--PAGE_BREAK--
Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стремление α к π/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgφ= + ∞ (черт.) пли tgφ=- ∞(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgφ= +∞, а «справа» tgφ= — ∞). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.
Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f(x).
3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке аb, если ее производная f'(х) конечна в каждой точке промежутка.
4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.
4°. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x1).
Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции
1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Напишем тождество:
Δy=(Δy/Δx)*Δx
так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бесконечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.
Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.
2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:
y= |х|
(черт.) в точке x= 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.
3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.
Впервые отчетливое различие между понятием непрерывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Производная постоянной
Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.
Дано: y=c (черт.).
Требуется доказать: с’=0.
Доказательство: Для любого значения x и для всякого приращения Δx приращение функции Δy равно нулю, также равно нулю и отношение Δx/Δy.
Отсюда
Таблица элементарных производных
Функция Ее производная xp pxp-1, pÎR
c (c-const) 0
1/x -1/x2
____ √x ____
1/2√x
ex ex sin x cos x cos x -sin x tg x 1/cos2x ctg x -1/sin2x y = up pu’up-1 ln x 1/x ax ax lna, a>0 log a x 1/(x lna), a>0, a¹0 arcsinx ___________ 1/Ö1-x2 arccosx ____________ -1/Ö1-x2 arctg x 1/(1+x2) arcctg x -1/(1+x2) Правила дифференцирования
Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда
c = 0;
(c * f(x))’ = c * (f(x))’;
(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);
(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);
(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);
ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a≤ x≤ b.
1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f'(х) равна нулю.
Иллюстрируем это геометрически. Если f' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]
график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).
2°. Если в промежутке axb функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δx и Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только
положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f'(х) — положительна или равна нулю
f '(x) ≥ 0
Если в промежутке аbфункция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные значения и при стремлении Δx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.
f '(x) ≤ 0.
Так как значение производной f'(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f(x):
f '(x) = tgφ,
и у возрастающей функции f'(x) = tgφ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f'(х) = tgφ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).
В промежутке axbвозрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b1 (aa1b1b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f'(x) = 0 на отрезке a1≤ х ≤ b1то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).
Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.
3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:
функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке axb, если:
1) производная f'(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке аb,
f'(x) ≥ 0 (или f'(x) ≤ 0)
и
2) в этом промежутке не существует отрезка a1≤ x≤ b1(аb1b), во всех точках которого производная f'(х) = 0.
4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.
Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:
у' = Зх2 — 2х — 8.
Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.
Корни трехчлена:
Отсюда:
у' =3(х+4/3)(х-2).
Множитель x+ 4/3 отрицателен при х х > — 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.
Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;
продолжение
--PAGE_BREAK--1) — ∞ xxx.
Чтобы определить знак производной в каждом из промежутков, составим таблицу:
№ про-межутка
Характеристика промежутка
Знак x+4/3
Знак x-2
Знак f ’(x)
Данная
функция
1
— ∞ x
—
—
+
возрастает
2
-4/3 x
+
—
—
убывает
3
2
+
+
+
возрастает
Следовательно, данная функция возрастает в промежутках
— ∞ x x и убывает в промежутке — 4/3 .
График данной функции представлен на черт.
5°.Функция у = х3(черт.) имеет производную у = 3х2, которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. Прих = 0 производная у' = 0. Функция у = х3возрастает в промежутке — ∞∞; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х3 = 0, а при х и при х > 0 х3> 0.
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?
Решение. Пусть ширина участка x м, аплощадь у м2, тогда:
y= (60-2x)x= 60x— 2х2
Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 — 2x> 0, а 0x.
Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:
y' = 60 — 4x.
y'>0, и функция возрастает, когда x; y, и функция убывает, когда x>15.
Если ширина х =
0
5
10
15
20
25
30
то площадь y=
0
250
400
450
400
250
0
Кривая (черт.) поднимается от начала до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.
Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x= 60 — 30=30 (м)
2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?
Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/xм, а периметр:
Y=2(x+36/x)=2x+72/x.
Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:
0x
Определим промежутки ее возрастания и убывания:
y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.
Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке
0xy', а в промежутке 6xy'>0.
