Зміст
Введення
Абсолютна величина і її властивості
Найпростіші рівняння й нерівності з модулем
Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем
Інші способи рішення рівнянь і нерівностей з модулем
Метод розкриття модулів
Використання тотожності, при рішенні рівнянь
Рішення рівнянь утримуючі модулі ненегативних виражень
Рішення рівнянь із використанням геометричноїінтерпретації
Рішення рівнянь із використанням тотожності
Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь
Рішення рівнянь переходом до наслідку
Рішення рівнянь методом інтервалів
Рішення рівнянь до множенням на позитивний множник
Типові тестові задачі, що містять змінну під знакоммодуля
Висновок
Список джерел
Введення
Поняття абсолютної величини(модуля) є однієї з найважливіших характеристик числа як в області дійсних, такі в області комплексних чисел.
Це поняття широкозастосовується не тільки в різних розділах шкільного курсу математики, але й укурсах вищої математики, фізики й технічних наук, які вивчають у вузах.Наприклад, у теорії наближених обчислень використовуються поняття абсолютної йвідносної погрішностей наближеного числа. У механіку й геометрії вивчаютьсяпоняття вектора і його довжини (модуля вектора). У математичному аналізіпоняття абсолютної величини числа втримується у визначеннях таких основнихпонять, як межа, обмежена функція й ін. Задачі, пов'язані з абсолютнимивеличинами, часто зустрічаються на математичних олімпіадах, вступних іспитах увузи.
Програмою шкільного курсуматематики не передбачені узагальнення й систематизація знань про модулі, їхніхвластивостях, отриманих учнями за весь період навчання. Даний пробіл інамагається заповнити справжній диплом.
Дипломна робота складається з5 розділів.
У першому розділі наведенірівносильні визначення модуля, його геометрична інтерпретація, властивостіабсолютної величини. На прикладі показано, як використовуючи модуль, будь-якусистему рівнянь і нерівностей з однієї й теж областю визначення можнапредставити у вигляді одного рівносильного порівняння. Так само показано наприкладі, як лінійний сплайн, представити у вигляді одного рівняння з модулями.Наведені приклади завдань, у яких використовуються або властивості модуля, аборівняння й нерівності, що містять знак абсолютної величини, виникають у процесірішення.
У другому розділіпредставлені методи рішення найпростіших рівнянь і нерівностей з модулями,рішення яких не вимагає використання трудомісткого процесу розкриття модулів.
У третьому розділіпредставлене графічне рішення рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютноївеличини. Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем у деяких випадкахнабагато більше просте, чим аналітичне. У цьому розділі розглянута побудоваграфіків функцій />, /> і />. Багато уваги приділено побудовіграфіків функцій, що представляють собою суму лінійних виражень під знакомабсолютної величини. Так само наведені приклади побудови графіків функцій з''вкладеними'' модулями. Наведено теореми про екстремумі функцій, що містятьсуму лінійних виражень під знаками абсолютних величин, що дозволяють ефективновирішувати задачі як на знаходження екстремумів подібні функції, так івирішувати задачі з параметрами.
У четвертому розділіпредставлені додаткові методи рішення рівнянь і нерівностей, що містять знакабсолютної величини. У першу чергу описаний трудомісткий і не завждираціональний, а в деяких випадках і непридатний метод розкриття модулів, інодіназиваний метод інтервалів, за допомогою якого можна вирішити будь-яке рівнянняй нерівність з модулем. Описано метод використання тотожності />; розглянутий методгеометричної інтерпретації, використання тотожності />, застосування теореми про знаки,метод переходу до наслідку, метод інтервалів, метод домноження на позитивниймножник.
У п'ятому розділі наведеніприклади рішення типових тестових задач пов'язаних з поняттям абсолютна величина.Наведено рішення як ''стандартних'' задач, у рішенні яких необхідно одержатияку-небудь комбінацію рішень, так і завдань із параметрами. Для деяких задачнаведено кілька способів рішення, іноді зазначені типові помилки виникаючі впроцесі рішення. Для всіх завдань наведено найбільш ефективне, по швидкості,рішення.
Абсолютна величина і їївластивості
Модуль. Властивості модуля
Визначення. Модуль числа /> або абсолютнавеличина числа /> дорівнює />, якщо /> більше або дорівнює нулю йдорівнює />,якщо /> меншенуля:
/>
З визначення треба, що для будь-якогодійсного числа />, />.
Теорема Абсолютна величинадійсного числа /> дорівнює більшому із двох чисел /> або />.
1. Якщо число /> позитивно, то /> негативно,тобто />.Звідси треба, що />.
У цьому випадку />, тобто /> збігається збільшим із двох чисел /> і />.
2. Якщо /> негативно, тоді /> позитивно й />, тобто більшимчислом є />.По визначенню, у цьому випадку, /> --- знову, дорівнює більшому іздвох чисел /> і/>.
Наслідок З теореми треба, що/>.
Справді, як />, так і /> рівні більшому із чисел/> і />, а виходить,рівні між собою.
Наслідок Для будь-якогодійсного числа /> справедливі нерівності />, />.
Множачи другу рівність /> на /> (при цьомузнак нерівності зміниться на протилежний), ми одержимо наступні нерівності: />, /> справедливі длябудь-якого дійсного числа />. Поєднуючи останні дві нерівностів одне, одержуємо: />.
Теорема Абсолютна величинабудь-якого дійсного числа /> дорівнює арифметичномуквадратному кореню з />: />.
Справді, якщо />, те, по визначеннюмодуля числа, будемо мати />. З іншого боку, при />, />, значить />.
Якщо />, тоді /> й /> і в цьому випадку />.
Ця теорема дає можливість прирішенні деяких задач заміняти /> на />.
Геометрично /> означає відстань накоординатній прямій від крапки, що зображує число />, до початку відліку.
Якщо />, то на координатній прямій існуєдві крапки /> й/>, рівновіддаленоївід нуля, модулі яких рівні.
Якщо />, то на координатній прямій /> зображуєтьсякрапкою />.
Властивості модуля
/>
Із цієї властивості треба, що
/>; />.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рівносильні переходи міжрівняннями з модулями
Тема ``Абсолютна величина''(або ``Модуль числа'') є найбільш експлуатованою в практиці вступних іспитів.Імовірно, це пояснюється відчуттям простоти поняття абсолютної величини числа йтією обставиною, що, використовуючи модуль, будь-яку систему й сукупністьрівнянь і нерівностей з однієї й тією же областю визначення можна представити увигляді одного рівносильного порівняння.
Подивимося, на прикладі, яксистема однієї нерівності й сукупність двох нерівностей перетвориться до одногорівносильного рівняння.
/>
/>
В основі зазначенихперетворень лежать наступні легко доказувані твердження:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Варіант приведення одноговідношення до рівносильному йому відношенню іншого типу />
/>
/> >
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Лінійні сплайни
Нехай задані /> --- крапки зміниформул. Функція />, певна при всіх />, називається кусочно-лінійно,якщо вона лінійна на кожному інтервалі />, />, />, ...,/>, тобто
/>
де позначено />, />.
Якщо до того ж виконані умовиузгодження
/>
те розглянута кусочно-лінійнофункція безперервна. Безперервна кусочно-лінійно функція називається такожлінійним сплайном.
