Задание.Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.
а)
/>
Используемыйприем интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверимрезультат дифференцированием.
/>
б)
Вэтом интеграле также используется подведение под знак дифференциала
/>
/>
Проверимрезультат дифференцированием.
/>
в)
/>
Длярешения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования «почастям». Приведем формулу интегрирования по частям:
/>
Вэтом интеграле распишем составляющие следующим образом:
/>
/>
Продифференцируемu и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования почастям:
/>
/>
/>
/>
Подинтегральноевыражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к суммеправильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель назнаменатель.
/>
/>
Вернемсяк исходному интегралу:
/>
Проверимрезультат дифференцированием:
/>
/>
г)
интеграл дифференцирование уравнение парабола
/>
Подинтегральноевыражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразоватьее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель назнаменатель:
/>
/>
/>
Подинтегральноевыражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрироватьеё необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корнизнаменателя
/>
потеореме Виета
/>
/>
/>
Разложимправильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенныхкоэффициентов:
/>
Приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейныхалгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В:
/>/>
/>
РешаяСЛАУ находим значения коэффициентов:
/>
/>
/>
/>
Возвратимсяк исходному интегралу:
/>
Результатпроверим дифференцированием:
/>
Задание.Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.
/>
Перейдемк замене переменных в определенном интеграле:
/>
/>
/>
Задание.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой /> и прямой />. Сделать чертеж.
Решение.Площадь области S, ограниченной снизу функцией g(x), сверху- функцией f(x),слева — вертикальной прямой />, справа — вертикальной прямойравна /> равнаопределенному интегралу:
/>
Таккак мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке />, построимчертеж. Точки />, /> являются абсциссами точекпересечения графиков этих двух функций.
/>
Каквидно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому:
/>
/>
Абсциссыточек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можемполучить решив в системе уравнения двух кривых
/>
/>
/>
/>
/>
потеореме Виета имеем: />, />. Теперь осталось только применитьформулу вычисления площади криволинейной области:
/>
-6
-1 />/>
Найтиобщее решение дифференциального уравнения /> и частное решение,удовлетворяющее начальному условию /> при />
/>
Решение:имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в видепроизведения двух функций от х: />
Запишемисходное выражение в виде:
/>
/>
/>
/>
/>
Выберемфункцию /> такойчтобы выражение в скобках равнялось нулю:
/>
Разделяяпеременные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:
/>
/>
/>
/>
/>
Таккак выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставимнайденное значение /> в уравнение /> для определения u.
/>
/>
/>
/>
/>
Такимобразом находим общее решение системы
/>
Подберемпеременную С так чтобы выполнились начальные условия />, что будет являться частнымрешением дифференциального уравнения:
/>
/>
Полученноечастное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленнымначальным условиям.
/>
Задание.Найти общее решение дифференциального уравнения /> и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям />, /> при />. (/>,/>)
Решение:Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:
/>
Структураобщего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:
Теорема:Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудьчастного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующегооднородного уравнения:
/>
Чтобынайти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, вкотором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристическогоуравнения и по ним определить вид решения.
Характеристическоеуравнение в нашем случае есть:
/>
имеетдействительные и различные корни: />, />.
Общийинтеграл есть: />
Праваячасть линейного уравнения второго порядка имеет вид: /> , где /> - многочлен0-й степени, =2 (не является корнемхарактеристического многочлена).
поэтомучастное решение следует искать в виде:
/>
где/> -постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданноеуравнение, будем иметь:
/>
/>
/>
/>
Имеемрешение. Итак, частное решение нашли в виде:
/>
Такимобразом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:
/>
Дляопределения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:
Прих=0 функция равна 2
/>
/>
Прих=0 первая производная функции равна -1:
/>
/>
Составимсистему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2
/>/> /> />
/>
Такимобразом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:
/>
/>
/>