Периметр убывает в промежутке 0x и возрастает в промежутке 6x. График (черт.) построим по таблице:
Если х =
→0
3
4
5
6
7
8
→∞
То у =
→∞
30
26
24,4
24
24,3
25
→∞
Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.
Максимум и минимум функции
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.
Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.
Термины «максимум» и «минимум» объединяются в один общий для них термин «экстремум».
Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.
Функция может иметь только максимум, например функция y= 60x— 2х2(черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x(черт. 112), или иметь
максимум и минимум, как, например, функция у = х3— — х2 — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y= ctgx, y= axне имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.
Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с1М1и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее минимума c2m1, и c4m2, минимум c4m2больше максимума с1М1. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.
Признаки существования экстремума
1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2δ точки х=с:
1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f'(c) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности х=cесть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx, где 0xδ. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с — Δx), а в правой f(c+ Δx). Значения f(x) в окрестности 2δ точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с -/+ Δx неограниченно приближается к числу с, если Δx стремится к нулю.
По определению максимума функции:
f(c— Δx)f(c) и f(c+ Δx)f(c).
Отсюда:
f(c-Δx)-f(c)иf(c+ Δx)-f(с).
Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:
(f(c—Δx)—f(с))/(-Δx))>0 (1); (f(с + Δx)—f(с)/(+Δx)) (2) Оба отношения (1) и (2) имеют один и тот же предел при Δx → 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную произвольную:
Из неравенства (1) следует, что f'(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показывает, что f'(с) не может быть положительной. Следовательно,
f‘(c) = 0,
что и требовалось доказать.
2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2δточки x= с:
1) функция f(x) непрерывна,
2) ее производная, f'(х), слева от точки х = с положительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.
Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий предел для f(c— Δx) и f(c+Δx) при Δx → 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 δ):
Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения
f(c—Δx) иf(c+Δx)
возрастают при стремлении Δx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1>x2f(x1)f(x2)).
Другими словами, как f(c— Δx), так и f(c+Δx) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения Δx ≠ 0:
f(c— Δx) f(c) иf(c+ Δx) f(c).
Но в таком случае f(c) есть максимум функции f(x) в точке х = с.
3°. Так же можно доказать, что если в окрестности 2δточки х = с:
1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f'(x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).
4°. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.
Например, функция у = х3 имеет в точке x=0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х3при всех значениях х, в том числе и при x= 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.
5°. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f'(х) равна нулю, называются стационарными точками.
Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная составляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).
Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;
продолжение
--PAGE_BREAK--5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.
Нахождение экстремума при помощи второй производной
1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.
Доказательство от противного. Пусть для определенности f'(c)>0, т. е.
Предположим, что при стремлении ∆x к нулю приращения ∆y и ∆x имеют разные знаки. Тогда отношение ∆y/∆x отрицательно и его предел
f '(c) ≤ 0,
что противоречит условию.
Так же доказывается и вторая часть леммы.
2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f'(c)=0, а вторая производная положительна, f"(c)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум;
если же вторая производная отрицательна, f"(с) , то в точке х = с функция f(x) имеет максимум.
Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.
Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2δ точки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.
f '(c — ∆x)—f(c)
Отсюда:
f '(c-∆x)(1).
Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.
f '(c +∆x)-f '(c)>0.
Отсюда:
f '(c + ∆x)>f '(c) = 0. (2)
Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.
Так же доказывается теорема и в случае f"(с)
3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:
Если знак числа f"(с),
то при х = с f(x) имеет
плюс
минус
минимум
максимум
Если f'(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.
4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию: у = 5 — х2 — х3 — x4/4.
Решение. 1. Находим первую производную:
y ' = — 2х — Зx2 — x3
2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:
— 2x — Зx2 — x3 = 0, или x(x2+3х+2) = 0,
отсюда x = 0 или x2+ 3х + 2 = 0.
Решая квадратное уравнение x2 + 3х + 2 = 0, получаем:
x = (-3 + 1)/2.
Стационарных точек три: x1 = — 2, x2 = — 1 их3 = 0.
3. Находим вторую производную:
у" = — 2 — бx — Зx2.
