решение./> =0,2/> =0,1/>=0,6- отказ.
/>= 1- />=0,8 />=0,4- не отказ.
Событие А- отказаликакие-то два
/>-первыйотказал Р(/>)=0,2=/>
/>(А)=/>+/> 0,2∙0,1∙0,4+0,2∙0,9∙0,6=0,116
/>-первый неотказал Р/>=0,8=/>
/>(А)=/> 0,048
По формуле полнойвероятности
P(A)=0,2∙0,116+0,8∙0,048=0,0616
Искомую вероятностьнайдем по формуле Байеса:
/>(/>)=/> =/>
Ответ: 0,62
5. Бросаются двеигральные кости. Найти для произведения очков на выпавших гранях: математическоеожидание; дисперсию
Решение.Введем независимые случайные величины /> и/> равные, соответственно,числу очков, выпавших на первой и на второй кости. Они имеют одинаковыераспределения:
/> 1 2 3 4 5 6
/> 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Найдем математическоеожидание
/>.
Найдем дисперсию
/>.
Тогда математическоеожидание /> суммы числа очков, которыемогут выпасть при одном бросании двух игральных костей равно
/>.
Дисперсия суммы числаочков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равна(так как бросания костей независимы):
/>.
Ответ:7; 35/6.
6. Математическоеожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайнойвеличины Х соответственно равны 30 и 4. Найти вероятность того, что Х в 5испытаниях ровно 3 раза примет значение, заключенное в интервале (29, 31)
Решение.Используем формулу
/>,
где математическоеожидание/>, среднееквадратическое отклонение />α=29,β=31.
P(29=Ф(0,25)-(0,25)=Ф(0,25)+Ф(0,25) = 2∙Ф(0,25) = 2∙0,3413∙0,25 = 0,17065 Ответ:0,17065
7. В порядке серийнойвыборки из 1000 контейнеров бесповторным отбором взято 10 контейнеров. Каждыйконтейнер содержит равное количество однотипных изделий, полученныхвысокоточным производством. Межсерийная дисперсия проверяемого параметраизделия равна 0,01. Найти: границы, в которых с вероятностью 0,99 заключеносреднее значение проверяемого параметра во всей партии, если отобрано 50 контейнеров,а общая средняя равна 5
При беспроводном отбореприменяется формула:
n=/>
N=1000n=/>=5/>
p=0,99/>≈0,98
Подставим:
5=/>
5=/>
5000/>+0,049=98
/>0,049=98
Т.к. х=5, то интервал 5/>0,14