Функцію із графіком,показаним на цьому малюнку, можна задати й однієї й трьома формулами:
/>
Однак неважко помітити, що цюже функцію можна задати й одною формулою, використовуючи модулі: />. Виявляється,що й будь-яку безперервну кусочно-лінійну функцію виду (1) можна задати деякоюформулою виду
/>(??)
де числа />, />, />, ..., /> легко знайти заграфіком даної функції.
Помітимо, що дві ламані знескінченними крайніми ланками й однаковими абсцисами вершин />, />, ..., /> збігаються, якщо в нихрівні кутові коефіцієнти всіх ``однойменних'' ланок і є загальна крапка. Іншимисловами, знання кутових коефіцієнтів всіх ланок і координат однієї крапки такийламаної на основі зазначеної інформації, при якому дана крапка /> береться за вихідну.
Відзначений факт ми йпокладемо в основу одержання формули для безперервної кусочно-лінійної функції,заданої своїм графіком. Нагадаємо, що /> рівняється />, якщо />, і />, якщо />. Тому на кожному ізпроміжків />,/>, ..., />, на якічислова пряма розбивається крапками, функція, обумовлена формулою ((??) ), буделінійна (як сума лінійних функцій), і для знаходження кутового коефіцієнтавідповідної ланки ламаної досить знайти коефіцієнт при /> послу розкриття всіх модулів увираженні ((??) ) на відповідним цим ланкам проміжках, знаходимо:
/>
Віднімаючи із другої рівностіперше, одержуємо /> віднімаючи із третього друге,одержуємо /> йт.д. Ми приходимо в підсумку до співвідношень
/>
Складаючи першу рівність ізостаннім, одержуємо /> звідки
/>(??)
Обернено, неважко перевірити,що з рівностей (3) і ((??) ) випливають співвідношення ((??) ).
Отже, якщо коефіцієнти /> визначаютьсяформулами (3) і ((??) ), те кутові коефіцієнти всіх ланок графіка функції ((??)) збігаються з відповідними кутовими коефіцієнтами заданого графіка й,виходить, залишається забезпечити всього одну загальну крапку цих ламаних дляїхнього збігу.
Цього завжди можна домогтисявибором підходящого значення що залишилося поки не певним коефіцієнта />. Із цією метоюдосить підставити у формулу ((??) ), коефіцієнти якої вже обчислені зіспіввідношень (3) і ((??) ), координати якої-небудь однієї крапки даної ламаноїй знайти /> зотриманої рівності.
Приклад Знайдемо рівнянняламаної, зображеної на малюнку (??) (трикутний імпульс).pics/ex3.eps
Рішення. Кутові коефіцієнтиланок такі:
/>, />, />, />. Тому />.
Виходить, рівняння даноїламаної має вигляд
/>
Знайдемо значення коефіцієнта/> з умови />, підставляючикоординати вершини (0; 1) нашої ламаної в рівняння, одержимо />, звідки знаходимо, />, і рівнянняостаточно запишемо у вигляді
/>
Приклади рішення задач, щовикористовують властивості модуля
Приклад У деякому лісівідстань між будь-якими двома деревами не перевершує різниці їхніх висот. Уседерева мають висоту менше 100 м. Доведіть, що цей ліс можна огородити заборомдовжиною 200 м.
Рішення. Нехай дерева висотою/> ростутьу крапках />.Тоді за умовою
/>.
Отже, довжина ламаної /> не перевершує />м. Цю ламануможна огородити забором, довжина якого не перевершує 200 м.
/>
Приклад На відрізку /> числової осірозташовані чотири крапки: />, />, />, />. Доведіть, що крапка />, що належить />, така, що
/>.
Рішення. Крапки />, />, />, /> ділятьвідрізок /> небільше ніж на п'ять частин; хоча б одна із цих частин є інтервалом довжини неменше />.Візьмемо за /> центрцього інтервалу. Відстань від /> до кінців цього інтервалу неменше />, адо інших крапок із числа />, />, />, /> --- більше />. Тому два із чисел />, />, />, /> не менше />, а інші двастрого більше />. Так що всі зворотні величини небільше 10, а дві з них строго менше 10. Тоді сума зворотних величин менше 40,що й потрібно.
Приклад Два тіла починаютьодночасно рухатися рівномірно по прямих /> і />, що перетинаються під прямимкутом. Перше тіло рухається зі швидкістю 3 км/год по прямій /> від крапки /> до крапки />, що перебуваєна відстані 2 км від крапки />. Друге тіло рухається зішвидкістю 4 км/год по прямій /> від крапки /> до крапки />, що перебуваєна відстані 3 км від крапки />. Знайти найменшу відстань (у км)між цими тілами під час руху.
Рішення. Через /> годин перше тіло будеперебуває від крапки /> на відстані /> км, а друге — навідстані /> км.По теоремі Піфагора відстань між тілами складе.
/> /> км.
Відповідь. /> км.
Приклад Пункти /> й /> розташовані напрямолінійній магістралі в 9 км друг від друга. З пункту /> в напрямку пункту /> виходитьавтомашина, що рухається рівномірно зі швидкістю 40 км/ч. Одночасно з пункту /> втім же напрямку з постійним прискоренням 32 км/год /> виходить мотоцикл. Знайтинайбільшу відстань між машиною й мотоциклом у плині перших двох годин руху.
Рішення. Відстань міжавтомобілем і мотоциклом через /> годин складе
/>. />.
Відповідь. 16 км.
Приклад З пункту /> в пункт /> вийшовпішохід. Не пізніше чим через 40 хв слідом за ним вийшов другий. Відомо, що впункт /> одинз них прийшов раніше іншого не менш, ніж на 1 годину. Якби пішоходи вийшлиодночасно, то вони б прийшли в пункт /> із інтервалом не більш ніж в 20хв. Визначити, скільки часу потрібно кожному пішоходу на шлях від /> до />, якщошвидкість одного з них в 1,5 рази більше швидкості іншого.
Рішення. Нехай /> і /> (хв) — час,витрачений відповідно до першим і другим пішоходом на шлях з /> в />, і нехай другий пішохідвийшов пізніше першого на /> хвилин. Розглянь 2 можливості 1) /> і 2) />. У випадку /> маємо рівність/> і систему
/>
З першої й третьої нерівностіодержимо />,з огляду на другу умову одержимо, що />, і це у свою чергу дає рівності /> й />. />, />, />.
У випадку /> маємо /> й систему
/>
Але тому що />, те система не сумісна,і, отже, випадок 2 не може мати місця.
Відповідь. />, />, />.
Приклад За розкладом автобусповинен проходити шлях />, що складається з відрізків />, />, /> довжиною 5, 1, 4 км відповідно, за 1 годину. При цьому виїжджаючи з пункту /> в 10 год, він проходитьпункт /> в10 год 10 хв, пункт /> в 10год 34 хв. З якою швидкістю /> повинен їхатиавтобус, щоб час за яке автобус проходить половину шляху від /> до /> (зі швидкістю />), складене ізсумою абсолютних величин відхилення від розкладу при проходженні пунктів /> і />, перевищувалоабсолютну величину відхилення від розкладу при проходженні пункту /> не більш, ніжна 28 хв.
Рішення. Умова задачіприводить до системи
/>
яка має єдине рішення />.
Відповідь. 30 км/ч.