4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем во второй и потом в третьей стационарной
точке:
при х = — 2 у'' = — 2 — 6(— 2) — 3(— 2)2 = — 2, при х = — 1 у" = — 2 — 6(— 1) — 3(— l)2 = + 1, при x = 0 у" = — 2.
Следовательно, данная функция имеет минимум при х = —1 и максимум при х = — 2 и при х =0,
Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х4.
Решение: 1)y' = 4x3;
2) 4х3 = 0; х = 0;
3) y" = 12x2;
4) при х = 0 y" = 0.
Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем первым способом: при х у' = 4x3 , а при х > 0 у' = 4x3 > 0. Следовательно, функция у = х4имеет минимум в точке x = 0.
5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к цели.
Направление вогнутости кривой
Пусть две точки M1 и M2 имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом ордината точки M1 более (менее) ординаты точки M2, то говорят, что точка M1 лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке аbлиния y= f(x) лежит выше (ниже) линии у=φ(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше (ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если
f(x)> φ(x) [или f(x)φ(x)].
Определение. В промежутке а bкривая— график дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.
Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а bи вогнутой вниз в промежутке b
2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f'(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.
Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)
произвольно ряд точек и проведем через каждую из них
прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к некоторой кривой линии [tgφ = f'(x)], построим эту кривую линию. Мы видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.
3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке аbвторая производная f''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).
Действительно, если в промежутке аbвторая производная f"(x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то первая производная f'(х)—возрастающая функция, а кривая y= f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.
Если f"(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в этом промежутке f'(x) — постоянная функция, a f(x) — линейная функция, график ее — прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.
Точки перегиба
1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая —график дифференцируемой функции y= f(x) — имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.
Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.
2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f"(x) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.
f(c) = 0.
3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:
1) найти вторую производную данной функции;
2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их noвеличине от меньшего к большему;
3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;
4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.
4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить промежутки вогнутости вверх и вниз кривых:
1) у = lп х.
Р е ш е н и е. Находим вторую производную:
y '=1/x; y ''= -1/x2.
При всяком значении x = (0 х ) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.
2) у = sin x.
Решение. Находим вторую производную:
y' =cos x, y'' = -sin x.
Полагая — sin x = 0, находим, что x = kπ, где k — целое число.
Если 0 xπ, то sin x положителен и y '' отрицательна, если же π xπ, то sin x отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, π, 2π,...
В первом промежутке 0 xπ она обращена вогнутостью вниз, во втором - вогнутостью вверх и т. д.
Механическое значение второй производной
Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s= f(t), где t время. Скорость vв момент времени tесть производная от пути по времени, т. е.
v=ds/dt.
Скорость изменения скорости в момент времени tесть ускорение а,
a=(v)' = (ds/dt)' = (d2s/dt2).
Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.
Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:
s = (t3 — 2) м.
Определить ускорение в момент t = 10 сек.
Решение. Ускорение а = d2s/dt2.
Дифференцируя функцию s=t3 — 2, находим d2s/dt2 =6t
Следовательно,
a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек2.
2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени tсоответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).
По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила Fравна произведению массы т на ускорение а, т. е.
F=ma, или f(t) = ma.
При прямолинейном движении a =d2s/dt2, поэтому
f(t) = m*d2s/dt2.
Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.
Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону
s = А*sin(ωt + ω0).
Решение. f(f) = m*d2s/dt2, поэтому находим вторую производную функции:
s = А*sin(ωt + ω0), ds/dt= А*cos(ωt+ω0)* ω,
d2s/dt2=— А*sin (ωt + ω0)* ω2 = — s*ω2 = — ω2s; f(t) = — mω2s,
т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению s и направленной в противоположную сторону.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ Сравнение бесконечно малых
1°. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к нулю, когда значения α = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;
значения β=1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.
Отношение β/α =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.
значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,—величина переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не существовать.
2°. Определения: 1) βназывается бесконечно малой высшего порядка малости, чем α, если предел отношения β/α равен нулю, т. е. если
limβ/α =0;
2) β называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем α, если
limβ/α = ∞;
3) β и α называются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если
limβ/α = k, где k≠ 0 и k≠ ∞
4) β и α называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела их отношения не существует.
3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limβ/α = 0, β высшего порядка малости, чем α, a limα/β = ∞ и α низшего порядка, чем β.
