Тема 1. Система линейных уравнений
В общем случае система /> линейных уравнений с /> неизвестнымиимеет вид
/> (1)
Через /> обозначены неизвестные,подлежащие определению, величины />, называемые коэффициентамисистемы, и величины />, называемые свободными членами,считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность /> чисел />, которая приподстановке в систему (1) на место неизвестных />обращает все уравнения системы втождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственноерешение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейныхуравнений называются эквивалентными, если решение одной из них являетсярешением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которуюназывают основной матрицей системы
/>.
Если />, то матрица /> является квадратной и ееопределитель /> называется определителем системы.Если определитель квадратной системы уравнений /> то система имеет единственноерешение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:
/>
Здесь /> — определитель системы, />определительматрицы, получаемой из матрицы /> заменой />го столбца столбцом ее свободныхчленов.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений
/>
Решение. Найдем определитель системы
/> /> /> = />
/>
Далее вычислим определитель />, заменив первый столбец матрицысистемы на столбец свободных членов
/>/>
Аналогично находим определители />:
/>
Отсюда по формулам Крамера находим решение системы
/> /> />
Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса- методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестныхметодом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самимиуравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбецсвободных членов
/>
Полученную матрицу /> называют расширенной матрицейсистемы.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:
Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.
Перестановка строк матрицы.
Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другойстроки, умноженных на общее произвольное число.
Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарныхпреобразований строк основную матрицу системы /> привести к ступенчатому (илитреугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, чтонеизвестная /> содержитсятолько в первом уравнении, неизвестная /> — только в первом и второмуравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются изисходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений являетсяэквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.
Пример 2. Решить систему уравнений
/> (2)
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
/> (3)
Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобыполучить
/> (в этом случае упрощаютсяпоследующие вычисления).
/>~/>(4)
Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первуюстроку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно кэлементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5)и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получимматрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную /> только впервом уравнении
/> ~ />. (5)
Так как в матрице (5) />, то, умножая вторую строку этойматрицы на число (-5) и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицутреугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число(-11):
/>~ />~ /> (6)
Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений,эквивалентная исходной системе (2)
/>
Отсюда из третьего уравнения получаем />. Подставляя найденное значение /> во второеуравнение, определяем неизвестную />:
/> />
Наконец, после подстановки найденных значений /> в первое уравнение,находим неизвестную />: /> Таким образом, решение системыединственное: />
Пример 3. Решить систему уравнений
/> (7)
Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)
/>~ />~
~/>~ />~
~ />~ />.
Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитанияиз элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки,содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходнойсистеме уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными
/>
Неизвестную /> перенесем в правые частиуравнений
/>
Отсюда определяем
/> />
/>
Задавая переменной /> произвольное значение />, найдембесконечное множество решений системы
/>
Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду,когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, тосистема не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид />. Тогда соответствующееуравнение системы привелось к неверному равенству />
Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производствекоторых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование.Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицыкаждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.
Таблица 1
Вид
ресурсов
Норма расхода ресурсов
на производство ед. товара
Объем
ресурсов
на 1 день 1 вид 2 вид 3 вид Рабочая сила 1 1 2 800 Сырье 3 2 4 1700 Оборудование 2 1 3 1100
Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.
Решение. Пусть /> - ежедневный выпусксоответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расходаресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные />
/>
Решим ее методом Гаусса.
/>~ />~ />
Отсюда находим />, т.е. предприятие ежедневновыпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед.товаров 3-го вида.
Задача для контрольной работы
Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трехвидов. При этом используется сырье трех типов/>. Нормы расхода каждого из них наодно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневныйобъем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решаяее методом Гаусса и по формулам Крамера.
Таблица 2
Номер
варианта
Вид
сырья Норма расхода сырья на 1 изделие
Объем
расхода сырья Изделие 1 Изделие 2 Изделие 3
1
/> 3 2 4 2000
/> 1 3 2 1100
/> 2 5 1 1200 2
/> 4 1 3 1800
/> 1 2 5 2500
/> 2 1 2 1200 3
/> 2 3 4 1400
/> 3 1 3 1000
/> 1 2 3 1000 4
/> 1 5 2 1700
/> 2 3 1 1100
/> 3 1 4 1700 5
/> 2 2 4 2200
/> 1 3 1 1300
/> 3 1 2 1600 6
/> 1 3 3 1500
/> 3 1 1 900
/> 2 2 4 1700 7
/> 4 2 1 1200
/> 3 3 2 1600
/> 1 2 1 900 8
/> 1 2 2 1000
/> 3 1 2 1200
/> 4 3 4 2200 9
/> 2 2 3 1000
/> 1 3 1 700
/> 3 1 2 700 10
/> 1 3 4 2700
/> 2 1 3 1900
/> 3 2 1 1600
Тема 2. Векторная алгебра
Упорядоченную совокупность /> вещественных чисел в виде /> называют />мернымвектором. Число /> называют />ой компонентой вектора />. Для вектороввводят следующие линейные операции.
