Содержание
Двойные интегралы
Определениеопределенного интеграла
Правиловычисления двойного интеграла.
Вычислениеобъемов тел с помощью двойного интеграла
Вычислениеплощадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла.
Тройные интегралы
Вычислениеобъемов тел с помощью тройного интеграла.
Несобственные интегралы.
Дифференциальные уравнения.
1.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
2. Однородныедифференциальные уравнения первого порядка
3. Линейныедифференциальные уравнения
4. Уравнения Бернулли
Дифференциальные уравнения второгопорядка.
Три случаяпонижения порядка.
Линейныеоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами.
Линейныенеоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами.
Комплексныечисла
Геометрическоеизображение комплексных чисел
Действия надкомплексными числами.
Произведение.
Частное.
Возведение встепень.
Извлечениекорня
Ряды.
Числовыеряды.
Свойствачисловых рядов.
Знакоположительныеряды
Признакисходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакопеременныеи знакочередующиеся ряды.
ДВОЙНЫЕИНТЕГРАЛЫ
Определение определенного интеграла
/> — интегральнаясумма.
/>
Геометрический смысл ОИ:равен площади криволинейной трапеции.
/>
Аналогично ОИ выводится и двойной интеграл.
Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y),которая определена в замкнутой области S плоскости ХОУ.
Интегральной суммой для этой функции называетсясумма
/>
/>
Она распространяется на те значения iи к, для которых точки (xi,yk)принадлежат области S.
Двойной интеграл от функцииz=f(x,y), определенной в замкнутой области S плоскости ХОУ, называется пределсоответствующей интегральной суммы.
/>
Правило вычисления двойного интеграла
Двойной интеграл вычисляется через повторные илидвукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования.
/>
1. (Рис.1) Областьинтегрирования S ограничена прямыми х=а, х=в и кривыми
/>.
Для такой области двойной интеграл вычисляется черезповторный по формуле:
/>
Сначала вычисляется внутренний интеграл:
При вычислении внутреннего интеграла ‘у’ считаетсяпеременной, а ‘х’-постоянной.
2. (Рис.2) Областьинтегрирования S ограничена прямыми у=С, у=dикривыми
/>.
Для такой области двойной интеграл вычисляется черезповторный по формуле:
/>
Сначала вычисляется внутренний интеграл, затемвнешний.
При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считаетсяпеременной, а ‘у’-постоянной.
3. Если областьинтегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее начасти таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двухвидов.
Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
/>
Объем тела, ограниченного сверху поверхностьюz=f(x,y), снизу- плоскостью z=0(плоскость ХОУ) и с боков- цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскостиХОУ область S, вычисляется по формуле:
/>
Вычисление площадей поверхностейфигур с помощью двойного интеграла
Если гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y),то площадь поверхности (Sпов.),имеющей своей проекцией на плоскость ХОУ область S, находится по формуле:
/>-площадь поверхности.
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определяется аналогично двойному интегралу.
Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z),распространенным на область V,называется предел соответствующей трехкратной суммы.
/>
Вычисление тройного интеграла сводится кпоследовательному вычислению обыкновенных (однократных) нтегралов.
Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла
Объем тела вычисляется по формуле:
/>
НЕСОБСТВЕННЫЕИНТЕГРАЛЫ
Это интегралы: — с бесконечными пределами; — отнеограниченной функции.
Первый вид
Несобственные интегралы с бесконечными пределамиимеют вид:
/>;/>; />
Несобственные интегралы от функции в пределах от (а)до (/>) определяются равенством.
1./>; 2. />; 3. />
Если этот предел существует иконечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел несуществует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся(ряд сходится или расходится?). Это и есть ответ.
Второй вид
Несобственные интегралы от неограниченной функцииимеют вид: />, где существует точка “с”(точка разрыва) такая, что />;/>, т.е. />(в частности c=a;c=b).