2. α =1—х и β=1— x2—бесконечно малые, если х→1. Отношение β/α=(1- x2)/(1-x) = 1+x.
Значит, 1—х и 1—x2 —бесконечно малые одинакового порядка малости при х→1.
3. Сравним 1 —cosx с х при x→ 0.
т. е. 1—cosx при х → 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости, чем х.
Дифференциал функции
1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргументах, т. е.
(I)
2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x.
Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.
Решение. dy=f'(х)* ∆х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и ∆x.
f '(x) = (x2)' =2x.
Поэтому
dy=2x*∆x.
Начальное значение аргумента х=3, приращение его ∆x = 3,1 — 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:
dy =2*3*0,1=0,6.
продолжение
--PAGE_BREAK--Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ∆х.
3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функцииy=f(x). Из ∆MPT следует, что
PT = MP*tgφ = ∆x*f '(x).
Но по определению f'(х) *∆x =dy, поэтому PT= dy.
Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.
4°. Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны между собой. На черт. dy= PT менее ∆y=PQ.
Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.
5°. Пример. Для функции у=x2 при изменении х от 3 до 3,1 приращение ∆y = 2x*∆x + + ∆x2= 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *∆x = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ∆у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ∆у—dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:
(∆y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%
6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.
Действительно, отношение ∆y/∆x отличается от своего предела f'(x) на бесконечно малую α, причем α → 0 при стремлении ∆x к нулю,
∆y/∆x — f '(x)= α.
Производя вычитание в левой части равенства, получаем:
(∆y-f '(x)*∆x)/∆x = α, или (∆у — dy) ∆x= α,
7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.
8°. Из изложенного следует, чтодифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:
1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где k=y');
2) отношение (∆y—dy)/∆x стремится к нулю при стремлении ∆x к нулю.
Обратно.Если величина zобладает двумя свойствами:
1) z=k∆x и2)то zесть дифференциал функции у.
Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:
т. е. k = y',
а следовательно,
z= k∆x= y’∆x,
т. е. z есть дифференциал функции у.
Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.
Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов
1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ∆x:
dx = ∆х (II)
Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,
dy = (x)' ∆x, или dy = ∆x.
Но так как
dy= dx, то dx = ∆x,
т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.
2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:
(III)
т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциаларгумента.
3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy= f'(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.
Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле;
dy = f 'u (x)* ∆u.
Но
f 'u (x)= f’x (x)* x’u
Значит,
dy= f’(x)—x'u* ∆u.
Но так как, по определению,
x'u ∆u = dx,
то, следовательно,
dy= f'(x)dx.
4°. Пример. Найти дифференциал функции:
_____________________
у = √ (e2x—1).
Решение. По формуле (III)
dy = у'*dx.
Находим у': ________ ________
y’ = e2x*2/( 2√ (e2x—1)) = e2x/ √ (e2x—1).
Значит _______
dy = e2x*dx/ √ (e2x—1)
5°. Из формулы (III) следует;
f’(x)=dy/dx,
т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где
dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)
для произвольного значения dx= MP.
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям
1°. Разность ∆y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x
(IV)
Это означает, чтопри малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f'(x); кривую y=f(x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.
Так как∆у = f(х + ∆x)—f(x), то, заменяя в формуле (IV) ∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) — f(x) ≈ f '(x)* ∆x
(V)
В математике производную применяют для:
1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.
2. Нахождения касательной к графику.
3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
5. Для доказательства неравенств.
Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике. Задача1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 1/3.
Ответ: 0,25(9—205*3-99)
Задача2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 3.
Ответ: ≈ 2,078176333426855507665737416578*1050.
Задача3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y= (9—x2)/6 из точки M(4;3).
Решение.