Суммой двух векторов одинаковой размерности /> называют такой вектор />, компонентыкоторого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. />
Пример 1.
/>, />
/>
Произведением вектора /> на число /> называют вектор />, компоненты /> которого равныпроизведению числа /> на соответствующие компонентывектора />,т.е. />
Пример 2.
/> />
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
/>
/>
/>
/>
/>
Существует нулевой вектор /> такой, что /> для любого вектора />
Для любого вектора /> существует противоположный вектор/>такой, что
/> />
Множество векторов, в котором определены операции сложениявекторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным вышесвойствам, называется векторным (линейным) пространством и обозначаетсясимволом />.
Вектор /> называется линейной комбинациейвекторов /> векторногопространства />, если он равен сумме произведенийэтих векторов на произвольные действительные числа
/>.
Векторы /> называются линейно зависимыми,если существуют такие числа />, не все равные нулю, что ихлинейная комбинация является нулевым вектором
/> (1)
В противном случае, т.е. когда равенство (1) справедливо лишь при /> векторы /> называютсялинейно независимыми. Можно показать, что если векторы /> линейно зависимы, то по крайнеймере один их них является линейной комбинацией остальных.
Векторное пространство /> называется />мерным, а число />размерностьюпространства, если в нем существует /> линейно независимых векторов, алюбые из /> векторовуже являются зависимыми. Таким образом, размерность пространства – этомаксимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Совокупность /> линейно независимых векторов />мерногопространства /> называется базисом этогопространства. Пусть векторы /> образуют произвольный базис />мерногопространства />. Тогда любой вектор /> пространства /> можнопредставить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторовбазиса
/>. (2)
Равенство (2) называют разложением вектора /> по базису />, а числа />/>координатами вектора /> относительноэтого базиса.
Пример 3. Показать, что векторы />,/>образуют базис и найти координатывектора />вэтом базисе.
Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то врассматриваемом векторном пространстве существует базис /> и размерностьпространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов />. Поэтому векторы /> образуют в нембазис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство
/>
которое можно записать для соответствующих координат этих векторов
/> (3)
Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.
/>~ />~ />~
~/>~ />~ />~
~/>~ />.
Отсюда получаем единственное нулевое решение />, т.е. векторы /> являютсялинейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдемтеперь разложение вектора /> по базису /> из условия выполнениявекторного равенства
/>,
которое для соответствующих координат запишется
/>
Полученную квадратную систему линейных уравнений относительнонеизвестных /> решимпо формулам Крамера. Вычислим определители3-го порядка:
/> />
/> />
Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора /> в базисе />:
/>
В итоге имеем
/>
Задача для контрольной работы
Показать, что векторы /> образуют базис и найти координатывектора /> вэтом базисе. Численные данные в зависимости от варианта приводятся в таблице 3.
Таблица 3
№
варианта Координаты векторов
/>
/>
/>
/> 1 2 3 2 4 6 3 -3 -2 3 3 7 5 2 -1 -2 1 -3 2 -1 2 -5 -3 -6 14 4 3 2 3 -2 -1 -1 1 4 1 15 5 4 2 6 -10 5 3 2 7 4 3 4 12 -20 5 2 3 1 3 7 2 5 4 2 10 3 3 6 5 4 3 -6 -3 -5 4 2 2 3 2 1 7 2 -1 3 -1 3 2 1 -2 -1 4 -3 3 8 1 2 -1 2 -1 3 3 4 1 10 8 4 9 4 1 -6 -3 2 1 2 3 12 -5 -14 10 2 3 1 1 1 2 3 4 1 1 1 4
Тема 3. Случайные события
Задача 1. На складе имеется 12 единиц товара, полученных отпоставщика №1, 20 единиц — от поставщика №2 и 18 единиц — от поставщика №3. Всяпродукция находится в одинаковых упаковках. Вероятность того, что единицатовара, полученная от поставщика №1 отличного качества, равна 0,9; отпоставщика №2 — 0,6; от поставщика №3 — 0,9. Найти вероятность того, что взятаянаудачу единица товара окажется отличного качества.