Приклад Відповідно дорозкладу катер проходить по ріці, швидкість плину якої 5 км/год, шлях з /> у /> довжиною 15 км за 1 годину. При цьому виходячи з пункту /> в 12 год, він прибуває в пункти /> й />, що відстоятьвід /> на відстань 11 км і 13 км відповідно, в 12 год 20 хв і в 12 год 40 хв. Відомо, що якби катер рухався з /> у /> без зупинок з постійною швидкістю/> (щодоводи), те сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти />, />, /> неперевищувало б зменшеного на півгодини часу, необхідного катеру для проходження 5 км зі швидкістю /> в стоячій воді. Який з пунктівперебуває вище за течією: /> або />?
Рішення. Розглянемо 2 випадки1) пункт /> перебуваєвище за течією 2) пункт /> перебуває нижче за течією.
У першому випадку одержуємосистему
/>
яка не має рішення. Тодівиконується другий випадок.
Відповідь. />.
Приклад Дані три квадратнихтричлени: />,/> і />. Доведіть, щорівняння /> маєне більше восьми корінь.
Рішення. Кожний корінь даногорівняння є коренем одного із квадратних тричленів />, />, /> з деяким набором знаків. Такихнаборів 8, і всі вони дають дійсно квадратні тричлени, тому що коефіцієнт при /> має вигляд />, тобтовідмінний від нуля. Однак двом протилежним наборам знаків відповідаютьквадратні рівняння, що мають ті самі коріння. Виходить, всі рішення рівняння /> втримуютьсясеред корінь чотирьох квадратних рівнянь. Отже, їх не більше восьми.
Приклад Шабат Г.Б. Нескінченнапослідовність чисел /> визначається умовами: />, причому />. Доведіть, щопослідовність, починаючи з деякого місця, періодична в тому випадку, якщо /> раціонально.
Рішення. Якщо />, то />. Дійсно, />. Якщо /> раціональне,то /> раціональне,причому зі знаменником не більшим чим в />. Дійсно, нехай /> --- нескоротний дріб.Тоді
/>
Якщо цей дріб нескоротний, тоїї знаменник такої ж, як і в />, якщо вона скоротна, те післяскорочення знаменник зменшиться.
Отже, всі члени послідовності--- раціональні числа, укладені між 0 і 1, тобто правильні дроби. Алеправильних дробів зі знаменниками, не більшими заданої величини />, — кінцеве число.Тому якісь члени послідовності повторяться, і із цього моменту послідовністьбуде періодичною.
Найпростіші рівняння йнерівності з модулем
До найпростішого (необов'язково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розв'язувані однимз нижчеподаних рівносильних переходів:
/>(??)(??)(??)(??)
Приклади рішення найпростішихрівнянь.
Приклад Вирішимо рівняння
/>.
Рішення.
/>
Відповідь. />.
Приклад Вирішимо рівняння
/>.
Рішення.
/>
Відповідь. />.
Приклад Вирішимо рівняння
/>.
Рішення.
/>
Відповідь. />.
Зупинимося докладніше нарівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули (??)--(??) ).
Теорема Сума модулівдорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожнавеличина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Тому що />, те ми маєморівність виду />, де />, />. Тому вихідне рівняннярівносильне системі:
/>
/>
Відповідь. />.
Теорема Сума модулівдорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коливсі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всівеличини мають протилежний знак одночасно.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. ''Заганяємо''коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ''ізолюємо'' суму модулів:
/>
По константах одержуємо />. Дійсно, />, тобторівняння має вигляд />. Отже, рівняння рівносильнесукупності двох систем:
/>
тобто />.
Відповідь. />.
До найпростішого (необов'язково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розв'язуваніодним з нижчеподаних рівносильних переходів:
/> (??)
/> (??)
Приклади рішення найпростішихнерівностей.
Приклад Вирішимо нерівність />.
Рішення.
/>.
Відповідь. />.
Приклад Вирішимо нерівність
/>.
Рішення.
/>
Відповідь. />.
Як не дивно, але /> досить, щобпозбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.
Приклад Вирішити нерівність
/>
Рішення.
/>
/>
/>
Відповідь. />.
Приклад Вирішити нерівність
/>
Рішення. Щодо будь-якогомодуля дана нерівність має вигляд />. Тому перебравши всі комбінаціїзнаків двох підмодульних виражень, маємо
/>
/>
Відповідь. />.
Приклад При яких значенняхпараметра /> нерівність
/>
виконується при всіхзначеннях />?
Рішення. Вихідне рівняннярівносильне системі:
/>
Виконання для всіх /> вихідноїнерівності рівносильне виконанню для /> всіх нерівностей останньоїсистеми. А це рівносильне тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратнихтричленів непозитивні:
/>
Відповідь. />.
Приклад Знайти всі значенняпараметра />,при кожному з яких число цілозчисленних рішень нерівності
/>
максимально.
Рішення. Тому що
/> те вихідне рівняння рівносильнесистемі:
/>
Оскільки обоє нерівності всистемі лінійні відносно />. Вирішимо систему відносно />:
/> (??)
Умови існування параметра /> рівносильневимозі
/>
/>
/> (??)
Нерівність (??) повідомляєвсі значення/>,які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенніпараметра. Отже, цілочисленими рішеннями вихідної нерівності можуть бути тількицілі числа із проміжку />, тобто
/> (??)
Природно, що для будь-якогоцілого числа з набору (??) треба з'ясувати, при яких значеннях параметра /> це число будерішенням вихідної нерівності.
Оскільки вихідна нерівністьрівносильна (??), те по черзі підставляючи числа з набору (??) в нерівності (??),ми відразу й знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо
/>
Щоб виявити значенняпараметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисленнихрішень, скористаємося ``розгорненням'', отриманої інформації уздовж відпараметра (див. мал. (??)):
/>
Очевидно, що максимальнакількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли /> або />.
Відповідь. />.
Графічне рішення рівнянь інерівностей з модулем
Рішення рівнянь, що містятьзнак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, аграфічно (особливо рівняння утримуючі параметри).
Побудова графіків виду
/>, /> і />
Відзначимо правило побудовиграфіка функції />.
1) Будуємо спочатку графікфункції />.
2) Там, де графік функції /> лежить вищеосі /> абона ній, залишаємо його без зміни; крапки графіка, які лежать нижче осі />, заміняємосиметричними їм щодо осі /> крапками.
Для приклада, на малюнку (??)зображений графік функції
/>.
/>
Для побудови графіка функції /> будуємо графікфункції /> для/> йвідображаємо симетрично щодо осі />.
Для приклада, на малюнку (??)зображений графік функції />.
/>
Для побудови графіка функції /> будуємо графікфункції /> для/> йсиметрично відображаємо щодо осі />.
Для приклада, на малюнку (??)зображений графік функції />.
/>
Приклад Побудувати графікфункції />.
Рішення. Скористаємосяправилами перетворення графіків.
1. Графік функції /> --- бісектрисаперших і третього координатних кутів.
2. Графік функції /> виходить ізграфіка функції /> відображенням його частини,розташованої нижче осі абсцис (при />) симетрично щодо осі абсцис.
3. Графік функції /> виходить ізпопереднім зрушенням уліво по осі абсцис на дві одиниці.
4. Отриманий графік зрушуємопо осі ординат на 3 одиниці долілиць. Одержуємо графік функції />.