т. A= укас1∩OX Решение:
т. B = укас2∩OX укас =y(x)+у’(x)(x—x);
y = (9—x2)/6 y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3;
M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то
SAMB —? 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3 | *3
18 = 9—x02—2x0(4—x0);
x2—8 x—9 = 0;
Д/4 = 16 + 9;
x0 = 4+5 = 9;
x0 = 4—5 = -1
укас1 = -12 — (x—9)*9/3 = -3x+15;
укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;
A(5;0); B(-5;0);
AM = √10 (ед.);
AB = 10 (ед.);
BM = 3√10 (ед.);
p — полупериметр; __
p= (4√10 + 10)/2 = 2√10 + 5;
__ __ __ __ __ __
S=√(2√10 + 5) (2√10 + 5—√10) (2√10 + 5—3√10) (2√10 + 5—10) =
= √(2√10 + 5)(√10 + 5)(5—3√10)(2√10—5) =
= √(40—25)(25—10) = 15 (ед2);
Ответ: 15 (ед2).
Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y= (|x|—x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1).
Решение:
-x, x
y =
0, x>0
A(a;-a); B(b;0);_
AO = |a|√2 = -a√2 (т.к. a
BO= b;
Для т. B:
у1 = kx+z;
т.к. у1—график линейной пропорциональности, проходящий через т M(0;1), то z= 1.
0=kx+1;
k=-1/b;
Для т. A:
у1=kx+1;
-a=kx+1;
k=(-1-1a)/a;
у1A= у1B
(-a—a)/a = -1/b;
b+ab=a;
a(1—b)=b;
a = b/(1-b);
S∆AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB
ÐAOB =180o—45o = 135o
S∆AOB=0,5*(√2/2)* (-a)b√2 = -ab/2;
S∆AOB = -b2/(2(1—b)) = b2/(2(1—b)); D(y): b>1(т.к. приbнеобразует∆AOB.);
т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную:
S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2) =
= b(b—2)/(2(b—1)2);
S’ = 0;
точки экстремума:
b=0;
b=1;
b=2;
но b>1, значит
Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);
Ответ: 2 ед2.
Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD= 24, AD= 6 и DD1=4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1, вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?
Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.).АО ÎАA1C1С — линия, принадлежащая данной плоскости. ПродолжимАО до пересечения сCC1в точкеS. ТогдаSP— линия пересечения граниDD1C1Cи данной плоскости, а сечениеANMP— параллелограмм.Sсеч = SAMNP= SK*AP/2, потому чтоSK/2— высота параллелограммаANMP. Это видно из следующего рассуждения.
В ΔASC ОC1 — средняя линия (значит SC1= 4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.
Пусть PC= x; ΔCLP подобен ΔDAP,
LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________
продолжение
--PAGE_BREAK--Из ΔCLP: KC = (6x*x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(√(36+ (24—x)2);
________ ___________________ __________________
Из ΔSCK: SK = √SC2+ KC2 = √64+36x2/(36+(24—x)2) = 2√16+9x2/(36+(24—x)2) ;
Из ΔADP: AP= √36+(24—x)2;_____ _________________ __________________
Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(√36+(24—x)2) 2√16+9x2/(36+(24—x)2) = √16(36+(24—x)2)+9x2;
Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0;
50x—32*24 = 0, x= 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);
Sсеч = 312;
DP= 24—16*24/25 = 216/25;
Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.
Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2.
Решение. HF=FC=1/2;
S∆BME = BM*EK*1/2;___ _
Из ∆TCH =>TH = √4—1=√3;
EF = TH/2=√3/2;
Пусть MC = x.
Из ∆BMCпо теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2;
MB = √x2—2x+4; _ _
S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2√3 /2 = x√3/2;
S∆BMC = 0,5*BM*PC, _ ________
PC = (2S∆BMC)/BM, PC = x√3/√x2—2x+4 ;
∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам):
KF/PC= MF/MC(рис2),_____ _ _________
KF= x√3(x—1/2)/(x√x2—2x+4) = √3(x—1/2)/(√x2—2x+4);
________ ______________________
Из ∆KEF=>KE= √ KF2+EF2= √3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4; _
S∆BME= 0,5√x2—2x+4 *√3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 = 0,5√3(x—1/2)2+(x2—2x+4)*3/4;
Если S’(x) = 0, то
6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0;
15x—9 = 0;
x = 3/5; __
S(3/5) = √15/5 кв.ед.
Ответ: √15/5 кв.ед.
Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка Mлежит на апофеме пирамиды, а BK—высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?
Решение. TP = 2R, ÐATO = 60o.
Пусть AB = BC= CA = a(рис.)
