Задание 1
Вычислите /> и /> последовательности />.
Решение.
Рассмотримпоследовательность />.
/> для любого натурального />
Следовательно, множество /> является ограниченнымсверху. Это означает, что последовательность /> имеет верхнюю точнуюгрань: />.
/>
Следовательно, множество /> не является ограниченнымснизу. Это означает, что нижняя грань /> последовательности/> не существует.
Ответ. /> /> не существует
Задание 2
Пользуясь определениемпредела последовательности, докажите, что />.
Доказательство.
Число /> называется пределомпоследовательности />, если для любогоположительного числа /> существует номер/> такой, что при /> выполняется неравенство />.
Используя определениепредела последовательности, докажем, что />.
Возьмем любое число />.
/>
/>
Если взять />, то для всех /> будет выполнятьсянеравенство />. Следовательно, />.
Доказано
Задание 3
Пользуясь определениемпредела функции, докажите, что />.
Доказательство
Число /> называется пределомфункции /> при />, если для любого числа /> существует число /> такое, что для всех />, удовлетворяющихнеравенству />, выполняется неравенство />.
Используя определениепредела функции, докажем, что />.
Возьмем любое />.
/>
/>
/>
Положим />.
Если взять />, то для всех />, удовлетворяющихнеравенству />, выполняется неравенство />. Следовательно, />.
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел />.
Решение.
/>
/>
Ответ. />
Задание 5
Вычислите предел />.
Решение.
/>
/>
Ответ. />
Задание 6
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 7
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 8
Вычислить предел />.
Решение
/>
/>
/>
Ответ. />
Задание 9
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 10
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>
/>
/>
Ответ. />
Задание 11
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>
/>
Ответ. />
Задание 12
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/>
Ответ. />
Задание 13
Вычислить предел />.
Решение.
/>
Ответ. />
Задание 14
Вычислить предел />.
Решение.
/>
/> при /> функция/> является бесконечно малой
/> для любого /> функция /> является ограниченной.
Известно, чтопроизведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечномалая функция. Следовательно, функция /> являетсябесконечно малой при />. Это означает,что />.
/>
/>
Ответ. />