5. Частина його, розташованунижче осі абсцис, відображаємо симетрично щодо цієї осі. Отже, одержуємо графікданої функції
/>
Досліджувана функція допускаєіншу форму запису
/>
Приклад Залежно відпараметра />,знайти кількість рішень рівняння
/>
Рішення. Побудуємо графікфункції /> (див.мал).
/>
Залежно від положення прямої />, одержуємонаступне: при /> немає корінь, при /> --- нескінченно багатокорінь, при /> ---чотири корені, при /> --- три корені, при /> --- двакорені.
Приклад Доведіть, що награфіку функції /> можна відзначити таку крапку />, а на графікуфункції /> ---таку крапку />,що відстань /> неперевищує />.
Рішення. Покладемо />. Крапка /> з координатами/>, де/>, мабуть,лежить на графіку функції />.
Розглянемо позитивне число />. Тоді />, отже, крапка /> з координатами/> лежить награфіку функції />.
Відстань між крапками /> й /> дорівнює />. Але зрівності /> треба,що
/>, />, />.
Приклад На координатнійплощині зобразите всі крапки, координати яких є рішеннями рівняння:
/>.
Рішення.
/> або />.
Відповідь. см. малюнок (??)
/>
Приклад Даний функція />. Скількирішень має рівняння />?
Рішення. Нехай /> --- рішення рівняння />, а />. Тоді й />, а тому крапказ координатами /> лежить на кожному із графіків /> і />. Навпаки, якщокрапка /> лежитьна перетинанні цих графіків, те /> й />, звідки />. Тим самим показане, що числорішень рівняння /> збігається із числом крапокперетинання графіків /> і />, а їх 16.
/>
Відповідь. 16.
Графіки функцій, що містятьлінійні вираження під знаком абсолютної величини
Сформулюємо твердження, щодозволяє будувати графік алгебраїчної суми модулів, не розкриваючи модулі (цеособливо зручно, коли модулів багато).
Теорема Алгебраїчна сумамодулів /> лінійнихвиражень, графік якої складається із /> прямолінійної ділянки. Томуграфік може бути побудований по /> крапках, /> з яких являють собою коріньвнутрімодульних виражень, ще одна — довільна крапка, з абсцисою меншенайменшого із цих корінь, і остання — з абсцисою, більшої найбільшого із цихкорінь.
Зауваження. Аналогічно можнабудувати графіки виду
/>.
Приклади побудови графіків
1. />. Обчислюємо значення функції вкрапках 1, 0 і 2, одержуємо графік, що складається із двох променів.
/>
2. />. Обчислюючи значення функції вкрапках з абсцисами 1, 2, 0 і 3, одержуємо графік, що складається з відрізка йдвох променів (див. мал. (??)).
/>
3. />.
Для побудови графіка ``повідрізках'' обчислимо значення функції в крапках 1, 2, 3, 0, 4 (див. мал. (??)).
/>
4. />.
Графік різниці модулівбудуватися аналогічно (див. мал. (??)).
/>
Аналізуючи вид графіків 1, 2і 3, можна припустити, а потім і довести, що сума модулів лінійних вираженьвиду
/>
досягає свого найменшогозначення або в єдиній крапці, якщо число модулів парно, або у всіх крапках деякоговідрізка, якщо число модулів парно. Графік суми непарного числа модулівлінійних виражень має форму клина, а графік суми парного числа модулів маєділянка паралельний осі абсцис. Більш точно:
Теорема Нехай коріньподмодульных виражень упорядковані по зростанню />. Тоді якщо число що складаються /> непарно й />, те найменшезначення функції /> досягається в крапці />, а якщо числощо складаються /> парно й />, те найменше значення функціїдосягається у всіх крапках відрізка />.
Використовуємо твердження длярішення задачі, що пропонувалася на одній з олімпіад Санкт-Петербурзькогодержавного університету.
Приклад Залежно від значенняпараметра />,знайти кількість корінь рівняння
/>
Рішення. Вирішимо задачуграфічно. Нехай />, визначимо кількість крапокперетинання графіка функції /> й прямій /> залежно від />. Виходячи зісформульованого вище твердження, графік функції /> буде мати ділянку, паралельна осіабсцис. Помітимо, що абсциси крапок цієї ділянки становлять відрізок />, і у всіх йогокрапках функція досягає найменшого значення, рівного, наприклад, />, причому
/>
Оскільки зазначена сума являєсобою подвоєну арифметичну прогресію з першим членом 1, останнім членом 999,складену із числом 1000, то вона дорівнює
/>
Тоді при /> рівняння не буде матирішень, при /> нихбуде нескінченно багато, а при /> рівняння буде мати два рішення.
Інші способи рішення рівняньі нерівностей з модулем
Метод розкриття модулів
Метод розкриття модуліврозглянемо на прикладі:
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Це рівняння міститьбільше одного модуля.
Метод рішення рівнянь, щомістять змінні під знаком двох і більше модулів, полягає в наступному.
1. Знайти значення змінної,при яких кожний з модулів звертається в нуль:
/>, />; />, />; />, />.
2. Відзначити ці крапки начисловій прямій.
3. Розглядаємо рівняння накожному із проміжків і встановлюємо знак виражень, які перебувають підмодулями.
1) При /> або />. Щоб визначити знаккожного з виражень під модулем на цьому проміжку, досить взяти будь-якезначення /> ізцього проміжку й підставити у вираження. Якщо отримане значення негативно,виходить, при всіх /> із цього проміжку вираження буденегативним; якщо отримане числове значення позитивно, виходить, при всіхзначеннях /> ізцього проміжку вираження буде позитивним.
Візьмемо значення /> із проміжку /> й підставимойого значення у вираження />, одержуємо />, значить на цьомупроміжку /> негативно,а отже ``вийде'' з під модуля зі знаком ``мінус'', одержимо: />.
При цьому значенні />, вираження /> одержитьзначення />,виходить, воно на проміжку /> також приймає негативні значенняй ``вийде'' з модуля зі знаком ``мінус'', одержимо: />.
Вираження /> одержить значення /> й ``вийде'' зпід модуля зі знаком ``мінус'': />.
Рівняння на цьому проміжкувийде таким: />, вирішуючи його, знаходимо: />.
З'ясовуємо, чи входить цезначення в проміжок />. Виявляється входить, значить /> є коренемрівняння.
2) При />. Вибираємо будь-якезначення /> ізцього проміжку. Нехай />. Визначаємо знак кожного звиражень під модулем при цьому значенні />. Виявляється, що вираження /> позитивно, адва інших негативні.
Рівняння на цьому проміжкуприйме вид: />. Вирішуючи його, знаходимо />. Це значенняне входить у проміжок />, а виходить, не є коренемрівняння.
3) При />. Вибираємо довільнезначення /> ізцього проміжку, скажемо, /> і підставляємо в кожне звиражень. Знаходимо, що вираження /> й /> позитивні, а /> --- негативно. Одержимонаступне рівняння: />.
Після перетворення, одержимо:/>, авиходить, рівняння не має корінь на цьому проміжку.
4) При />. Неважко встановити, щовсі вираження на цьому проміжку позитивні, а значить одержимо рівняння: />, />, /> що входить упроміжок і є коренем рівняння.
Відповідь. />, />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення.