Тогда AO = a√3/3,
AD = BK = a√3/2, _ _
TO = AO*ctg60o= a√3/3*1/√3 = a/3,
OD = a√3 /6,
AO2 = TO*OP = TO(2R — TO),
a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.
S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const,
S∆MBK =f(LM),__
LM = √MN2+NL2
Пусть MD= x, тогда MN= xcos/ NMD; _
cos ÐNMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7.
Из ∆ONL: LN = ON cos30o (ÐONL = 30o);
ON = OD – ND, _ _ _ _ _
ND = x sin ÐNMD = x √3/√7, ON = a√3/6 — x√3/√7,
LN = (a√3/6 — x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)),
LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2. _ _
Если LM’(x)= 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0,
8x/7 – 3a/4√7 + 9x/14 = 0,
25x/14 = 3a/4√7,
x = 21a/50√7. __ __
MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,
LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,
LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25. _
S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80.
Ответ: 9√3 R2/80.
Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.
Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,
SO*1,5 = AD,
LMN – правильная четырехугольная призма.
Найти. Vпр= f(LM).
Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;
SO1= R – радиус сферы; LM= x –высота призмы.
∆SKO1 подобен ∆SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.
Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 — R)2,
R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,
8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.
Отсюда OD= R/2;
AO1= RиSO1 =R; _
SD = √R2 + R2/4 = R√5/2, _
OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;
O1K = R√5/5.
Из ∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2,
Sосн= 2NF2. _
Vпр= Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 — x2)*x;
Vпр= 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 — x3);
V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 — 3x2) = 0; _
x1,2 = (2R√5/5 + √4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5)/(-3);
x = 2√5 R/15 _ _
Vпр.max= 2(4R2*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R3/135.
Ответ: 16√5R3/135 м3 при H= 2√5R/15.
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R.
Дано. ASO – конус;
SO = H;
AO = R;
CL/CM = BK/BN;
Найти. BN, чтобы Vпр= max
Решение. BN= x, CM= h, Vпр= SоснCM= CL2h/2.
∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO;
CD/R = (H – x — h)/H;
CD = R(H – x -h)/H.
∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO;
BE/R = (H — h)/H;
BE = R(H — h)/H.
Находим отношение CD/BE= (H– x— h)/(H— x).
Исходя из условия (CL/CM= BK/BN) задачи делаем вывод,
что CD/BE = h/x, т. е. (H – x — h)/(H — x) = h/x => h = (Hx – x2)/H
Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H — x)2/H2,
CL = 2CD = 2R(H — x)2/H2.
V = 4R2(H — x)4(H — x)x/(2H*H4) = 2R2(H — x)5x/H5;
V’(x) = 2R2((H — x)5 – 5(H — x)4 x)/H5 = 0,
(H – x) – 5x = 0, x = H/6.
V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.
Ответ: при H/6, Vmax= 2R2H*55/66.
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U= a/r2– b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами.
Найти:
а) значение rсоответствующее равновесному положению частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение;
в) Fmax значение силы притяжения;
г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
U= a/r2– b/r; Решение:
aи b— counts; Для определения rсоответствующего равновесному
r— ? положению частицы исследуем f= U(r) на экстремум.
Fmax— ? Используя связь между потенциальной энергией поля
U и F, тогда F= -dU/dr, получим F= -dU/dr= — (-2a/r3+b/r2) = 0;
при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3);
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax= 2a/r31— b/r31= — b3/27a2;
U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;
F = 0; F(r)max приr = r1 = 3a/b;
Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.
Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.
R1= 9 R2 Решение:
При параллельном соединении резисторов эквивалентное
R1, R2, R3 сопротивление по формуле:
1/Rэкв= 1/R1+1/R2+1/R3;
Rэквmax— ? выражу R3через R2:
R3 = R— R1—R2=R—10R2;
тогда 1/Rэкв= (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));
Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].
Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2и преобразуем ее:
(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22(R-10R2)2);
В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом
R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;
Rэквmax = 9R/169;
Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяетсяс высотой H по закону B= B(1 + αH), где α= const (черт.).
Решение. Пусть n– нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,
Ф = BS= B(1 + αH)S, где S= πd2/4 – площадь контура.
продолжение
--PAGE_BREAK--