МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.Ф. СКОРИНЫ
Математический факультет
Кафедра математического анализа
Применение производной при нахождении предела
Курсовая работа
Исполнитель Бурцева Е.А.
студентка группы М-43
Научный руководитель АстаповичГ.Е.
ГОМЕЛЬ 2009
Содержание
Введение
1. Бесконечно малые и их сравнения; символы «o малое» и «о большое»
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
2.1 Теорема Ферма о нуле производной
2.2 Теорема Ролля о нуле производной
2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях
2.4 Теорема Коши о конечных приращениях
3. Раскрытие неопределенностей. правило лопиталя
3.1 Раскрытие неопределенностейвида 0/0
3.2 Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥
3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главныхчастей и определения порядков бесконечно больших
3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0¥, 1¥, 00,¥0,¥ — ¥
4. Формула тейлора. вычисление пределов с помощью формулытейлора
4.1 Многочлен Тейлора. ФормулаТейлора с остаточным членом Rn.
4.2 Остаток в форме Пеано
4.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора
4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формулеТейлора
4.5 Примеры использования стандартныхразложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисленияпределов
4.6 Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Заключение
Список использованных источников
Введение
Данная курсовая работа раскрывает применение производной привычислении пределов. Вычисление пределов важная часть математического анализа,поскольку практически весь курс математического анализа опирается на понятиепредела.
Действительно, производная, интеграл, непрерывность функции- все эти понятия используют предел.
Курсовая работа состоит из четырех разделов.
В первом разделе раскрывается понятие скорости ростафункции, вводятся символы «О большое» и «о малое», и важноепонятие, для вычисления пределов, эквивалентные функции.
Во втором разделе приведены основные теоремыдифференциального исчисления, служащие необходимой основой для правила Лопиталяи формулы Тейлора.
В третьем разделе приведено правило Лопиталя и методыраскрытия всех типов неопределенностей. Примеры для этого и последующегораздела были взяты из [Марон].
В четвертом разделе приведен вывод формулы Тейлора ипоказано применение формулы Тейлора для нахождения эквивалентных функций ивычисления пределов.
/>1. Бесконечно малые иих сравнения; символы "o малое" и «обольшое»
Определение. Бесконечно малой в x0называется функция f (x) такая, что />
Свойства бесконечно малых функций:
1) Критерий существования конечного предела функции
/>Û$б. м. функция a (x) при x®x0:f (x) =A+a(x)
2) a (x),b(x) б. м. Þa (x) +b(x) б. м.
3) Произведение бесконечно малой функции наограниченную является бесконечно малой функцией.
4) Произведение бесконечно малых функций является бесконечномалой функцией.
Определение. f (x) определенная в проколотой окрестности x0называется бесконечно большой в т. x0, если />.
5) Если a(x) б. м. при x®x0и a (x) ¹0, то1/a (x) является бесконечно большой и наоборот. Символически этозаписывают в виде 1/¥=0,1/0=¥.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно большихфункций. Символы O, o
f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0
Пишут
/>,
Если
/>.
Аналогично определяется O приx®x0+0, x®x0 — 0,x®±¥,x®¥.
Пример: f (x) =O (1),x®¥ означаетлокальную ограниченность функции в ¥.
Опр. Если при x®x0,f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциямиодного порядка.
Пример: Функции x3,x2являются функциями одного порядкаприx®1.
Определение o. Пусть f (x), g (x) определенны внекоторой проколотой окрестности точки x0,пишут f (x) =o (g (x)),x®x0, если
$ />$ б. м. a (x) при x®x0, такая, что"xÎ/>: f(x) =a (x) g(x)
Аналогично определяется o приx®x0+0, x®x0 — 0,x®±¥,x®¥.
Пример: f (x) =o (1), при x®x0означает, что f(x) бесконечно малая при x®x0.