/>
/>
Відповідь. />, />.
Використаннятотожності />,при рішенні рівнянь
Зі сформульованої властивостімодуля можна вивести два корисних наслідки:
/>
/>
Проілюструємо застосуванняпершого з них для рішення задачі вступного іспиту в Санкт-Петербурзькийдержавний університет.
Приклад Зобразити графікфункції
/>
Рішення. Перепишемо функцію,що задає, вираження, використовуючи перший наслідок:
/>.
Залишилося тільки побудуватиграфіки функцій />, /> в одній системі координат івизначити ділянки, на яких один з них вище іншого (див. мал. (??)).
/>
Використання другоїтотожності зручно для побудови графіка функції
/>.
Рішення. У силу другоїтотожності, вираження, яке задає функцію, записується у вигляді: />.
Шуканий графік зображений намалюнку (див. мал. (??)).
/>
Приклад Знайдіть максимальнезначення вираження
/>
де />, />, ..., /> --- різні натуральні числа від 1до 1990.
Рішення. Помітимо, що модульрізниці двох ненегативних чисел не більше їхнього максимуму. Тому /> не більше, ніж/>, /> не більше, ніж/>, /> не більше,ніж />.Далі, дане вираження не може рівнятися 1990, оскільки парність цього вираженнязбігається з парністю суми />. Нарешті приведемо приклад, щопоказує, що значення вираження може рівнятися 1989:
/>
Відповідь. 1989.
Рішення рівнянь утримуючімодулі ненегативних виражень
Приклад Чому дорівнює сумакорінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння
/>
Рішення. Розглянемо вираження
/>
і перетворимо його до виду
/>
Очевидно, що чисельник дробупри будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираженняпозитивно, якщо /> (тому що />). Перетворимо отримане вираження,за умови />.Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:
/>
/>
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Оскільки лівачастина рівняння ненегативна, при всіх припустимих значеннях змінної, намножині корінь рівняння права його частина теж повинна бути ненегативної,звідси умову />, на цьому проміжку знаменникиобох дробів рівні, і залишається вирішити рівняння />. Вирішуючи його й з огляду наобмеження />,одержуємо
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння:
/>
Рішення. Неважко догадатися,що всі вираження, що коштують під знаками другого, третього й т.д. модулів,позитивні. І оскільки модуль позитивного вираження дорівнює самому цьомувираженню, одержимо
/>
/>
Відповідь. />.
Рішення рівнянь ізвикористанням геометричної інтерпретації
Геометричний зміст вираження /> --- довжинавідрізка координатної осі, що з'єднує крапки з абсцисами /> й />. Переклад алгебраїчноїзадачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких викладень.
Приклад Вирішимо рівняння
/>.
Рішення. Будемо міркувати втакий спосіб: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частинарівняння являє собою суму відстаней від деякої крапки з абсцисою /> до двох фіксованихкрапок з абсцисами 1 і 2. Тоді всі крапки з абсцисами з відрізка /> мають необхіднувластивість, а крапки, розташовані поза цим відрізком,--- немає.
Відповідь. />.
Приклад Вирішимо рівняння />.
Рішення. Міркуючи аналогічно,одержимо, що різниця відстаней до крапок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиницітільки для крапок, розташованих на координатній осі правіше числа 2.
Відповідь. />.
Приклад Вирішити нерівність />.
Рішення. Зобразимо накоординатної прямої крапки, сума відстаней від яких до крапок /> і /> в точності дорівнює />. Це всі крапкивідрізка />.Для всіх чисел поза даним відрізком сума відстаней буде більше двох.
Відповідь. />.
Зауваження. Узагальненнямрішення вищенаведених рівнянь є наступні рівносильні переходи:
/>
Приклад Вирішите нерівність:/>.
Рішення. Вирішимо нерівність,використовуючи координатну пряму. Дана нерівність виконується для всіх крапок cкоординатою/>,які перебувають ближче до крапки з координатою />, чим до крапки з координатою />. Тому що />, те шуканимиє всі крапки, розташовані лівіше крапки з координатою />.
Відповідь. />.
Приклад Вирішите рівняння
/>.
Рішення. Розглянемо начисловій прямій крапку з координатою />. Сума /> дорівнює сумі відстаней відкрапки /> докрапок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Помітимо, що сума відстаней відбудь-якої крапки до крапок /> і /> не менше довжини відрізка /> (і рівністьдосягається тоді й тільки тоді, коли крапка розташована на відрізку />). Звідсиодержуємо, що /> не менше 4, а /> не менше 2 при кожному />. Тому длятого, щоб сума /> була дорівнює />, необхідно, щоб />. Отже, /> необхіднодорівнює />.Легко перевірити, що значення /> дійсно є рішенням даногорівняння.
Відповідь. />.
Приклад Гальперин Г.О. Позитивнічисла />, />, /> і /> такі, щосистема рівнянь
/>
має /> рішень, а система рівнянь
/>
має /> рішень. Відомо, що />. Знайдіть /> і />.
Рішення. Перше рівняння єрівняння окружності, другому задовольняють крапки квадрата із центром напочатку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система із двохперших рівнянь залежно від /> і /> або не має рішень, або має чотирирішення, або вісім. Отже, /> може рівнятися або 0, або 4, або8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють крапкиоктаедра із центром на початку координат і з вершинами, що лежать на осяхкоординат на рівних відстанях від центра. Ця система залежно від /> і /> або не має рішень, абомає 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сферастосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинаєграні октаедра по окружностях або декільком дугам окружностей). Отже, /> може рівнятисяабо 0, або 6, або 8, або />. Умові /> задовольняє тільки варіант />, />.
Відповідь. />, />.
Переклад алгебраїчної задачіна геометричну мову -і- зручний і потужний метод рішення задач. У якості щеодного приклада розберемо блок задач олімпіади математико-механічногофакультету Спбгу:
Приклад Даний функція: />.
а) Вирішите рівняння />;
б) Вирішите нерівність />;
в) Знайдіть кількість рішеньрівняння /> залежновід значень параметра />.
Рішення. Побудуємо графікфункції />.Для цього помітимо, що />, а тоді ми можемо спочаткупобудувати графіка функції />, і потім відбити його щодо осіординат. Перетворимо вираження, що задає функцію />:
/>
Оскільки дана системавизначає верхнє півколо радіуса 2 із центром у крапці (2; 0), графік вихідноїфункції являє собою об'єднання двох півкіл (див. мал. (??)).
/>
Тепер рішення задач непредставляє праці:
а) Корінь рівняння є абсцисакрапки перетинання прямій /> із графіком функції />. Знайдемо неїгеометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним(кутовий коефіцієнт прямої дорівнює />), його гіпотенуза є радіусокружності, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є />, а шуканаабсциса дорівнює />.
б) Нерівність /> виконана при всіх /> з відрізка />.
в) При />, /> рішень ні, при /> рівняння /> має трирішення, при /> --- чотири рішення, при /> --- дварішення.
Рішеннярівнянь із використанням тотожності />
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення. Двічі застосовуючитотожність />,одержимо рівняння
/>
рішенням якого є інтервал />.
Відповідь. />.
Приклад Вирішити рівняння
/>
Рішення.
/>
Відповідь. />.
