--PAGE_BREAK-- задані значення функції . Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь
(28)
Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):
(29)
де . Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для
. (3)
Прирівняємо вирази для (31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для
(31)
(32)
Прирівнявши між собою вирази для із (32) і (33), отримаємо рівняння
(33)
Підставивши перший вираз для (3) і перший вираз для (31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння
(34)
Підставивши третій вираз для (3) і перший вираз для (31) в п’яте рівняння системи (3) отримаємо рівняння
(35)
Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих . Розв’язавши її отримаємо
(36)
Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови .
4. Похибки наближення ермітовими сплайнами
Максимальна похибка рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд
, (37)
а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів
(38)
де — кількість ланок сплайна на інтервалі , — вагова функція, — ядро похибки наближення, — дефект ермітового сплайна, . Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина . Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.
Теорема 1. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду
(39)
Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду
(40)
Нехай — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (39), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;
(41)
. (42)
Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь
(43)
а сплайн з ланкою вигляду (4) — системою рівнянь
(44)
Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до -ї ланки. Із системи (44) при матимемо
.
Подамо як , про логарифмуємо це рівняння і отримаємо
,
де .Тобто при рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).
При рівняння із системи (44) має вигляд
.
Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на
.
Оскільки з умов теореми не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що
,
а це і є рівняння із системи (43) при .
Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних . Нехай це доведено для . Доведемо для . Рівняння із системи (43) при :
.
Для рівняння із системи (44) має вигляд
.
Про диференціюємо це рівняння і отримаємо
Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду
.
Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а, значить, і системи рівносильні. Тому при , а .
Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай точка, в якій досягається максимальна похибка наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює
.
Із цієї рівності випливає, що
.
У правій частині маємо відносну похибку наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (4) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.
За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції ермітовим сплайном з ланкою виглядузводиться до наближення функції ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.
Теорема 2. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду
(45)
Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду
(46)
Нехай — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (45), а — найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;
(47)
. (48)
Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння
, (49)
а до системи (43) рівняння
продолжение
--PAGE_BREAK--