Если функция f(x)имеет бесконечный разрыв в точке “с” отрезка [a;b]и непрерывна при />или/>, то полагаем: />
Если пределы в правой части последнего равенствасуществуют и конечны, то несобственный интеграл сходится, если пределыне существуют или равны бесконечности — то расходятся.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.Дифференциальноеуравнение — уравнение, связывающее независимую переменную х, искомуюфункцию f(x)и ее производные .
Символически дифференциальноеуравнение выглядит:
F(x,y,y’,y’’…,y(n))=0 или />.
2. Порядкомдифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящейв уравнение:
Пример.
F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первогопорядка.
F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второгопорядка.
3. Решениемдифференциального уравнения называется всякая функция />, которая при подстановке вуравнение, обращает его в верное тождество.
Для того чтобы решить дифференциальное уравнениенадо его проинтегрировать.
Пример.
Дифференциальное уравнение первого порядка.
Общее и частное решения.
F(x,y,y’)=0
Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y).
Интегрируем уравнение.
После вычисления возникает постоянная С. Поэтомурешение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C).Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решенийдифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C))называются общим решением дифференциального уравнения.
Придавая С различные значения получаем различныерешения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множествозначений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг отдруга путем сдвига на несколько единиц).
Геометрически общее решение представляет собойсемейство кривых на координатной плоскости ХОУ.
Частное решение.
Пусть в дифференциальном уравнении заданыдополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Этодополнительное условие называется начальным условием и записывается: а).у=у0 при х=х0; б). />; в).у(х0)=у0.
Геометрически начальное условие означает некоторуюточку (х0, у0) на плоскости ХОУ.
Подставляя /> вначальное условие />, находим вполнеопределенные значения постоянной С. Тогда /> являетсячастным решением уравнения.
Геометрически частное решение обозначает: начальноеусловие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общеерешение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.
Теорема существования иединственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).
Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y)функция f(x,y)и ее частная производная /> определеныи непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни былавнутренняя точка (х0, у0) этой области, данное уравнение имеет единственноерешение />, удовлетворяющееначальному условию у=у0 при х=х0.
Геометрически смысл заключается в следующем: каждойточке (х0, у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая,проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частноерешение).
Замечание.“Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.
Существует 4 вида дифференциальных уравнений первогопорядка.
1. Дифференциальные уравнения первогопорядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения первого порядка в общемвиде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0,либо через дифференциалы
/>.
Дифференциальное уравнение- уравнение сразделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
— />-через производную.
— />-через дифференциал.
В этих уравнениях в произведениях стоят функции,каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будетуравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так,чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – толькодругая.
Замечание. При решении дифференциальное уравнениеответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записанапроизвольная постоянная С.
Решение.
- />
/>;/>-интегрируеми получаем решение. />
— />
/>;/>
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция f(x,y)называется однородной функцией n–гоизмерения, если при любом /> выполняетсяусловие: />.
Дифференциальное уравнение y’=f(x,y)есть однородное, если функция f(x,y)является однородной функцией нулевого измерения.
Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0однородное, если P(x,y)и Q(x,y)являются однородными функциями одного и того же измерения.
P(x,y)dx=-Q(x,y)dy; />
Однородное уравнение всегда можно привести к виду /> и с помощью замены /> однородное уравнениевсегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (/>; y=xt;y’=t+xt’).
Линейные дифференциальные уравнения
ЛДУ — уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)–первого порядка относительно у и у’.
Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV,тогда y’=U’V+UV’
U’V+UV’+P(x)UV=Q(x)
V(U’+P(x)U)+UV’=Q(x)
Далее U’+P(x)U=0,получаем два уровнения с разделяющимися переменными:
1). U’+P(x)U=0находим U. /> 2).UV’=Q(x)находим V. />.Сставится только при вычислении второго уравнения.
Замечание.Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можновзять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.
Уравнения Бернулли
УБ — дифференциальныеуравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*yn,где
/> — т.к. при этихзначениях уравнение будет линейным.
УБ решаются так же, как и линейные.
Дифференциальные уравнения второгопорядка
Дифференциальные уравнения второго порядка в общемвиде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0
Как и в случае дифференциальных уравнений первогопорядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общееи частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядкарешение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравненийвторого порядка решение зависит от двух постоянных: />-общее решение.
Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0),то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.
Начальные условия так же могут задаваться в виде:
у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.
Три случая понижения порядка
1. Случай непосредственного интегрирования
F(x,y”)=0
y’’=f(x)-решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.
/>; />; />; />
2. Когда дифференциальное уравнение явно не содержиту, т.е. F(x,y’,y”)=0
С помощью замены у’=р; /> это уравнениеприводим к уравнению первого порядка />.
3. Когда дифференциальное уравнение явно не содержитх, т.е. F(y,y’,y”)=0.
С помощью замены y’=p,/> этоуравнение приводим к уравнению первого порядка />.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второгопорядка с постоянными коэффициентами
Линейными однородными дифурами второго порядка спостоянными коэффициентами называются уравнения вида:
y’’+py’+qy=0,
где pи q – некоторые числа.
Составим характеристическое уравнение:
/>,
которое получается из данного уравнения путем заменыв нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем самафункция заменяется единицей.
Если к1 и к2 – корни характериситического уравнения,то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов:
1). />, еслик1 и к2 – действительные и различные, т.е. /> D>0.
2). />, еслик1 и к2 – действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0.
3). />, еслик1 и к2 – комплексные, т.е. />;D
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второгопорядка с постоянными коэффициентами
Имеют вид:
/>,
где pи q– некоторые числа.
Общее решение имеет вид:/>, где
y0 — общее решение соответствующего однородногоуравнения; /> — частное решениесоответствующего однородного уравнения.
Т.е. для нахождения общего решения неоднородногоуравнения ‘у’, сначала находят общее решение соответствующего однородногоуравнения у0, а затем частное решение />,и складывают их.
Частное решение неоднородного уравнения находится методомнеопределенных коэффициентов.
Для нахождения частныхрешений /> рассмотрим несколькослучаев.
1.Пусть правая часть f(x)имеет вид:
/>,где Pn(x)– многочлен n–ой степени.
Тогда возможны следующие 3 случая:
А).Если ‘а’ не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0,то частное решение /> имеет вид: />, где Qn(x)– многочлен той же степени, что и Pn(x),только с неопределенными коэффициентами.
Например.
Pn(x)=8- многочлен 0-ой степени (n=0).Qn(x)=A;
Pn(x)=2x-3- многочлен 1-ой степени (n=1).Qn(x)=Ax+B;
Pn(x)=x2 — многочлен 2-ой степени (n=2).Qn(x)=Ax2+Bx+C;
Pn(x)=3x3-3x- многочлен 3-ей степени (n=3).Qn(x)=Ax3+Bx2+Cx+D.
Замечание.Многочлен Qn(x)всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А, В, С, Д ит.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решениикаждого конкретного уравнения.
Б).Если а является однократным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0,то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частноерешение /> имеет вид: />.
В).Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0,то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частноерешение /> имеет вид: />.
Итог.
Если />, то />, где r–кратность корня ‘а’ в характеристическом уравнении, т.е. r=0,если ‘а’ не есть корень; r=1,если ‘а’ совпадает с одним из корней; r=2,если ‘а’ совпадает с двумя корнями.
2.Если правая часть f(x)имеет вид:, />где Pn(x)–многочленn–ой степени; Qm(x)-многочленm–ой степени.
Тогда возможны следующие два случая:
А).Если /> не является корнемхарактеристического уравнения k2+pk+q=0(/>), то частное решение /> имеет вид: />, где SN(x),TN(x)–многочленыстепени N с неопределеннымикоэффициентами, где N=maxиз n и m(N=max{n,m}),т.е. степень N многочленов SN(x)и TN(x)равна наибольшей из степеней многочленов Pn(x)и Qm(x).
Б).Если /> является корнемхарактеристического уравнения k2+pk+q=0(/>), то частное решение /> имеет вид: />
Замечание.
— Если в правой части f(x)неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. Pn(x)=0или Qm(x)=0,то частное решение /> все равнозаписывается в полоном виде.