Решение. Обозначим через /> событие, состоящее в том, чтовзятая единица товара окажется отличного качества. Возможны следующиепредположения: /> — взятая единица товара полученаот поставщика №1, /> — от поставщика №2, /> — от поставщика №3.
Так как всего на складе 50 единиц товара (12+20+18), товероятность того, что взятая наудачу единица товара получена от поставщика №1 />12/50, отпоставщика №2 — />20/50, от поставщика №3 -/>18/50.
Из постановки задачи известна вероятность того, что единица товараокажется отличного качества при условии, что она получена от поставщика №1: />, от поставщика№2 — /> отпоставщика №3 — />
Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности
/>.
Задача 2. Продукция, выпускаемая на предприятии партиями, попадаетдля проверки ее на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятностьтого, что партия продукции попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ковторому — 0,4. Вероятность того, что годная партия будет признана стандартнойпервым контролером, равна 0,94, а вторым — 0,98. Годная партия при проверкебыла признана стандартной. Найти вероятность того, что эту партию проверялпервый контролер.
Решение. Обозначим через /> событие, состоящее в том, чтогодная партия продукции признана стандартной. Можно сделать два предположения:
партию проверил первый контролер (гипотеза В1);
партию проверил второй контролер (гипотеза В2).
Искомую вероятность того, что партию проверил первый контролер,найдем по формуле Бейеса:
/>
По условию задачи имеем:
-/>(вероятность того, что партияпопадет к первому контролеру);
-/>(вероятность того, что партияпопадет ко второму контролеру);
-/>(вероятность того, что годнаяпартия будет признана первым контролером стандартной);
-/>(вероятность того, что годнаяпартия будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность
/>
Задачи для контрольной работы
Таблица 4
Номер
варианта Содержание задачи 1 Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 – для второго, Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар? 2 Два контролера производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55, ко второму контролеру – 0,45.Первый контролер выявляет имеющийся дефект с вероятностью 0,8, а второй –с вероятностью 0,9. Вычислить вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации. 3 Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступивших от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки 1 сорта. Вероятность того, что товаровед примет первосортную партию первым сортом равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, считая непервосортную партию – первосортной. Это происходит с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт яблок? 4 Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно, что 25% первой партии и 40% второй партии составляют товар 1-го сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет первого сорта? 5 Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 – для второй кассы. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его в во второй кассе. 6 В магазин поступила обувь от двух поставщиков. Количество обуви, поступившей от первого поставщика, в два раза больше, чем от второго. Известно, что в среднем 20% обуви от первого поставщика и 35% обуви от второго поставщика имеют различные дефекты отделки. Из общей массы наугад отбирают одну упаковку с обувью. Оказалось, что она не имеет дефекта отделки. Какова вероятность того, что ее изготовил первый поставщик? 7 Укупорка банок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго – 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки? 8 В магазин поступил одноименный товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия – 200 единиц, из них 50 – первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом предприятии? 9 Два специалиста ОТК проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть проверено любым из них. Вероятность выявления дефекта первым специалистом равна 0,8, а вторым – 0,9. Из массы проверенных изделий наугад выбирается одно. Оно оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил второй контролер? 10 В двух одинаковых коробках находятся карандаши. Известно, что 1/3 карандашей в первой коробке и 1/4 карандашей во второй – характеризуется твердостью ТМ. Наугад выбирается одна коробка и из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказался твердости ТМ. Какова вероятность того. Что он извлечен из первой коробки?
Тема 4. Случайные величины
Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовыйтовар для различных микрорайонов города задается выражением:
/>
Требуется найти:
1. Плотность распределения вероятности.
2. Параметры />и />.
3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическоеотклонение спроса.
4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спроснаходится в пределах от значения /> до />.
5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайонаможет быть превзойден с вероятностью />.
Параметры /> (в млн. руб), /> приводятся в таблице 5.
Таблица 5Значения параметров
/>
/>
/>
/>
/> 1 2 2 3 0,5
Решение.
1. Плотность распределения вероятностей является производнойфункции распределения вероятностей, поэтому:
/>
2.Найдем параметр />. Функция распределения />обладаетследующим свойством:/>=1. Вычислим предел
/>=/>.
Отсюда /> =1.
Далее определим параметр />. Интеграл от плотностивероятности по области реализации случайной величины равен единице. Всоответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется впределах от />до/>. Поэтому,находя несобственный интеграл, имеем
/>
Таким образом, />=/>.
3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотностьраспределения (с учетом того, что />=/>) как несобственный интеграл:
/>.
Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть /> />.
Тогда
/>.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
/>
/>
/>.
