Контрольнаяработа № 1
Задача 1
Рабочие обслуживают три станка,на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовлениябракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем –0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первогостанка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чемвторого. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того,что она изготовлена на третьем станке.
Решение:
Событие А – взятая детальоказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором илитретьем станке, обозначим через В1, В2 и В3.Соответственно Р(В1) = />, Р(В2)= />, Р(В3) = />.
Условная вероятностьтого, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1(А) =0,02, аналогично РВ2(А) = 0,03 и РВ3(А) = 0,04.
По формуле полнойвероятности
Р(А) = />
По формуле Бейеса
/>
Ответ: РА(В3) = 0,1818
Задача 2
Каждая из пяти упаковоктетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковкислучайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что неменее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.
Решение:
Вероятность взять 2тетради в клетку из пачки
Р = />.
Не менее трех пар из пятиотобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.
Вычислим
Р5(3) + Р5(4)+ Р5(5).
Pn(k) = />,
где р = 0,3 и q = 0,7.
Р5(3) = 0,1323
Р5(4) = 0,0284
Р5(5) = 0,0024
Искомая вероятность равна0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631
Ответ: 0,1631
Задача 3
Вероятность того, чтодоговор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1.Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, чтостраховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.
Решение:
а) Используем локальнуютеорему Лапласа, где k =210, р = 0,1 и q = 0,9.
Pn(k)= />, где /> =/>
Р2000(210) = />
б) Используеминтегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190.
Pn(k1;k2) = F(x’’) — F(x’),
х’’ = />.
х’ = />.
F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.
F(x’) = F(-0,75) = — 0,2764.
P2000(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/
Ответ: а) Р2000(210) = 0,0224, б)Р2000(190;250) = 0,7763
Задача 4
Законное распределениенезависимых случайных величин Х и У имеют вид:
Х:
xi 1 2
pi 0,3 ? 0,2
Y:
yi 1 2
pi 0,4 ?
Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).
Составить законраспределения случайной величины
Z = X*Y.
Проверить выполнениесвойства математического ожидания:
M(Z) = M(X)*M(Y)
Решение:
Р(Х = 1) = 1 – (0,3 +0,2) = 0,5
Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6
Составим законраспределения случайной величины Z = X*Y
xj 1 2
yi
pj
pi 0,3 0,5 0,2 1 0,4
0,12
1
0,2
2
0,08 2 0,6
0,18 20,3
4
0,12
zi 1 2 4
pi 0,3 0,2 0,38 0,12
Spi = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1
M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44
M(X) = 0*0,3 +1*0,5 + 2*0,2 = 0,9
M(Y) = 1*0,4 +2*0,6 = 1,6
M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 =1,44.
Ответ:
Zi 1 2 4
Pi 0,3 0,2 0,38 0,12
Задача 5
Функции распределениянепрерывной случайной величины Х имеет вид:
/>
0 при х
F(x) = (х + 1)2 при -1 £ х £ 0,
1 при х > 0.
Найти математическоеожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трехнезависимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие />.
Решение:
Найдем плотностьраспределения
/>
0 при х
f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х £ 0,
1 при х > 0.
М(х) = />/>
— математическое ожидание.
Р(х £ />)= Р( -1 £ х )= F(/>)– F( -1) = />
Ответ: М(х) = /> иР(х ) = />
Контрольнаяработа № 4
Задача 1
При выборочном опросе стателезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, полученыследующие результаты распределения их по возрастуВозраст (лет) Менее 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Более 70 Итого Количество пользователей (чел.) 8 17 31 40 32 15 7 150
Найти:
а) Вероятность того, чтосредний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного повыборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);
б) Границы, в которых свероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30до 50 лет;
в) Объем бесповторнойвыборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений одоле нет.