Застосування теореми прознаки при рішенні рівнянь
Сформулюємо теорему, зручнупри рішенні нерівностей, щодо добутків або приватних різниць модулів:
Теорема Знак різниці модулівдвох виражень збігається зі знаком різниці квадратів цих виражень.
Приклад Вирішити нерівність
/>
Рішення. Скористаємосятеоремою:
/>
Використовуючи формулурізниці квадратів, розкладемо чисельник і знаменник на множники й вирішимоотриману раціональну нерівність.
/>
Відповідь. />
Рішення рівнянь переходомдо наслідку
Всі рівняння з модулямиможуть бути вирішені в такий спосіб: розглянемо весь набір рівнянь, що можевийде при розкритті модулів, але не будемо виписувати відповідні проміжки.Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь, одержимо наслідки вихідного рівняння.Залишається тільки перевірити чи не придбали ми сторонніх корінь прямої їхньоюпідстановкою у вихідне рівняння.
Приклад Вирішимо рівняння
/>
Рішення. Послідовнопереходячи до наслідків, одержуємо:
/>
/>
/>
/>
Неважко переконається, щознайдені числа не є коріннями вихідного рівняння.
Відповідь. ні рішення.
У випадку вкладених знаківмодуля теж можна розглянути весь набір яких, що виходять при розкритті модулярівнянь серед рішень, утримуються рішення вихідного рівняння, а потім відібратиіз всіх отриманих рішень підходящі хоча б за допомогою перевірки.
Приклад Вирішите рівняння
/>
Рішення. Всіх коріньвихідного рівняння втримуються серед корінь двох рівнянь
/>
які можна переписати увигляді
/>
Аналогічно, кожне із цихрівнянь розпадається на два:
/>
що приводить до чотирьохрівнянь:
/>
Звідси одержуємо 4 рішення: />, />, />, /> серед якихутримуються коріння вихідного рівняння. 1-й корінь, мабуть, задовольняєрівнянню. Це перевіряється легко. 2-й і 3-й не походять, тому що права частинавихідного рівняння при цих значеннях негативна. 4-й корінь теж є зайвим, томущо цей корінь повинен задовольняти рівнянню (*), а при цьому значенні йогоправа частина негативна.
Відповідь. 3.
Рішення рівнянь методомінтервалів
Застосування методуінтервалів засновано на наступної
Теорема Функція, безперервнана проміжку, зберігає на цьому проміжку свій знак.
Це означає, що нулі функції йграниці проміжків її безперервності розділяють область визначення функції наділянки, де вона зберігає постійний знак. Застосування методу пояснимо наприкладі.
Приклад Вирішимо нерівність
/>
Нехай />. Областю визначенняданої функції є />. Вирішуючи рівняння (див. (??)),одержимо, що функція /> не звертається в нуль ні приякому значенні змінної. Це означає, що на всій області визначення функція єзнакопостійної. Обчислюючи, наприклад, />, одержуємо, що функція приймаєтільки позитивні значення.
Відповідь. />.
Метод інтервалів дозволяєвирішувати більше складні рівняння й нерівності з модулями, але в цьому випадкувін має трохи інше призначення. Суть складається в наступному. Знаходимо коріньвсіх підмодульних виражень і розбиваємо числову вісь на проміжки цих виражень.Це дозволяє, послідовно перебираючи ці проміжки, одночасно позбуватися від всіхмодулів і вирішувати звичайне рівняння або нерівність (перевіряючи при цьому,що знайдена відповідь входить у даний проміжок).
Рішення рівнянь домноження напозитивний множник
Приклад Вирішити нерівність
/>
Рішення. ''Пастка'' полягає втім, що в задачі є кілька модулів, розкривати які -і значить одержати,громіздке рішення.
Помножимо дріб на деякевираження, що приймає лише позитивні значення й таке, щоб спростити вихіднанерівність:
/>
/>
/>
Відповідь. />.
Типові тестові задачі, щомістять змінну під знаком модуля
Приклад Знайти коріньрівняння
/>.
Рішення. Тому що />, те з рівняннятреба, що />,/>. Тодівихідне рівняння прийме вид: />, />. Корінь цього рівняння
/>, />.
Корінь />, тому він не єрішенням, а />.
Відповідь. />.
Приклад Знайти добутоккорінь рівняння />.
Рішення. Позначимо />, />. Тоді вихіднерівняння прийме вид: />. Корінь цього рівняння />, />. Тому що />, те />. Звідси />, />. Добутоккорінь дорівнює />.
Відповідь. />.
Приклад Знайти різницю міжнайбільшими й найменшими коріннями рівняння />.
Рішення. Позначимо />, />. Тоді вихіднерівняння прийме вид: />. Вирішимо його. Корінь цьогорівняння />,/>. Тому що />, те значення /> не підходить.Тому />.Різниця між найбільшим і найменшим коренями рівняння дорівнює />.
Відповідь. />.
Приклад Знайти суму коріньрівняння />.
Рішення. Використовуємоправило:
/>.
Вихідне рівняння запишемо увигляді сукупності рівнянь:
/>
У такий спосіб сума коріньвихідного рівняння дорівнює />.
Інший шлях. Оскільки обидвічастини рівняння ненегативні, зведемо рівняння у квадрат. Одержимо: />, />. Тому щодискримінант рівняння позитивний, то по теоремі Виета сума корінь дорівнює />
Відповідь. />.
Приклад Скільки цілих коріньна відрізку /> маєрівняння
/>
Рішення. Розглянемоквадратний тричлен />. Тому що />, те/>, тому вихідне рівняння запишетьсяяк
/>
/>
Останнє рівняння еквівалентнонерівності />,рішення якого />. Таким чином, рівняння має 6корінь на відрізку />: />, />, />, />, />, />.
Відповідь. 6.
Приклад Яке найбільшекінцеве число корінь може мати рівняння
/>
де />, />,..., />, />, />, ..., /> --- різні числа?
Рішення. Покладемо /> й перепишемовихідне рівняння у вигляді />.
Нехай /> --- всі числа ізмножини />,упорядковані по зростанню. На кожному з 101 проміжку />, />,..., />, />, функція /> лінійна. Помітимо, що на першомуй останньому із цих проміжків /> і /> відповідно, при цьому />, тому щокількість корінь звичайно.
Підемо по числовій осіліворуч праворуч.
Спочатку кутовий коефіцієнтфункції /> дорівнює0. Щораз, коли ми проходимо одну із крапок />, він за рахунок зміни знака прирозкритті відповідного модуля змінюється на />.
Таким чином, він завждидорівнює парному цілому числу й не може поміняти знак, не звернувшись перед цимв 0.
Виходить, кутові коефіцієнтина будь-яких двох сусідніх проміжках або обоє ненегативні, або обоє непозитивні,тобто функція /> на об'єднанні цих проміжків абонеубутна, або незростаюча.
Стало бути, якщо число їїкорінь звичайно, те на кожному з 50 проміжків />,..., />, /> вона має не більше одного кореня.Крім того, на крайніх інтервалах значення мають різні знаки, і в кожному коренізнак функції міняється. Отже, кількість корінь парно й не перевищує 49.
Неважко перевірити, що якщороль /> будутьграти числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль /> --- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98,/>, терівняння /> будемати рівно 49 корінь.
Відповідь. 49.