Подставив в полученное выражение численные значения параметров,найдем:
/>
По формуле
/>
определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственныйинтеграл
/>
также методом интегрирования по частям. Пусть />. Тогда
/>,
/>.
Последний интеграл уже найден при вычислении />, поэтому можнозаписать:
/>
/>.
Отсюда окончательно получаем:
/>.
После подстановки численных значений параметров, находим
/>
Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный кореньиз дисперсии:
/>
4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервалеможно найти, используя функцию распределения
/>
При />получаем
/>
Подставляя численные значения параметров, имеем:
/>
Величина />, определяемая равенством />, называетсяквантилем порядка />. В задаче требуется найти />. Запишемнеобходимое равенство: /> или />. Логарифмируя последнее равенство/>, найдем
/>.
При />=0,5 получаем:
/>
Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранноммикрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).
Задача для контрольной работы
Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом,описывается выражением:
/>
Требуется найти:
1. Плотность распределения вероятности.
2. Параметры />и />.
3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическоеотклонение годового дохода.
4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщикагодовой доход находится в пределах от значения /> до />.
5. Размер годового дохода, который для случайного выбранногоналогоплательщика может быть превзойден с вероятностью />.
Параметры /> для различных вариантов заданийприводятся в таблице 6.
Таблица 6Параметры Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
/> 200 250 300 350 360 370 380 390 400 410
/> 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0
/> 210 280 350 400 380 390 410 420 425 440
/> 230 300 400 480 400 420 430 450 460 500
/> 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,55 0,65 0,7
Тема 5. Математическая статистика
Задача. При оценке свойств картофеля было обследовано 10 проб иполучены следующие значения содержания крахмала />:
Таблица 7Содержание крахмала, %
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 5,2 5,8 5,7 6,0 5,9 5,3 4,9 5,1 5,3 5,8
Требуется:
1. Определить выборочное среднее />, выборочную дисперсию />, среднееквадратическое отклонение />, исправленные дисперсию /> и среднееквадратическое отклонение />для величины />.
2. Полагая, что изменчивость величины /> описывается законом нормальногораспределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения /> и ожидаемогосреднего квадратического отклонения /> содержания крахмала с заданнойнадежностью />,а также вероятность того, что величина содержания крахмала /> в выбранной наудачупробе окажется в пределе от /> до />.
3. Проверить на уровне значимости />нулевую гипотезу />:/>при конкурирующейгипотезе />:/>.
Задачу решить для следующих значений параметров />, />, />.
Решение.1.Выборочное среднее при объеме выборки n=10 находится поформуле
/>.
Подставляя в формулу значения />из таблицы 7, получим
/>=5,5 (%).
Для вычисления выборочной дисперсии используется формула
/>.
Составим следующую вспомогательную таблицу, куда внесем отклонения/> и ихквадраты />.
Таблица 8Содержание крахмала в пробе, %
/>
/> 5,2 -0,3 0,09 5,8 0,3 0,09 5,7 0,2 0,04 6,0 0,5 0,25 5,9 0,4 0,16 5,3 -0,2 0,04 4,9 -0,6 0,36 5,1 -0,4 0,16 5,3 -0,2 0,04 5,8 0,3 0,09
/> - 1,32
По данным таблицы 8 определим выборочное среднее
/>
Выборочное среднее квадратическое отклонение находится:
/>
Исправленную дисперсию />находят для малых значений n(n:
/>
Исправленное стандартное отклонение /> вычисляют путем извлеченияквадратного корня из
/>: />
Для оценки математического ожидания />нормально распределенного признака/> повыборочной средней /> при неизвестном среднемквадратическом отклонении /> генеральной совокупности служитдоверительный интервал
/>
где />=2,26 находим по таблице ([2], приложение 3) позаданным n=10 и />=0,95.
Вычислим
/> Тогда
/> или />
Оценкой среднего квадратического отклонения /> нормальнораспределенного количественного признака /> по исправленному выборочномусреднему квадратическому отклонению /> служат доверительные интервалы
/>при />
/>при />
где /> находят по таблице ([2], приложение 4) позаданным значениям n=10 и />=0,95. В данном случае /> и используетсяпервая формула:
/> или />
Чтобы найти вероятность того, что величина содержания крахмала /> в выбраннойнаудачу пробе окажется в пределе от /> до /> воспользуемся точечными оценкамипараметров нормального распределения />и /> в формуле:
/>.
