КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по высшей математике
Содержание:
1. Пределы последовательностей и функций. 2
2. Производная и дифференциал. 3
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления(построение графиков) 4
4. Неопределенный интеграл. 7
5. Определенный интеграл. 9
6. Функции нескольких переменных, дифференцированныхисчислений. 11
Литература. 121. Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью /> называется числоваяфункция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовуюпоследовательность означает задать закон, по которому можно определить значениелюбого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этогодостаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности ввиде функции его номера: />.
В основе всех положений математического анализа лежитпонятие предела числовой последовательности. Число А называется пределомчисловой последовательности />, еслидля любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер />,зависящий от выбранного e, начиная скоторого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше,чем на e, т. е.
/> при />.
Если последовательность /> имеетпредел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этотфакт записывают следующим образом:
/>.
Пусть функция /> определена в некоторойокрестности точки />. Выберем внекоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность /> сходящуюся к точке />: />. Значения функции ввыбранных точках образуют последовательность />, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределомфункции /> в точке />, если для любой сходящейсяк /> последовательностизначений аргумента, отличных от />,соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А,т. е.
/>.
Возможно иное определение пределафункции в точке: число А называется пределом функции при />, если для всякогоположительного числа e можно указатьдругое положительное число d (зависящееот выбора e) такое, что абсолютнаявеличина разности /> будет меньше e, когда абсолютная величина разности /> будет меньше />, но больше нуля
/>, если /> при />.
Таким образом, первое определениепредела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и егоназывают определением на «языке последовательностей». Второе определениеносит название «на языке />».
Кроме понятия предела функции вточке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента кбесконечности: число А называется пределом функции /> при />, если для любого числа /> существует такое число d, что при всех /> справедливонеравенство />: />.
Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать,что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке />, приводят к функциям,также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найтипредел функции />
Решение: Имеем неопределенность вида />. Для ее раскрытия разложимчислитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель />, который при /> не равен нулю. Врезультате неопределенность будет раскрыта.
/>2. Производная и дифференциал
Пусть функция /> определенав некоторой окрестности точки />.
Производной функции /> вточке /> называется предел отношения />, когда /> (если этот пределсуществует). Производная функции /> в точке/> обозначается
/>.
Например, выражение /> следуетпонимать как производную функции /> в точке/>.
Определение производной можно записать в виде формулы
/>. (4.1)
Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят,что функция /> не имеет производной вточке />. Если предел (4.1) равен />, то говорят, что функция /> имеет в точке /> бесконечную производную.
В различных задачах (в том числе и экономических)производная функции /> интерпретируетсякак скорость изменения величины y относительно x.Геометрический смысл производной состоит в том, что /> – это тангенс угла наклонакасательной к графику /> в точке />.
Нахождение производной функции называется дифференцированиемэтой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, тофункция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычислениепроизводных одних функций к вычислению производных других (более простых)функций.
Если функции /> дифференцируемыв точке />, то сумма, разность,произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке />, и справедливы следующиеформулы
/>.
Если функция /> имеетобратную функцию /> и в точке /> производная />, то обратная функция /> дифференцируема в точке /> и /> или />.
Если функция /> дифференцируемав точке /> и />, то сложная функция /> также дифференцируема в /> и верна следующая формула
/> или />.
Пример.
Найтипроизводную функции />
Решение:
/>3 Геометрические изложения и дифференцированныеисчисления (построение графиков)
Функция />,определенная во всех точках промежутка />,называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если длялюбых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из нихсоответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,
если/> то при
/> – возрастающая, /> – убывающая.
Изданного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргументаи функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: />. Для убывающей функции этиприращения имеют разные знаки, в силу чего />.Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших инаименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимумаи минимума (точками экстремума).
Точка /> называетсяточкой максимума (минимума) непрерывной функции />, а значение /> называется максимумом(минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки /> такая, что значениефункции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение всамой точке />, т. е. меньше (больше),чем максимум (минимум) /> (рис. 1).
/>/>у max у
min
f(х0) f(х0)
О х0–d х х0+d х О х0–d х х0+d хточка максимума точка минимума
Рис.1
Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведениефункции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характерлокальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признакиэкстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, накоторые опираются все дальнейшие исследования функций.
Рекомендуется исследование функций проводить в определеннойпоследовательности.
1.Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальныеасимптоты графика.
2.Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции);точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения /> и />.
3.Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.
4.Использовать первую производную для определения области возрастания и убыванияи экстремумов функции.
5.Использовать вторую производную для определения участков выпуклости ивогнутости графика и точек перегиба.