Приклад Вирішите системунерівностей
/>
Рішення. Припустимо, що данасистема нерівностей має рішення />, />, />, />. Тоді, зокрема, />, тобто
/>
Аналогічно одержуємо
/>
/>
/>
Перемножимо всі отриманінерівності. З одного боку, добуток чотирьох позитивних чисел позитивно. Зіншого боку, цей добуток дорівнює -і-
/>
Приходимо до протиріччя.
Відповідь. Система не маєрішень.
Приклад чи Існують дійснічисла />, /> і /> такі, що привсіх дійсних /> і /> виконується нерівність
/>
Рішення. Припустимо, що такічисла />, /> і /> існують.Виберемо /> й/> такі, що />, />, />. Тоді різницяміж лівою й правою частинами дорівнює />. А якщо взяти /> й /> такі, що />, />, />, те ця різниця будедорівнює />.Таким чином, з одного боку, />, з іншої />. Протиріччя.
Відповідь. Немає.
Приклад Скільки різних цілочисленнихрішень має нерівність />?
Рішення. При натуральному /> рівняння /> має рівно /> цілочисленнихрішень, а при /> рішення єдине. Таким чином,кількість рішень вихідної нерівності дорівнює />.
Відповідь. 19801.
Приклад Знайдіть всізначення параметра />, при кожному з яких рівняння маєтри різних корені; знайдіть цих корінь: />.
Рішення. Зведемо обидвічастини рівняння у квадрат: />.
Якщо />, тоді одержимо рівняння:
/>
Дискримінант цього рівняннядорівнює:
/>.
Рівняння (1) буде мати одинкорінь, при /> й/>. Двакорені, при /> й/>.
Якщо />, тоді одержимо рівняння:
/>
Дискримінант цього рівняннядорівнює:
/>.
Рівняння (2) буде мати одинкорінь при /> й/>. Двакорені — при /> й />.
Робимо висновок, що при /> рівняння (1)має один корінь, а рівняння (2) — два корені. При />, рівняння (1) має два корені, арівняння (2) — один.
Таким чином, при /> й /> дане рівняннямає три корені.
Знайдемо цих корінь. При />, перше рівнянняприйме вид: />.Воно має один корінь: />
Рівняння (2) прикмет вид: /> яке має двакорені: />,/>.
При />, рівняння (2) прикмет вид: />. Воно має одинкорінь: />.
Рівняння (1) при цьому стане:/>, що будемати корінь: />, />.
Відповідь. При />, />, />, />.
При />, />, />, />.
Приклад Для кожного значенняпараметра /> визначитечисло рішень рівняння />.
Рішення.
1. Якщо />, тоді рівняння не маєрішень, модуль будь-якого речовинного числа ненегативний.
2. Якщо />, тоді одержимо рівняння/>. Церівняння має два корені, тому що />.
3. Якщо />, тоді одержуємосукупність двох рівнянь:
/>
/>
Перше рівняння маєдискримінант: />. Воно не буде мати корінь при />, />, але ценеможливо, тому що />. Також воно не може мати одинкорінь (тоді />, що також неможливо). Такимчином, при /> рівняння(1) має два корені.
Друге рівняння маєдискримінант:
/>.
Воно не буде мати корінь,якщо />, />, />. Буде матиодин корінь, якщо />. Буде мати два корені, якщо />.
Остаточно одержуємо.
Відповідь. Якщо />, тоді рівнянняне має корінь.
Якщо /> й />, тоді рівняння має два корені.
Якщо />, тоді рівняння має три корені.
Якщо />, тоді рівняння має чотири корені.
Приклад Знайдіть всізначення параметра /> із проміжку />, при кожному з якихбільший з корінь рівняння /> приймає найбільше значення.
Рішення.
Перетворимо рівняння до виду
/>.
Виходить, якщо
/>, />,
тоді />.
Знайдемо найбільше значення />, при якому />, тобтонайбільше рішення нерівності
/>.
Перетворимо цю нерівність:
/>, />, />, />, />.
Останню нерівність вирішимометодом інтервалів, пам'ятаючи, що />.
Рішення нерівності будемножина: />.
Ясно, що дріб
/>
приймає найбільше значенняпри />, тодізначення /> будедорівнює:
/>.
Відповідь. При />.
Приклад Знайти всі значенняпараметра />,при кожному з яких рівняння /> має єдине рішення.
Рішення.
Знайдемо рішення для кожногозначення />,а потім відберемо ті, які задовольняють умові задачі, тобто при яких рівняннямає єдине рішення.
Для кожного фіксованого /> будемо шукатирішення даного рівняння спочатку на проміжку />, а потім на проміжку />, оскількимодуль звертається в нуль при />:
1) Нехай />. На цьому проміжку /> й тому данерівняння прикмет вид />.
Знайдемо дискримінантотриманого наведеного квадратного рівняння
/>, виходить, при будь-якомудійсному значенні /> рівняння має два різних дійснихкорені: /> і/>.
З'ясуємо, чи входять вони впроміжок />.Корінь /> лежитьу цій області тільки тоді, коли виконується нерівність: /> або />.
Остання нерівністьрівносильна системі нерівностей:
/>
Остання система нерівностейне має рішень, виходить, ні при якому значенні параметра a число /> не лежить в області />.
Корінь /> лежить у розглянутійобласті тоді, коли виконана нерівність: /> або />.
Вирішимо останню нерівність.Ясно, що цій нерівності задовольняють всі значення /> із проміжку />.
При /> одержимо нерівність />. Звідсизнаходимо: />.
Таким чином, при /> рівняння маєєдине рішення />.
2) Нехай />. На цьому проміжку /> й томувихідне рівняння можна переписати у вигляді />. Знайдемо дискримінант цьогорівняння: />.
Рівняння не має рішень, якщо />, тобто якщо />.
Виходить, рівняння не маєкорінь для /> ізпроміжку />.
Якщо /> не належать цьому проміжку, токвадратне рівняння має коріння />, />, причому /> при /> й />. З'ясуємо тепер, при якихзначеннях параметра /> знайдених корінь лежать в області/>.
Для цього потрібно вирішитинерівності /> й/>.
Нерівність /> рівносильна нерівності /> абосукупності двох систем нерівностей:
/>
Множина рішень першої системимає вигляд />,друга система не має рішень. Виходить, тільки при значенні /> корінь рівняння /> лежить вобласті />
Нерівність /> рівносильна нерівності /> або системінерівностей
/>
Множина рішень отриманоїсистеми нерівностей є відрізок />.
Тільки при цих значенняхпараметра />,корінь /> належитьобласті: />.Таким чином, при /> дане рівняння в області /> рішень не має.
Якщо />, то рівняння в розглянутійобласті має єдине рішення />.
При значеннях />, що лежать в області /> вихіднерівняння має два різних корені /> й />. Якщо ж />, то вихідне рівняння має єдинийкорінь />.Отримані результати зручно звести в таблицю:
/>
Таким чином, шукані значення /> утворять двапроміжки: /> і/>.
Відповідь. />, />.
Приклад Знайти всіх коріньрівняння />,що задовольняє нерівності />.
Рішення. Будуємо графікифункцій /> і/>. Одержимодві крапки перетинання, абсциса тільки однієї з них менше />, тобто задовольняє умовизадачі
Абсцису крапки можна одержативирішивши рівняння />.
Відповідь. />.