Решение:
Вычислим среднююарифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятогоинтервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:i
[xi;xi+1]
xi
ui
ni
ui;ni
u2i;ni
ui +1
(ui + 1)ni 1 10 – 20 15 -3 8 -24 72 -2 32 2 20 – 30 25 -2 17 -34 68 -1 17 3 30 – 40 35 -1 31 -31 31 4 40 – 50 45 40 1 40 5 50 – 60 55 1 32 32 32 2 128 6 60 – 70 65 2 15 30 60 3 135 7 70 – 80 75 3 7 21 63 4 112 S 315 150 -6 326 7 464
/>
/>
a) Найдем среднюю квадратическуюошибку бесповторной выборки
/>
Искомая доверительнаявероятность
/>
б) Выборочная долязрителей от 30 до 50 лет
/>
Средняя квадратическаяошибка бесповторной выборки для доли
/>
Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t =2,17
Предельная ошибка выборкидля доли D = 2,17*0,0376= 0,08156
Искомый доверительныйинтервал
0,4733 – 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156
0,3918 £ р £ 0,5549
в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t =2,5
/>человек.
Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)max = 0,25
/> человек.
Ответ: а) />;б) 0,3918 £ р £ 0,5549; в) 190 человек
Задача 2
По данным задачи 1,используя критерий c2 – Пирсона,при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величинаХ – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одномчертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение:
Выдвигается гипотеза Н0:случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. спараметрами а = 44,6 и d2 = 217,17.
Для расчета рi используем функцию Лапласа
/>
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Дальнейшие расчетыпокажем в таблицеi
[xi;xi+1]
ni
pi
npi
(ni – npi)
/> 1 10 – 20 8 0,0582 8,7225 0,522 0,0598 2 20 – 30 17 0,1183 17,738 0,5439 0,0307 3 30 – 40 31 0,2071 31,065 0,0042 0,0001 4 40 – 50 40 0,2472 37,073 8,5703 0,2312 5 50 – 60 32 0,2034 30,51 2,2201 0,0728 6 60 – 70 15 0,1099 16,478 2,183 0,1325 7 70 – 80 7 0,0517 7,755 0,57 0,0735 S 150 0,9956 149,34 0,6006
Фактическое значение c2 = 0,6006 Соотносим критическое значение c20,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.
Так как c2
/>/>/>/>/>/>/>/>
Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическомнормальном законе N (44,6; 217,17)согласуется с опытными данными.
Задача 3
Распределение 50однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимостивыпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:
у
х 1,25 1,5 1,75 2,0 2,25 Итого 80 – 130 1 2 3 6 130 – 180 1 4 3 8 180 – 230 4 8 3 1 16 230 – 280 2 5 4 11 280 – 330 3 4 2 9 Итого: 5 3 16 9 7 50
Необходимо:
1. Вычислить групповыесредние xj и yi и построить эмпирические линиирегрессии.
2. Предполагая, что междупеременными Х и Y существует линейная корреляционнаязависимость:
а) найти уравнение прямыхрегрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиямирегрессии;
б) вычислить коэффициенткорреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать выводо тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используясоответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемойпродукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.
Решение:
1) Составимкорреляционную таблицух
у
xi 1,25 1,5 1,75 2 2,25
ni
уi 80 – 130 105 1 2 3 6 2,0833 130 – 180 155 1 4 3 8 2,0625 180 – 230 205 4 8 3 1 16 1,7656 230 – 280 255 2 5 4 11 1,5456 280 – 330 305 3 4 2 9 1,4722
nj 5 13 16 9 7 50
xj 285 255 220,63 160,56 140,71
Построим эмпирическиелинии регрессии
/>
2) Предположим, что междупеременными Х и Y существуетлинейная корреляционная зависимость;
а) Вычислим среднеезначение
/>
/>
/>
/>
/>
/>Найдем уравнение
ух = byx(x – x) + y,
где byx = />
ух = — 0,0036(х – 214) + 1,75
ух = — 0,0036х+ 2,5105
/>/>ху — х = byx(у – у),
где bху = />
ху = — 157,14(х – 1,75) + 214
ху = — 157,14х+ 489
б) Коэффициент корреляции
/>
связь обратная и тесная;
Статистика критерия
/>
При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t >t0,05;48 коэффициент значительно отличаетсяот 0.
в) Используя ху= — 157,14у + 489
х = — 157,14*2,5 + 489 =96,14
Ответ: а) ух =- 0,0036х + 2,5105; ху = — 157,14х + 489.
б) k = — 0,7473.
в) х = 96,14 при у = 2,5