— Если правая часть f(x)неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)=f1(x)+f2(x)+…fn(x)),то />.
— Так же рассматриваем все комбинации при расчете />: cosx,sinx, xcosx,xsinx,x2cosx,x2sinx.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексным числом (z)называется выражение z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимаяединица.
i определяется: i2=-1, отсюда />.
х- действительная часть (x=Rez);
у- мнимая часть (y=Imz).
Геометрическоеизображение комплексных чисел
Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая(x+iy),тригонометрическая (r(cos/>+isin/>)),показательная (rei/>).
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить наплоскости ХОУ в виде точки А(х, у).
Плоскость, на которой изображаются комплексныечисла, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставимсимвол z).
Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежатдействительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.
x+iy — алгебраическая форма записи комплексного числа.
Выведем тригонометрическую форму записи комплексногочисла.
/>;/>
Подставляем полученные значения в начальную форму:
/>,т.е.
r(cos/>+isin/>) — тригонометрическая форма записи комплексного числа.
/>
Показательная форма записи комплексного числаследует из формулы Эйлера:
/>,тогда />
z=rei/> -показательная форма записи комплексного числа.
Действиянад комплексными числами
1. сложение. z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2. вычитание. z1-z2=(x1+iy1)-(x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. умножение. z1z2=(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4. деление. z1/z2=(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[(x2+iy2)*(x2-iy2)]=/>
Два комплексных числа, которые отличаются толькознаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.
Произведение
— Если комплексные числа заданы в тригонометрическойформе.
z1=r(cos/>+isin/>); z2=r(cos/>+isin/>).
То произведение z1*z2комплексных чисел находится: />,т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведенияравен сумме аргументов сомножителей.
— Если комплексные числа заданы в показательнойформе.
/>;/>; />
Частное
— Если комплексные числа заданы в тригонометрическойформе.
/>
— Если комплексные числа заданы в показательнойформе.
/>
Возведениев степень
1. Комплексное числозадано в алгебраической форме.
z=x+iy,то zn находим по формулебинома Ньютона:
/>
zn=(x+iy)n.
/>-число сочетаний из n элементов по m(число способов, сколькими можно взять nэлементов из m).
/>;n!=1*2*…*n;0!=1; />.
Применяем для комплексного числа.
/>
В полученном выражении нужно заменить степени iих значениями:
i0=1Отсюда, в общем случае получаем: i4k=1
i1=i i4k+1=i
i2=-1 i4k+2=-1
i3=-i i4k+3=-i
i4=1
i5=i
i6=-1
Пример.
i31=i28i3=-i
i1063=i1062i=i
2. Если комплексное числозадано в тригонометрической форме.
z=r(cos/>+isin/>), то
/>-формула Муавра.
Здесь nможетбыть как “+” так и “-” (целым).
3. Если комплексное числозадано в показательной форме:
/>
Извлечениекорня
Рассмотрим уравнение: />.
Его решением будет корень n–ой степени изкомплексного числа z: />.
Корень n–ой степени из комплексного числа z имеетровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имееттолько одно решение. В комплексных – n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрическойформе:
z=r(cos/>+isin/>), то корень n-ой степени от zнаходится по формуле:
/>,где к=0,1…n-1.
РЯДЫ
Числовые ряды
Пусть переменная а принимает последовательнозначения а1, а2, а3,…, аn. Такоеперенумерованное множество чисел называется последовательностью. Онабесконечна.
Числовым рядом называется выражение а1+а2+а3+…+аn+…=/> . Числа а1, а2, а3,…, аn– члены ряда.
Например.
а1 – первый член ряда.
аn – n-ый или общий член ряда.
Ряд считается заданным, если известен n-ый (общийчлен ряда).
/>
Числовой ряд имеет бесконечное число членов.
/>
Числители – арифметическая прогрессия(1,3,5,7…).
n-ый член находится по формуле
аn=а1+d(n-1);d=аn-аn-1.
Знаменатель – геометрическая прогрессия.
bn=b1qn-1;/>.
Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ееSn.
Sn=а1+а2+…+аn.