Некоторые примеры работы с символами o(подразумевается x®0).
o (xn)± o (xn) = o (xn)
xmo (xn) = o (xn+m)
c o (xn) = o (xn) (c-константа)
o (xn)± o (xn+p) = o (xn), здесь pнатуральное.
o (xn+p) /xp= o (xn) Вчастности,o (xp)/xp= o(1).
o (an xn±an+1xn+1±…±an+p xn+p) = o (xn)
Если a,b б. м. и b=o (a), то говорят, что b бесконечно малая более высокогопорядка, чем a.
Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x0(говорят так же, в окрестности x0),если выполнено хотя бы одно из двух условий
f (x) =g (x) +o (g (x)), x®x0
g (x) =f (x) +o (f (x)), x®x0.
Условие эквивалентности записывается в виде f~g, при x®x0.
Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, тобудет выполнено и второе.
Замечание 2. Эти условия можно записать в другойформе. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеетместо равенство
f (x)=h (x) g (x), />=1.
Замечание 3. Если, например, g(x) ¹0,то первое условие можно записать в виде
/>.
Определение. Если f (x) ~(x-x0)n при x®x0,то f (x) называется бесконечно малой порядка n при x®x0.
Если f (x) ~ /> при x®x0, то f (x) называется бесконечно большой порядкаn при x®x0.
Если f (x) бесконечно большая при x®¥ и f (x) эквивалентна xn при x®¥, то f (x) называется бесконечно большойпорядка n при x®¥.
Замечание. Если f (x) бесконечно малая порядка n,то 1/f (x) будетбесконечно большой порядка n и наоборот.
Примеры. Определить характер функций
/>,/> в 0, 1,+¥.
При вычислении пределов полезна следующая теорема
Теорема 2. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1при x®x0.
Если существует предел />,тогда существует и />.
Если существует предел />,тогда существует и />.
Определение. Если />,то g называется главной частью f при x® x0.
/>2. Основные теоремыдифференциального исчисления2.1 Теорема Ферма о нуле производной
Теорема. Если f (x) — определена на (a,b) идифференцируема в точке x0Î(a,b), принимает в точке x0наибольшее или наименьшее значение, то f¢ (x0) =0.
Доказательство. Для случая наименьшего значения
f¢ (x0+0)=/>³ 0, f¢(x0-0) = />£ 0 Þ f¢ (x0)=0
Геометрическая интерпретация
/>2.2 Теорема Ролля о нуле производной
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b)и f (a) =f (b). Тогда
$ x0Î (a,b): f¢ (x0) =0.
/>
Доказательство. Положим
/>, />.
Хотя бы одна из точек x1, x2внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.
2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b),то
$xÎ(a,b): f (b) — f (a) =f¢ (x) (b-a).
Доказательство. Рассмотрим функцию
/>.
Для этой функции F (a) =F (b) =0, и к ней примениматеорема Роля
/>.
Геометрическая интерпретация
/>
Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде,соединяющей точки A иB графика.
Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b],дифференцируема на (a,b) и f¢(x) º0 на (a,b), то f (x) ºconst.
Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x],где x0произвольная фиксированная точка, получим
f (x) — f (x0) =f¢(x) (x — x0)=0, т.е. f (x) = f (x0).
Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируемана (a,b) и f¢ (x) =g¢ (x) на (a,b), то f (x) =g(x) + const.
2.4 Теорема Коши о конечных приращениях
Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемына (a,b), то существует
xÎ(a,b): g¢(x) (f (b) — f (a)) =f¢(x) (g (b) — g (a)).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = g (x) (f (b) — f (a)) — f (x) (g (b) — g (a)).
Для этой функции
F (a) = g (a) (f (b) — f (a)) — f (a) (g(b) — g (a)) = g (a) f (b) — f (a) g (b),
F (b) = g (b) (f (b) — f (a)) — f (b) (g(b) — g (a)) = — f (a) g (b) +g (a) f (b),
таким образом, F (a) =F (b) и к ней примениматеорема Ролля: существует точка xÎ (a,b) для которой выполняетсяравенство
0=F (b) — F (a) =F¢(x) (b-a) = [g¢(x) (f (b) — f (a)) — f¢(x) (g (b) — g (a))] (b-a).
Следствие. Если g¢(x) ¹0 на (a,b), то
/>.