Приклад Вирішити аналітичной графічно рівняння
/>
Аналітичне рішення
Перетворимо рівняння,помноживши обидві його частини на 2, будучи позитивним числом, його можнавносити під знак модуля, тому одержимо:
/>
У кожного із тричленівпозитивні дискримінанти. Це дає можливість розкласти кожний з них на лінійнімножники.
Рівняння прийме вид: />.
На числовій прямій відкладемокрапки, у яких кожний із множників звертається в нуль. У результаті одержимоп'ять проміжків, на кожному з яких визначимо знаки тричленів під модулем івирішимо отримані рівняння.
Однак такий спосіб не будераціональним. Доцільніше зобразити проміжки кожного із тричленів на числовихосях. Тоді визначення їхніх знаків буде спрощене й зробиться більше наочним
При такому схематичномузображенні зрозуміло, що:
1) при /> обидва тричленипозитивні й рівняння прийме вид:
/>
Вирішуючи його, знаходимо />, />. Обидва кореніне входять у проміжок /> і є сторонніми;
2) при /> перший тричленнегативний, а другий позитивний, одержимо рівняння: /> звідки знаходимо корінь />, що входить упроміжок /> іє рішенням рівняння;
3) при /> обидва тричленинегативні, одержуємо:
/>, звідки />, що входить у проміжок /> і є рішеннямрівняння;
4) при /> перший тричленпозитивний, другий — негативний, одержуємо рівняння:
/>, звідси />, що входить у проміжок /> і є рішеннямрівняння;
5) при /> обидва тричленипозитивні, виходить така ж ситуація, як і в першому випадку. І тут, обидвакорені />, /> не входять упроміжок і є сторонніми.
Відповідь. />, />, />.
Графічне рішення
Для графічного рішенняперетворимо рівняння:
/>
/>
Побудуємо графіки функцій
/> і />
Графік функції
/>
будемо будувати в кількаетапів:
а) будуємо графік функції
/>;
б) будуємо графік функції
/>, `
дзеркально'' відбивши нижнючастину кривої
/>в осі />;
в) будуємо графік функції
/>
для цього досить графікфункції /> ``опустити''долілиць (здійснити паралельний перенос уздовж осі />) на />;
г) отриманий графік повністюсиметрично відіб'ємо в осі />, ``перевернемо'' навколо осі /> на />.
У результаті одержимо графікфункції
/>.
Графік функції
/>
побудуємо вже відомимспособом: будуємо параболу /> й дзеркально відбиваємо в осі /> тільки частинапараболи, що перебуває нижче осі />.
Знаходимо абсциси крапокперетинання графіків, які й будуть рішеннями рівняння
Абсциси крапок перетинаннянаступні: 1,75; 2,5 і 3,25. Вони й будуть рішеннями рівняння.
Приклад Вирішите рівняння />.
Рішення. Вирішувати будемо церівняння послідовне ``розкриваючи'' модулі, починаючи з ``зовнішнього'' і``наближаючись'' до змінного />.
Після розкриття першогомодуля, одержимо сукупність двох рівнянь:
(1) /> або (2) />.
Вирішуючи рівняння (1), усвою чергу, одержуємо два рівняння:
/>,
(3) /> або (4) />.
З рівняння (3) знаходимо: />, /> з рівняння (4)знаходимо: />,/>
Вирішуючи рівняння (2), такожодержимо: />,що розпадається два рівняння:
(/>) /> або (/>) />.
З (/>) одержуємо:
/>, />, /> З (/>) />, що не має рішень.
Відповідь. />
Приклад Вирішити рівняння:
/>
Рішення. ОДЗ даного рівняння:
/>
Простою перевіркою неважкопереконатися, що /> й /> --- рішення даного рівняння.
Відповідь. />.
Якщо вирішувати рівнянняшляхом піднесення у квадрати обох його частин, то вийде рівняння
/>
У цього рівняння додасться``зайвий'' корінь />, що не належить ОДЗ.
Перетворення />, не рівносильне, томущо /> входитьв ОДЗ вихідного вираження, але не входить в ОДЗ перетвореного.
Нюанс полягає в тому, що при /> функція /> існує й при />, тому що на щонуль не множ — буде нуль.
Приклад Вирішити рівняння />.
Рішення. Почнемо розкривативнутрішній модуль (розкриття зовнішнього модуля займе набагато більше часу):
1. При /> маємо />.
Тепер розглянемо два випадки:
а) />, тобто />;
б) /> і />
Так як функція, що стає впершій частині вихідного рівняння, — парна, то рішенням так само буде /> й />.
Відповідь. />.
Приклад Чому дорівнює сумакорінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння
/>
Рішення. Розглянемо вираження
/>
і перетворимо його до виду
/>
Очевидно, що чисельник дробупри будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираженняпозитивно, якщо /> (тому що />). Перетворимо отримане вираження,за умови />.Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:
/>
/>
Відповідь. />.
Приклад Всі значенняквадратного тричлена /> на відрізку /> по модулі неперевершують 1. Яке найбільше значення при цьому може мати величина />?
Відповідь. Максимальнезначення величини /> дорівнює 17.
Доведемо це. Спочаткудоведемо, що ця величина не може бути більше 17. Тому що значення тричлена /> на відрізку /> по модулі неперевершують одиниці, те/>, />, />, тобто />, />, />. Тому що модуль суми неперевершує суми модулів, те
/>
/>
Отже, />. Залишилося помітити,що квадратний тричлен /> задовольняє умові задачі й длянього величина /> дорівнює 17.
Приклад Знайдіть найбільшеціле значення параметра />, при якому рівняння /> не маєрішень.
Рішення. Вихідне рівняннярівносильне рівнянню
/>
Друга система має рішеннятільки при /> (прицьому її рішеннями будуть усе />). Перша система не має рішень,якщо /> Прицьому найбільше ціле/>, мабуть, дорівнює />.
Відповідь. />.
Висновок
абсолютнавеличина модуль теорема
Матеріал даної дипломноїроботи адресований учителям математики, викладачам підготовчих курсів, школярамі абітурієнтам. Розглянуто властивості абсолютних величин, наведені теореми прорівносильні перетворення рівнянь і нерівностей, що містять знак модуля.Сформульовано маловідомі твердження, що істотно спрощують традиційніалгоритмічні способи рішення шкільних, конкурсних задач. Теоретичний матеріал проілюстрованийзначною кількістю завдань (більше 80) із вступних іспитів, математичнихолімпіад і завдань незалежного оцінювання знань.
Список джерел
[1] Веременок В. В., Практикум по математиці, підготовка до тестування йіспитів. – К., 2008
[2] Д. Гущин, Потужне рішення. Рівняння й нерівності з модулями//Учительська газета №39.
[3] В.Голубєв Школа рішення нестандартних задач. Заняття 3. Нестандартнатехніка рішення нерівностей з модулем // Математика №5, 2005 с. 24--31.
[4] В.Голубєв, Школа рішення нестандартних задач. Заняття 5. Сума модулів//Математика № 12, 2005 с.41--48.
[5] Тишин В. И., Математика для вчителів і учнів: раціональні алгебраїчнірівняння. – К., 2005
[6] О. Ігудисман, Математика на усному іспиті. – К., 2006
[7] КуланінЕ.Д., 3000 конкурсних задач по математиці. – К., 2005