6.Построить график функции с учетом проведенного исследования./>
Пример.Провести полное исследование функции
/>
Решение:
Проведемполное исследование функции, используя следующую схему:найти область определения функции; исследовать на четность и нечетность функцию; найти точки разрыва функции; найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции; найти точки пересечения графика функции с координатными осями; исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум; определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба; при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках; построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
Областьюопределения функции является множество />.
Таккак /> и />, то функция не является ничетной, ни нечетной.
Функцияпретерпевает разрыв в точке />.
Найдемасимптоты графиков функции:
а).Прямая /> является вертикальнойасимптотой, т.к.
/>, />
б).Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являютсячастным случаем наклонных асимптот) />,
где />;
/>
Такимобразом, прямая /> являетсяединственной наклонной асимптотой и на />,и на />.
Найдемточки пересечения графика функции с осями координат.
а) Сосью />: />, />, т.е. точка пересечения сосью /> - />.
б) Сосью />: />, />, т.е. точка пересечения сосью /> - />.
6.Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдемпроизводную функции.
/>
Из /> получаем />, откуда />, />.
+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Таккак на интервалах /> и /> производная положительна,т.е. />, то график функции науказанных интервалах возрастает. Так как на интервале /> производная отрицательна,т.е. />, то на указанном интервалеграфик функции убывает.
Таккак при переходе через точки />, /> производная функции меняетзнаки и эти точки входят в область определения функции, то />, /> - точки локальногоэкстремума. Причем /> точкалокального минимума: /> (так как припереходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); /> - точка локальногомаксимума: /> (так как при переходечерез нее производная меняет знак с "-" на "+").
7.Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба.Для этого найдем вторую производную функции.
/>
Очевидно,что в интервале /> втораяпроизводная меньше нуля, т.е. />, и вэтом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале /> вторая производная большенуля, т.е. />, и в этом интервале графикфункции является выпуклым вниз (вогнутым).
Несмотряна то, что при переходе через точку /> втораяпроизводная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как /> не входит в областьопределения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точекперегиба у графика функции нет.
Из /> получаем />, откуда />, />.
+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Таккак на интервалах /> и /> производная положительна,т.е. />, то график функции науказанных интервалах возрастает. Так как на интервале /> производная отрицательна,т.е. />, то на указанном интервалеграфик функции убывает.
Таккак при переходе через точки />, /> производная функции меняетзнаки и эти точки входят в область определения функции, то />, /> - точки локальногоэкстремума. Причем /> точкалокального минимума: /> (так как припереходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); /> - точка локальногомаксимума: /> (так как при переходечерез нее производная меняет знак с "-" на "+").4. Неопределенный интеграл
Часто возникает задача, обратная той, которая решалась вдифференциальном исчислении, а именно: дана функция />,найти функцию />, такую, что />.
Функция /> называетсяпервообразной для данной функции /> нанекотором промежутке Х, если для любого /> выполняетсяравенство
/>.
Например, пусть />, тогдаза первообразную можно взять />,поскольку />.
В основе интегрального исчисления лежит теорема об общемвиде первообразной: если /> –первообразная для функции /> напромежутке Х, то все первообразные для функции /> имеют вид />, гдеС –произвольная постоянная.
Выражение вида /> описываетвсе первообразные для функции />.Действительно, для любой постоянной С
/>.
Пусть наряду с данной первообразной /> функция /> – также первообразная для />. Тогда должны выполнятьсяравенства
/>,
откуда/>. Следовательно, разностьэтих первообразных будет тождественно равна константе /> или />.
Действие нахождения первообразной называется интегрированиемфункции.
Доказанная теорема позволяет ввести основное понятиеинтегрального исчисления: если /> –первообразная для />, то совокупностьфункций />, где С –произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции/>, который обозначаетсяследующим образом
/>.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собойсемейство плоских кривых />,называемых интегральными.
Для того, чтобы проверить, правильно ли выполненоинтегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральнаяфункция />. Как всякая обратнаяоперация, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.
Приведем основные свойства неопределенногоинтеграла:
1.производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
/>;
2.неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интеграловот слагаемых функций
/>;
3.постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла
/>.
Значения интегралов от основных элементарных функцийполучаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицуосновных интегралов:
1) />;
7) />;
2) />;
8) />;
3) />;
9) />;
4) />;
10) />
5) />;
11) />;
6) />;
12) />.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными.
Пример.Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверитьдифференцированием
/>
Решение:Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методомзамены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем обаметода.
1.Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле />. Тогда /> или />. Тогда
/>
Послезамены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла:постоянный множитель /> можно выноситьза знак неопределенного интеграла, и так как />,то пришли к табличному интегралу />, где /> и />.