Доказательство. Если g¢ (x) ¹0, то g (b) — g (a) ¹0. Иначе, в случае g (b) =g (a), по теоремеРолля нашлась бы точка x, где g¢ (x)=0.
/>3. Раскрытиенеопределенностей. правило лопиталя3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0
Дано: f (x), g (x) определены на (x0,b) и
1) />
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g¢(x) ¹0 на (x0,b).
Тогда
/>,
если существует конечный или бесконечный предел
/>.
Доказательство. Доопределим f, g в точке x0по непрерывности нулем f (x0) =g (x0) =0. Потереме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существоватьx (x) Î (x0,x): x0x (x) и />, из условия x0x (x) следует, что />, причем x (x) ¹x0,если x¹x0.По теореме о существовании предела суперпозиции
/>=/> ч. т.д.
Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левойокрестности. Откуда получаем утверждение для x® x0.
Следствие 1. Если
1) Существуют f(k),g(k),k=1,2,…,n на (x0,b)
2) />,k=0,1,…,n-1
3) Существуeт g(n) (x) ¹0 на (x0,b), то
/>,
если
/>
существует, конечный или бесконечный.
Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,
/>, то
/>,
если последний существует, конечный или бесконечный.
Доказательство. Сделаем замену
/>
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® — ¥.
3.2 Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥
f,g определены на (x0,b) и
1) />
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g¢(x) ¹0 на (x0,b)
Тогда
/>,
если последний существует конечный или бесконечный.
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® x0 — 0, x® x0, x® +¥,x® — ¥.3.3 Использование правила Лопиталя для выделенияглавных частей и определения порядков бесконечно больших
В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечнобольшой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим,что f (x) — бесконечно малая при x® x0 и в точке x0 обращаются вноль все производные до (n-1) — го порядка включительно f (x0)=0, f¢ (x0) =0,…,f(n-1) (x0) =0 и f(n) (x0)¹0. В этом случаепорядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная частьбудет равна
/>.
Это утверждение следует из равенства
/>,
в котором в качестве функции g (x) берется (x-x0)n.
/>.
Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечнобольших функции.
Пример: f (x) = 3sh x — 3sin x — x3при x® 0
f¢(x) =/>=0,f¢¢(x) =/>=0,f¢¢¢(x)=/>=0,f(4) (x) =/>=0,f(5) (x) =/>=0,f(6) (x) =/>=0,f(7) (x) =/>=6¹0.
Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 иf (x) ~/>x7, x®0.
3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0¥, 1¥,00,¥0,¥ — ¥
Неопределенности вида ¥ сводятся к уже рассмотренным.
Примеры.
1) />
2) />
3) />
4) ¥ — ¥
/>
Можно, например, так
/>
5) Неопределенности вида 1¥,00,¥0 сводятся к ужерассмотренным логарифмированием
y=uv=ev ln u
Пример 1.
/>.
Вычисление.
/>.
Этот предел рассматриваем, как
/>,
где
/>, а />.
Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функцийследует, что />. Далее
/>,
заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малуюполучим
/>
/>=/>.
Таким образом,
/>.
Пример 2.
/>.
Представим функцию в следующем виде.
/>
и вычислим предел
/>/>
Пример 3. Вычислить предел:
/>
Пример
4. />
Пример 5.
/>/>
При х®¥
/>
при />ex возрастает быстрее любойстепенной функции хк, k>0
ln (x) возрастает медленнее любой степенной функции хк
/>4. Формула тейлора.вычисление пределов с помощью формулы тейлора
4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточнымчленом Rn.
Пусть f (n-1) — раз дифференцируема в окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n) (x0). Многочленом Тейлора в точке x0называется многочлен вида
/>.
Свойства многочлена Тейлора
/> (1)
Из (1) следует
/>=/> (2)
Из (1) следует
Pn (x0) =f (x0), /> (3)
В частности,
/>,k=0,1,…,n.
Обозначим Rn (x) =f (x) — Pn (x),тогда
/> (4)
(4) — формула Тейлора функции f в окрестности точки x0с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять впредставлении остатка в удобной для оценок формах.