Sn – n-ая частичная сумма ряда.
Рассмотрим предел: />
S — сумма ряда.
Ряда сходящийся, если этотпредел конечен (конечный предел S существует).
Ряд расходящийся, если этотпредел бесконечен.
В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.
Одним из простейших, но частовстречающихся рядов является геометрическая прогрессия.
/>,C=const.
Геометрическая прогрессия является сходящимсярядом, если />, ирасходящимся, если />.
Также встречается гармонический ряд (ряд />). Этот ряд расходящийся.
Свойства числовых рядов
1. Если сходится а1+а2+а3+…+аn+…=/>, то сходится и ряд аm+1+аm+2+аm+3+…,полученный из данного ряда отбрасыванием первых mчленов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: изсходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимостьи расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное числоего членов.
2. Если ряд а1+а2+а3+…сходится и его сумма равна S, то ряд Са1+Са2+…, где С=так же сходится и его сумма равна СS.
3. Если ряды а1+а2+…и b1+b2+…сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а1+b1)+(а2+b2)+(а3+b3)+…и (а1-b1)+(а2-b2)+(а3-b3)+…также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.
4. а). Если ряд сходится,то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратноеутверждение неверно).
/> — необходимыйпризнак (условие) сходимости ряда.
б). Если /> то рядрасходящийся – достаточноеусловие расходимости ряда.
/>-ряды такоговида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.
Знакоположительные ряды
Признаки сходимости ирасходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительные ряды это ряды, все члены которыхположительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматриватьдля знакоположительных рядов.
1. Первый признаксравнения.
Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=/>(1) и b1+b2+b3+…+bn+…=/>(2).
Если члены ряда (1) не больше соответствующихчленов ряда (2), т.е. аn/>bnи ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.
Если члены ряда (1) не меньше соответствующихчленов ряда (2), т.е. аn/>bnи ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенствовыполняется не для всех n,а лишь начиная с некоторого.
2. Второй признаксравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел />, то оба ряда сходятся илирасходятся одновременно.
/>-ряды такоговида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать сгармоническим рядом.
3. Признак Даламбера
Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=/>) существует />(1), то ряд сходится, если q1. Если q=1то вопрос остается открытым.
/>
4. Признак Коширадикальный
Если для знакоположительного ряда существует предел />(2), то ряд сходится, если q1. Если q=1то вопрос остается открытым.
/>
5. Признак Кошиинтегральный
Вспомним несобственные интегралы.
Если существует предел />.Это есть несобственный интеграл и обозначается />.
Если этот предел конечен, то говорят, чтонесобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=/> — знакоположительный ряд.
Обозначим an=f(x)и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонноубывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данныйряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и рядрасходится.
Если ряд конечен, то он сходится.
Очень часто встречаются ряды /> - ряд Дерихле. Онсходится, если p>1,расходится p
Знакопеременныеи знакочередующиеся ряды
Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которогоимеются как + так и – члены.
Частным случаем знакопеременного ряда являетсязнакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, инаоборот, т.е. знаки чередуются.
Пусть задан знакопеременный ряд а1+а2+а3+…+аn+…=/> (1) (члены как + так и -).
Возьмем ряд />(3),составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) являетсязнакоположительным рядом.
Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится иназывается абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).
Если ряд (3) расходится, а:
— ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условносходящимся;
— ряд (1) расходится, то ряд (1) называетсярасходящимся.
При исследовании знакоположительных рядов можемполучить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.
При исследовании знакопеременных рядов могутполучиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, рядрасходится.
Схема
Если (3) – сходится /> (1)- сходится абсолютно.
Если (3) – расходится />
При исследовании на сходимость знакопеременного ряда(1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)-знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости длязнакоположительных рядов.
Из расходимости ряда (3) не следует расходимостьряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коширадикальный, то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).
Если ряд – знакочередующийся, то для него дается ещеодин признак сходимости:
Признак Лейбница
Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn/>0)выполняются условия:
1. b1/>b2/>b3/>b4…;
2. />, — то данный рядсходится условно.