Представлення і перетворення фігур

ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК
Представлення точок здійснюється наступним чином:
На площині />
У просторі />
Перетворення точок.
Розглянемо результати матричногомноження />, щовизначає точку Р, і матриці перетворення 2х2 загального виду:
/>                     (3.1)
Дослідимо декілька частковихвипадків.
1)а=d=1 і c=b=0.Змінне відбувається
/>.                            (3.2)
2)d=1, b=c=0. Змінамасштабу по осі x
/>.                           (3.3)
3)b=c=0. Зміна масштабупо осях x і y
/>.                         (3.4)
4)b=c=0, d=1,a=-1.Відображеннякоординат відносно осі y
/>.                       (3.5)
5)b=c=0, a=d
/>.                            (3.6)
6)а=d=1,c=0.Зсув
/>.                      (3.7)
Дляпочатку координат маємо інваріантно
/>.
/>
Рис.3.1. Перетворення точок.
ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРЯМИХ ЛІНІЙ
Пряма задана 2 векторами.
Вектори положення точок А і Врівні /> і />.

/>
Рис.3.2. Перетворення прямих ліній.
Матрицяперетворення
/>.
Одержимо:
/>,                                (3.8)
/>.                             (3.9)
Альтернативнепредставлення лінії AB
/>.
Післяцього множення матриці L на Т дасть

/>.                                    (3.10)
Операція зсуву збільшила довжинулінії і змінила її положення.
ОБЕРТАННЯ
Розглянемо плоский трикутник ABC.
Здійснимо поворот на 90° протигодинникової стрілки.
/>
Рис.3.3. Обертання і відображення.
Одержимо
/>.                             (3.11)
В результаті отримаємо трикутник A*B*C*. Поворот на 180° задається матрицею
/>,
поворот на 270° навколо початку координат — за допомогою матриці:
/>.
ВІДОБРАЖЕННЯ
Відображення визначається поворотом на 180° навколо осі, щолежить у площині ху.
1) Обертання навколо прямої y=x задається матрицею:
/>.
Нові вирази визначаютьсяспіввідношенням:
/>.                                   (3.12)
2) Обертання навколо осі y=0 задається матрицею:
/>.

Нові вершини визначаютьсяспіввідношенням:
/>.                              (3.13)
ЗМІНА МАСШТАБУ
Зміна масштабу визначається значенням 2-х елементів головноїдіагоналі матриці.
Якщовикористовуємо матрицю /> маємозбільшення в 2 рази.
Якщо значення елементів не рівні,то має місце спотворення.
Трикутник ABCперетворений за допомогою матриці />.Трикутник DEF перетворений за допомогою матриці />.Маємо спотворення.
/>
Рис.3.4. Рівномірна і нерівномірназміна масштабів.

ДВОВИМІРНИЙ ЗСУВ І ОДНОРІДНІКООРДИНАТИ
Введемотретій компонент у вектори точок /> і />-/> і />.
Матриця перетворення матимевигляд:
перетворення фігураплощина точка
/>.
Таким чином,
/>.           (3.14)
Константи m, nвикликають зсув x* і y*відносно x і y.
Матриця 3х2 не квадратна — вона немає оберненої матриці.
Доповнимо матрицю перетворення доквадратної
/>.                                                        (3.15)
Третій компонент не змінюється.