4.2 Остаток в форме Пеано
Теорема 1. Если функция f (x) (n-1) — раздифференцируема в окрестности U= (x0-a,x0+a) точки x0и существует f(n) (x0), то имеет место равенство
/>.
Другими словами
/>/> (5)
Доказательство. Для краткости будем обозначать R (x)=Rn (x)
/> (10)
/> (11)
/> (1m)
…
/> (1n-1)
f(n-1) (x) дифференцируема в точке x0,поэтому
/>
Откуда
/>
По правилу Лопиталя
/>
Теорема 2. (Единственность представления функции поформуле Тейлора) Если f имеет n-ю производную в точке x0и
/>,
то />
Лемма. Если
/>, (2)
то bk=0, k=0,1,…,n
Доказательство. в (2) перейдем к пределу приx® x0, получим
b0= 0,/>,
делим полученное выражение на (x-x0) ипереходим к пределу при x® x0и т.д.
Доказательство теоремы.
/>
откуда и следует утверждение.
4.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора
Пусть функция f (x) (n+1) -раз дифференцируема вокрестности Ua (x0) = (x0-a,x0+a)и y (x) дифференцируема в />, y¢¹0 в />,y (x) непрерывна в />.
Возьмем xÎ(x0-a,x0+a), x¹x0и фиксируем. Для определенности будем считать x0 ирассмотрим на [x0,x] функцию
/>.
Отметим следующие свойства этой функции
j (x) =0
j (x0)=Rn (x)
j (z) непрерывнана [x0,x], дифференцируема на (x0,x).
/>
Не очевидным является только четвертое свойство
/>=/>=/>=/>.
К функциям jи y применим теорему Коши оконечных приращениях на отрезке [x0,x]
/>. Откуда /> и, далее,
/> (1)
Следствие 1. Если функция f (n+1) — раздифференцируема на (x0-a, x0+a), то
/>,
где xÎ (x0,x) (или (x,x0)),p>0.Остаток Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы следует в качестве функцииy (z) взять
y (z) = (x-z) p.
Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа)Если f (n+1) -раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то
/>/>.
Получено из общей формулы при p=n+1.
Замечание. Формулу с остатком Лагранжа можнопредставить в виде.
/>.
Следствие 3. Если f (n+1) -раз дифференцируема на(x0-a, x0+a), то справедлива формула Тейлора с остатком вформе Коши
/>
Получено из общей формулы при p=1.
4.4 Разложение некоторых элементарных функций поформуле Тейлора
ex, x0=0
/>,xÎ(0,x),
если x>0 или xÎ (x,0) в случае x
Например, при|x|£/>
sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
/>
/>
sin x =/>=/>, x®0,
выберем m=2n+2, тогда
sin x=/>, x®0,
откуда, с учетом равенства f(2n+2) (0) =0,получаем разложение для синуса
sin x=/>, x®0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
sin x =/>, xÎ(0,x) (или xÎ (x,0)).
Действительно,
sin x =
/>=/>=/>=/>.
Откуда следует, что
/>
cos x, x0=0
Вспомогательная формула:
/>
/>
/>=/>, x®0,
выберем m=2n+1, тогда
cos x=/>, x®0,
откуда, с учетом равенства f(2n+1) (0) =0,получаем разложение для косинуса
cos x=/>, x®0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x =/>, xÎ(0,x) (или xÎ (x,0)).
Действительно,
cos x =
/>=/>=/>=/>.
Откуда следует, что
/>
ln (1+x), x0=0
/>
/>, x®0
(1+x) a,x0=0,
интерес представляет случай, когдаa не является натуральным числом.
f¢=a (1+x) a-1,…,f(k) =a (a — 1) … (a — k+1) (1+x) a — k
/>, x®0
Важный частный случай
/>=/>=/>.
4.5 Примеры использования стандартных разложенийдля представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
Из формул Тейлора следуют известные «равносильности при/>»; например,
/>
/>
/> />
Пример 1.
/>
Пример 2.
/>.