Учитывая нечетность функции Лапласа />, имеем ([2], приложение 2)
/>
3. Для того, чтобы при заданном уровне значимости />, проверить нулевуюгипотезу />:/>о равенственеизвестной генеральной средней />гипотетическому значению /> приконкурирующей гипотезе />: />, надо вычислить наблюдаемоезначение статистического критерия
/>
и по таблице критических точек распределения Стьюдента позаданному значению/>и числу степеней свободы k=n-1найти критическую точку />. Если справедливо неравенство />, то основанийотвергнуть нулевую гипотезу не имеется. В противном случае нулевую гипотезуотвергают.
Найдем наблюдаемое значение критерия
/>
В таблице критических точек распределения Стьюдента ([2], приложение 6) позначению />=0,05и числу степеней свободы k = n-1 =9 находим />=2,26. Так как выполняетсянеравенство />,то нулевая гипотеза отвергается и выборочная средняя />=5,5 значимо отличается отгенеральной средней />=5,0. Заметим, что если быпроверялась нулевая гипотеза для />=5,3, то наблюдаемое значениекритерия было бы />=1,65 и нулевую гипотезу не былобы оснований отвергать и /> незначимо отличалась бы от />.
Задача для контрольной работы
При анализе производительности труда />(тыс. руб) на одного работника заотчетный период было обследовано десять магазинов торга.
Требуется:
1. Определить выборочное среднее />, выборочную дисперсию />, среднееквадратическое отклонение />, исправленные дисперсию /> и среднееквадратическое отклонение />.
2. Полагая, что изменчивость величины /> описывается законом нормальногораспределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения /> и ожидаемогосреднего квадратического отклонения /> производительности труда сзаданной надежностью />, а также вероятность того, что величинапроизводительности труда /> в выбранном наудачу магазинеокажется в пределе от /> до />.
3. Проверить на уровне значимости />нулевую гипотезу />:/>при конкурирующейгипотезе />:/>.
Выработка на одного работника />(тыс. руб) и параметры /> для различныхвариантов заданий приводятся в таблице 9.
Таблица 9 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Выработка на одного работника
/> 3,9 4,6 5,6 4,7 4,2 5,1 4,4 4,7 4,5 4,1
/> 4,0 6,2 4,5 3,8 5,9 4,8 4,2 4,8 3,6 3,3
/> 3,8 5,6 3,8 4,8 6,4 5,6 3,7 5,3 4,7 3,2
/> 4,2 4,6 4,9 4,5 5,4 6,7 3,5 4,9 3,8 3,1
/> 4,6 6,3 4,8 5,3 6,2 5,8 4,0 5,7 4,2 2,9
/> 4,5 5,0 5,8 5,2 6,3 4,9 4,6 5,0 5,1 4,2
/> 4,8 4,3 5,1 6,1 5,3 5,0 4,5 6,1 4,6 4,8
/> 4,1 5,2 6,7 5,8 5,5 5,5 4,8 6,0 4,3 3,5
/> 5,0 4,4 6,4 3,8 6,4 6,1 3,8 4,9 4,4 4,4
/> 4,9 6,3 3,9 4,7 5,7 5,8 4,1 5,2 5,0 5,0 Параметр
/> 3,5 4,0 4,5 5,5 4,5 5,5 4,0 5,0 4,0 4,0
/> 4,0 5,5 5,0 6,0 5,5 6,5 4,5 5,5 5,0 5,0
/> 5,2 6,0 6,2 5,8 6,5 6,6 5,2 6,0 5,0 5,0
Правила выполнения и оформления контрольной работы
1. Выбор вариантов осуществляется в соответствии с последнейцифрой учебного шифра студента (например, если последняя цифра «3», товыполняется вариант номер 3, если — «0», то — вариант номер 10).
2. Контрольная работа пишется чернилами любого цвета (кромекрасного) в тонкой тетради, для замечаний рецензента оставляются поля. На обложкететради указывают фамилию, имя, отчество студента, номер студенческой группы,учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), название кафедры, наименованиедисциплины и номер контрольной работы, а также домашний адрес.
3. Решение задач следует располагать в порядке следованияномеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Условия задач выписыватьобязательно. Если несколько задач имеют общую формулировку, то при переписыванииобщие условия заменяют конкретными данными.
4. Решения задач требуется оформлять аккуратно, подробнообъясняя все действия и используемые формулы. В конце работы приводится списокиспользованной литературы, указывается дата выполнения работы и ставитсяподпись исполнителя.
Литература
Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа,1977.
Гмурман В.Е.Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.М.: Высшая школа, 1975.
Высшаяматематика для экономистов. Под ред. Н. Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, 1997.
Талызин В.А.Контрольная работа по высшей математике. Казань: КИ МГУК, 1998.