Специальность
«Математические методы в экономике»
КУРСОВАЯ РАБОТА
Практическоеприменение интерполирования гладких функций
2010
Содержание
Введение
1. Постановка задачи интерполяции
1.1Определение термина интерполяции
1.2Как выбрать интерполянт
1.3Полиноминальная интерполяция
1.4Интерполяционный полином Лагранжа
1.5 Про погрешность полинома
2. Один вид обобщеннойинтерполяции
2.1Обобщенная интерполяция
2.2Важное представление гладкой функции
Заключение
Список использованной литературы
/>/>Введение/>/> В вычислительнойматематике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение позаданной функции другой (как правило, более простой), значения которойсовпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причеминтерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практикечасто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличнымзначениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычислениямногих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональнымифункциями. Теория интерполирования используется при построении и исследованииквадратурных формул для численного интегрирования, для получения методоврешения дифференциальных и интегральных уравнений.
В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробнорассмотрим для начала само понятие интерполяции, далее интерполированиенепосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.
Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическоеприменение интерполирования функций.
/>/>1. Постановка задачи интерполяции
/>/>интерполяция погрешность полином1.1 Определение термина интерполяции
Пусть для функции f(x),определенной на какой — либо части R, известны еёзначения на некотором конечном множестве точек x1,x2, …, xn Î [a,b], и в этих точках функция f(x) определена как:
/> , />
Требуется вычислить, хотя бы приближенно, значения при всех x.
Такая задача может возникнуть при проведении различных экспериментов,когда значения искомой функции определяются в дискретные моменты времени, либов теории приближения, когда сложная функция сравнительно просто вычисляется принекоторых значениях аргумента, для функций заданных таблицей или графически ит.п.
Обычно функцию g(xi),xi Î [a,b], />, с помощьюкоторой осуществляется приближение, находят так, чтобы:
(1) /> (/>)
Такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием.Точки x1, x2,…, xn называют узлами интерполяции, еслиточка x, в которой вычисляется f(x), лежит вне отрезка [a,b], то употребляют термин экстраполяции. Функцию g(xi), />, называют интерполянтом.
При этом следует ответить на следующий вопрос.
/>/>1.2 Как выбрать интерполянт
Такие функции строятся на основе комбинаций из элементарных функций.
(2) />, />
/>– фиксированная линейно-независимая система, а /> (/>) — пока неизвестныепараметры.
Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем.Пусть R — пространство действительных функций,определенных на отрезке [a,b],и /> - заданная конечная илисчетная система функций из R, такая, что ихлюбая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечнойсовокупности точек x1, x2,…, xn (xi ≠ xj при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из Rнайти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций /> так, чтобы в заданныхточках значения f и φ совпадали. Другими словами,определить константы a1, a2,…, an так, чтобы
(3) /> (/>)
Совершенно ясно, почему число коэффициентов /> должносовпадать с числом узлов интерполяции xi.Это нужно для того, чтобы матрица системы была квадратной (т.е. числонеизвестных совпадало бы с числом условий, из которых находятся этинеизвестные). Кроме того, для однозначной разрешимости данной системы (припроизвольной правой части) необходимо и достаточно, чтобы ее определитель былотличен от нуля, т.е.:
/> />:
/>
Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетнойфункции, поэтому за часто берут такие системы как:
{1, х, х2, …, хn}, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)} ,
{1, e xb1,e xb2, …, e xbn}(bi ÎR, bi≠bj (i≠j), nÎN)./>/>1.3 Полиноминальная интерполяцияЕсли /> являютсястепенями {1, х, х2, …, хn}, то говорят об алгебраическойинтерполяции, а функцию />называютинтерполяционным полиномом и обозначим как:
/> (4)
Если
/> (/>) (5),
то можно построить интерполяционный полином степени nи притом только один.
Найдем интерполяционный полином из вида (4). В это время, на основе (5),для нахождения неопределённых коэффициентов используем систему линейныхуравнений:
a0x0+ a1x0+ a2x02 + …+ anx0n=f0 ,
a0x0+ a1x1+ a2x12 + …+ anx1n=f1, (6)
………………………………………………………….
a0x0+ a1xn+ a2xn2 + …+ anxnn=fn ,
В этом случае определитель системы линейных алгебраических уравненийвыглядит так:
/>.
Этот определитель является определителем Вандермонда и отличен от нуля вслучае, когда все узлы xi различны.Поскольку матрица системы невырождена, то решение системы существует иединственно.
Единственность интерполяционного полинома можно доказать следующимспособом. Предположим, что есть два интерполяционных полинома
Ln и Pn ÎHn[1]: Ln≠ Pn.
Из (5): Ln(xi)- Pn(xi) º0 и Ln(xi) º Pn(xi)(/>).
так, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полиномединственный, то у соответствующей системы линейных алгебраических уравнений естьтолько одно решение./>/> 1.4 Интерполяционный полином Лагранжа
Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена,степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x1,x2, …, xn Î [a,b], т.е. чтобы выполнялосьравенство
(6) f(xj)=Ln(xj) (/>).
Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n,которые в точках при i≠jравны нулю, а в точке при i=jравны единице. Очевидно, что:
(7) fjÎHn,fj(x)=Aj(x-x0)(x-x1)…(x-xj-1)(x-xj+1)…(x-xn)= />,
где постоянная А находится из условия fj(xj)=1, тогда
/>
Таким образом, получаем, что
fj(x)/>
Получаем, что поставленную задачу решает многочлен
(8) />
Многочлен (8) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
/>/>/>Задача 1.
Пусть задана интерполяционная таблица:i 1 2 3
/> 2 3 5
/> 1 3 2 5
Построить интерполяционный полином Лагранжа.
Решение. Из (8) следует:
/>
/>/>/>
Задача 2.
Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой,проходящей через точки Р0(х0, у0) и Р1(х1,у1), если х0=-1, у0=-3, х1=2, у1=4.
Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид
/>.
Уравнение искомой прямой есть />.
/>/>1.5 Про погрешность полинома
По строению /> (/>). Но, в общем, это не таки /> (/>,/>), так как интерполированиепредполагает приближенное нахождение:
/> (/>)
И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранеесказав, /> разность этого выражениянужно найти.
Замечание 1.
/> (/>)
чем постоянно записывать равенство, слагаемое /> называютостаточным членом (или погрешность интерполяции).
Теорема 1.
Если /> [a,b] [2]
(9) /> (/>,/>), где />
/> [a,b] в промежутке беспрерывно n+1 разобъясняет совокупность дифференцируемых функций.
/> [a,b] ó/>[a,b];
/>
Берем любую точку и зафиксируем ее (/>,/>), рассмотримвспомогательную функцию:
(10) />, (/>).
/> - свободный параметр,который открыто объясняет /> (/>).
Значение /> берем проходящимчерез равенство />. В это времяконцы />, будучи точкамипромежутка, можно использовать теорему Ролля.
Существует />: /> (/>)
Сейчас для этой теоремы берем точки />:
Существует />: /> (/>)
Когда закончим этот процесс, то получим следующее:
$/>:/>
Итак, при t = x из (10)вытекает (9). Что и требовалось доказать.
Следствие 1:
Пусть />.
В то время /> (/>); над ними: />.
Задача3:
/>
С помощью узлов/> построитьполином />для этой функции, при:
1) />. Оценить погрешностьполинома;
2) в [a,b] найтимаксимальную погрешность полинома.
Решение: />
/>
/>
/>
1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим:
/> 2) Использовав второеравенство из Следствия 1 получаем:
/>.
Замечание 2:
/> />
Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называютсяполиномами Чебышева. В отдельных случаях: />
В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если вкачестве узлов интерполяции взять корни полинома />,то /> (/>)
/>
В этом случае из Следствия 1 следует, что
/>. Если свободнаяинтерполяция находится в отрезке [a,b],то с помощью замены /> этот отрезокможно заменить на [-1;1]. В это время точки
(11) /> (/>, />)
будут однородными с корнями />, аостаточный член записывается следующим образом:
/>.
Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешностьинтерполяции на отрезке [a,b],чтобы узлы (11) были оптимальными.
/>/>2. Один вид обобщеннойинтерполяции
2.1 />/>Обобщенная интерполяция
Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества />. Для простоты и краткостивозьмем [a,b]=[-1;1], />.
Пусть точки /> и /> будут разными между собой.Поставим такую задачу:
(12) />
построить многочлен />,удовлетворяющий данным условиям. Здесь /> «собственный»оператор класса />:
/>
Теорема 2.
Если взять в произвольной форме fÎC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует«обобщенный» интерполяционный полином и он единственен.
Доказательство:
Найдем интерполяционный полином в стандартном виде:
(13) />
Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты /> (/>), приходим к следующейалгебраической системе:
(14) />
Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямойсуммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1.
/>
Здесь
/>/>
Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем
/>
Что и требовалось доказать.
Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный видмногочлена Лагранжа. Из (13) видно, что
/>
Поэтому имеет место следующее:
(14) />
Возьмем параметры из (13):
(15) />
Таким образом, из (13), (14), (15) следует, что
(16) />
Замечание 3:
Если m=0, C{0;0}/>C[-1;1],/>/> (/>). Значит, рассмотревфункцию /> в задаче (11) приводится кобычной интерполяционной задаче, а многочлен Лагранжа (16) превращается вобычный интерполяционный многочлен. Таким образом, задача (11), действительно,в значении одного определения становится обобщенной задачей интерполирования.
Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции.
В этом случае /> нужно датьоценку побольше. Выше приведены размышления и следствия, полученные в целях определенияодной системы функций.
/>.
Теорема 3.
Если
/>
Здесь />
Доказательство:
Приняв во внимание (16) получаем
(17) />
Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются из (17) итеоремы 1.
Следствие 2.
Пусть />
В это время: />
/>
/>/>2.2 Важноепредставление гладкой функции
Теорема 4.
Верна следующая связь:
(18) />
Вдобавок
(19) />
Доказательство: />
Пусть />. По (19) получим /> в последовательной формеиспользуем метод интегрирования по частям, и изменяем его:
/>
Отсюда выходит следующее неравенство:
(20) />
/>называют формулой Тейлора состаточным членом в интегральной форме.
/>Возьмем некоторую функцию /> />, чтобы равенство (18) былоправильным />. При рассмотрении второгослагаемого полинома, достаточно показать что />Î С(m).
При изучении производной /> полезноиспользовать дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Эта формулав математическом анализе очень известна и определяет следующее:
(21) />
здесь /> вдобавок />
Таким образом, находим в нашем случае необходимый вид:
/>
Значит />.
Замечание 6.
Рассмотрев, оператор /> изпоследнего размышления вытекает полезное рассуждение:
(22) />
/>/>Заключение
Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играетинтерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функциив некотором числе точек.
В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами,непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятиепогрешности интерполяции.
У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по еетабличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примерыпо построению интерполяционного полинома Лагранжа, по оцениванию погрешностиинтерполяционного полинома.
В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробнопроиллюстрировано само понятие интерполяции, далее интерполированиенепосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.
/>/>Список использованной литературы
1. Н.С.Габбасов. Некоторые применения производной. Наб.Челны, 1998г.
2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление.М.: «Наука», 1984г.
3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», 1990г.
4. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М.: «Наука», 1989г.
5. И.А.Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука»,1970г.
6. А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: «Наука», 1987.