Пример 3. Разложить функцию f (x) =/> по формуле Тейлора состатком Пиано по степеням x до x5включительно.
/>. Для решениязадачи возьмем разложения функции
e2x = 1+2x+/>+/>+/>+/>+o (x5),
/>
/>= (1+2x+/>+/>+/>+/>+o (x5)) (/>) =
1+2x+/>x2+/>x3+/>x4+/>x5+o (x5)=
1+2x+x2/>x3/>x4/>x5+o (x5).
Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формулеТейлора с остатком Пиано по степеням x до x5включительно.Представим функцию в виде
/>=1+u+u2+u3+o(u3), где u =/>.
Тогда
/>=1+u+u2+u3+o(u3) =1+/>+/>+/>+/>.
При вычислении степеней
/>
нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5,более высокие степени войдут в o (x5). Таким образом,
/>=/>,/>=/>, />=/>.
Выражение
/>=/>
показывает, что в разложении
/>=1+u+u2+u3+o(u3)
можно, с самого начала, ограничится второй степенью
/>=1+u+u2+o(x5).
Подставляя нужные выражения в это равенство получим
/>=1+/>+/>+/>=1+/>+/>+/>.
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера,разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано постепеням x до x6включительно.
tg x=/>=
/>=
x+x2 (0) +x3/>+x4 (0) +x5/>+x6 (0) =
=/>
Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) a — (1 — x) aпо формуле Тейлора с остаткомПиано.
/>
/>
k = 2l+1,/>
Таким образом,
/>
Следствие. />
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найтипредел (1401)
/>.
Имеем:
/>=|x|/>= /> sign x +o (/>).
Пример 8. Разложить функцию
f (x) =/>
по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x4включительно.
Сначала выпишем разложение функции /> по степеням xдо x3включительно.
Положим u=x — x2, тогда
/>=/>=1+u+u2+u3+o (u3) =1+ x — x2+ (x — x2)2+ (x — x2) 3+o(x3) =1+x — x3 +o (x3).
Далее,
/>=/>=1+2x (1+x — x3 +o(x3)) =1+2x+2x2-2x4+o (x4).
Второй способ. Так как
/>,
то на первом шаге выделяем единицу:
/>=/>.
Второе слагаемое представляем в виде Cxng2(x) так, чтобы />, после чегоследует представить функцию g2 (x) в виде g2 (x)= 1+g3 (x) и т.д. В нашем случае:
/>=/>=/>=/>=
/>=/>=1+2x+/>=
1+2x+2x2/>=1+2x+2x2-2x4+o(x4).
4.6 Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Теорема 1. Если функция f (x) четна и существует f(2n+1)(0), то имеет место следующее разложение этой функции
/>.
Если функция f (x) нечетна и существует f(2n+2) (0),то имеет место следующее разложение этой функции
/>.
Теорема 2. Если функция f (x) четна и существует f(2n+2)(x) в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство
/>,
где xÎ (0,x) или xÎ(x,0).
Если функция f (x) нечетна и существует f(2n+3) (x)в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство
/>,
где xÎ (0,x) или xÎ(x,0).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функциивсе производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, ониравны нулю с точке ноль
f(2k+1) (0) = 0, если f (x) четна.
Отсюда и получаются указанные формулы, если использоватьмногочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции всепроизводные четного порядка будут нечетными функциями и
f(2k) (0) = 0, если f (x) нечетна.
В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора допорядка 2n+2 включительно.
Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены методы вычисленияпределов использующие понятие производной, а именно: правило Лопиталя и формулаТейлора.
Для каждого метода рассмотрены примеры вычисления пределов. Также было рассмотрено такое важное понятие, как скорость роста функции, играющеебольшую роль при вычислении пределов.
Список использованных источников
1. Дадаян А.А., Математический анализ: учебное пособие / Дадаян А.А., ДударенкоВ.А., — Минск, Вышэйшая школа, 1990. — 428с.
2. Марон И.А., Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах изадачах (функции одной переменной) / Марон И.А., — М., Наука, 1970. — 400с.