2.Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что /> и то, что подынтегральноевыражение можно представить в виде
/>,
внесемпод знак дифференциала />. Для этоговыпишем дифференциал этой функции />. Тогда
/>
Послевнесения под знак дифференциала функции /> пришлик табличному интегралу />, где /> и />.
3. Результат интегрирования проверимдифференцированием. Для этого найдем производную
/>
Таким образом, производная отнеопределенного интеграла равна подынтегральной функции, следовательно,интеграл от данной функции найден, верно.5. Определенный интеграл
Определение определенного интеграла. Пусть функция /> задана на отрезке [а,b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками
/>.
Точки, разделяющие отрезок [а, b]на частичные отрезки /> длиной />, называются точкамиразбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку />. Образуем суммупроизведений
/>,
называемуюинтегральной суммой для функции /> наотрезке [а, b]. Геометрический смысл величиныs показан на рис. 2… Это суммаплощадей прямоугольников с основаниями /> ивысотами />.
При этом числа a и b называются соответственно нижним иверхнимпределами, выражение /> – подынтегральнымвыражением, /> – подынтегральнойфункцией.
Определенный интеграл численно равен площади криволинейнойтрапеции, ограниченной вертикальными прямыми /> при/>, осью Ох и графикомнеотрицательной и непрерывной функции />.В этом состоит его геометрический смысл.
Если предположить, что /> –производительность труда в момент t, то /> будет численно равенобъему произведенной продукции за промежуток />,т. е. определенному интегралу можно придать экономический смысл.
у
/> /> В
Мi
/>
mi
А
О х0=а хi /> хi+1 b= хn х
/>
Рис. 2
Предел интегральной суммы /> при стремлении /> к нулю, не зависящий от способа выбора точек /> и точек />, называется определенным интегралом от функции /> на [а, b] и обозначается
/>
Определенный интеграл обладает рядом свойств,аналогичных свойствам неопределенного интеграла:
1)постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;
2)интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов отэтих функций (свойство линейности).
Крометого, определенному интегралу присущи свойства, не имеющие аналогов в теориинеопределенных интегралов:
3)интеграл от постоянной величины равен этой постоянной, умноженной на длинуотрезка интегрирования
/>;
4) при перемене местами пределов интегрированияинтеграл изменяет лишь знак
/>;
5)интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю
/>;
6)для любых чисел а, b иc имеет место равенство
/>.
Пример.Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой
/>
Решение:
Воспользуемся методом замены переменной. Введем новуюпеременную t по формуле />. Тогда /> или />. Осуществим пересчетпределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний пределинтегрирования старой переменной /> ввыражение /> и найдем нижний пределинтегрирования новой переменной />.Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной />, найдем верхний пределинтегрирования новой переменной />. Тогда
/> 6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
До сих пор рассматривались функции /> одной переменной х.В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многихфакторов вводится понятие функции нескольких переменных.
Пусть каждому набору значений nпеременных величин /> из множества M, называемых независимымипеременными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят,что задана функция нескольких переменных />.
/>
z />
y
O
x
M
Рис. 3
Функция одной переменной /> изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M функции /> представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3).
Приведем примеры функций нескольких переменных.
1.Функция вида />, где /> – постоянные числа,называется линейной или гиперплоскостью />-мерномпространстве.
2.Функция вида /> />, где /> – постоянные числа,называется квадратичной формой от переменных />.
При рассмотрении функций в n-мерномпространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное пониманиегеометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.
Далее для наглядности будем рассматривать функции двухпеременных (/>), хотя практически все понятияи теоремы, сформулированные для />,переносятся на случай />. Основныепонятия математического анализа, введенные для функции одной переменной,переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределомфункции /> в точке />, если для любого числа /> можно найти число /> такое, что для всех точек /> из d-окрестности точки М выполняется неравенство />. Для обозначения пределафункции в точке используется символика
/>.
Окрестностью точки /> называетсякруг, содержащий точку М.
В случае функции двух переменных аргумент может стремитьсяк предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говоритьо пределах функции в точке вдоль определенных линий.
Функция /> называетсянепрерывной в точке />, еслипредел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке,т. е. />. Геометрический смыслнепрерывности функции при /> очевиден:график функции /> представляетсобой в точке непрерывности /> сплошнуюповерхность в некоторой окрестности этой точки.
Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2,x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].
Решение.
Необходимоеусловие экстремума /> = 2х = 0, /> = 2у = 0, откудакоординаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).
Вторыепроизводные А = />= 2; В = />= 0; С = />= 2. Так как AC — B2 = 4 > 0, то в точке (0,0) — локальный минимум.
Значениефункции в точке минимума z (0, 0) = 0./>Литература:Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Джангар, 2000. — 864 с. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.