Федеральное агентство пообразованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессиональногообразования
Вятский государственный гуманитарный университетМатематический факультет
Кафедра математического анализа и методики
преподавания математики
Выпускная квалификационная работанатему: Кольцо целых чисел Гаусса.
Выполнил:
студентV курса
математическогофакультета
ГнусовВ.В.
___________________________
Научныйруководитель:
старшийпреподаватель кафедры
алгебрыи геометрии
СеменовА.Н..
___________________________
Рецензент:
кандидатфиз.-мат. наук, доцент
кафедрыалгебры и геометрии
КовязинаЕ.М.
___________________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.
« »________________
Декан факультета___________________ ВаранкинаВ.И.
« »________________
Киров2005
Содержание.
Введение. 2
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛГАУССА. 3
1.1 ОБРАТИМЫЕИ СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. 4
1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. 5
1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. 6
1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ. 9
ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА. 12
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 17
Заключение. 23
Введение.
Кольцоцелых комплексных чисел /> былооткрыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.
К. Гаусспришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа всвязи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятиецелого числа на числа вида />, где /> /> — произвольные целыечисла, а /> — является корнемуравнения /> На данном множествеК. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал,что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: /> />; доказал справедливостьтеоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простыемножители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и вкольце />; выяснил природу простыхцелых комплексных чисел.
РазвитаяК. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования»,явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.
Ввыпускной работе были поставлены следующие цели:
1. Развить теориюделимости в кольце чисел Гаусса.
2. Выяснить природупростых гауссовых чисел.
3. Показать применениегауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.
Рассмотриммножество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел внем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида />, где /> назовем целыми комплексными числамиили гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняютсяаксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел являетсякольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим егокак />, так как оно являетсярасширением кольца /> элементом: />.
Посколькукольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для негосправедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например,каждому гауссовому числу /> соответствуетвектор с началом в точке /> и сконцом в />. Следовательно, модульгауссова числа /> есть />. Заметим, что врассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть числонеотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой,то есть квадратом модуля. Таким образом />.Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел /> справедливо:
/> (1)
/> (2)
/> (3)
/> (4)
/> (5)
Здесь и далее /> —множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.
Справедливость данных свойств тривиальным образомпроверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы идля любых комплексных чисел.
Кольцогауссовых чисел — это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оноявляется подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативнаясократимость кольца />, то есть
/> (6)1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.
Посмотрим,какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является />. Если гауссово число /> обратимо,то, по определению, существует /> такое,что />. Переходя к нормам,согласно свойству 3, получим />. Но эти нормы натуральны, следовательно />. Значит, по свойству 4, />. Обратно, все элементыданного множества обратимы, поскольку />.Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть />, />.
Каквидно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотретьвопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что /> делитсяна />, если существует /> такое, что />.Для любых гауссовых чисел />, а также обратимых /> справедливы свойства.
/> (7)
/> (8)
/> (9)
/> (10)
/>, где /> (11)
/> (12)
Легкопроверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10)следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества /> ведут себя по отношению кделимости точно так же как и />, иназываются союзными с />.Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности.Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг отдруга поворотом на угол кратный />.1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.
Пустьнадо поделить /> на />, но невозможно произвестиделение нацело. Мы должны получить />, и при этом /> должнобыть «мало». Тогда покажем, чтó брать в качестве неполного частного приделении с остатком во множестве гауссовых чисел.
Лемма 1. О делении состатком.
Вкольце /> возможно деление состатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых /> и /> найдется /> такое, что />. В качестве /> можно взять ближайшее ккомплексному числу /> гауссово число.
Доказательство.
Разделим/> на /> во множестве комплексныхчисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть />. Округлим действительныечисла /> и /> до целых, получимсоответственно /> и />. Положим />. Тогда
/>.
Умножаясейчас обе части неравенства на /> получим,в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что />. Таким образом, в качественеполного частного можно взять гауссово число />,которое как нетрудно видеть, является ближайшим к />.
Ч.Т.Д.1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Мыпользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’омдвух гауссовых чисел /> /> называется такой их общийделитель, который делится на любой другой их общий делитель.
Как иво множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОДпользуются алгоритмом Евклида.
Пусть /> и /> данные гауссовы числа,причем />. Разделим с остатком /> на />. Если остаток будетотличен от 0, то разделим /> на этотостаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, покаоно будет возможно. Получим цепочку равенств:
/>, где />
/>, где />
/>, где />
……………………….
/>, где />
/>
Этацепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающуюпоследовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.
Теорема 2. Осуществовании НОД.
Валгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса /> и/> последний ненулевойостаток есть НОД(/>).
Доказательство.
Докажем,что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.
1.Рассмотримравенства снизу вверх.
Изпоследнего равенства видно, что />.Следовательно,/> как сумма чисел делящихсяна />. Так как /> и />, то следующая строчка даст/>. И так далее. Такимобразом, видно, что /> и />. То есть /> это общий делитель чисел /> и />.
Покажем,что это наибольший общий делитель, то есть /> делитсяна любой другой их общий делитель.
2.Рассмотрим равенства сверху вниз.
Пусть /> — произвольный общийделитель чисел /> и />. Тогда />, как разность чиселделящихся на />, действительно из первогоравенства />. Из второго равенстваполучим, что />. Таким образом,представляя в каждом равенстве остаток как разность чисел делящихся на />, мы из предпоследнегоравенства получим, что /> делится на />.
Ч.Т.Д.
/>
Лемма 3. Опредставлении НОД.
ЕслиНОД(/>, />)=/>, то существуют такие целыегауссовы числа /> и />, что />.
Доказательство.
Рассмотримснизу вверх цепочку равенств, полученную в алгоритме Евклида. Последовательноподставляя вместо остатков их выражения через предыдущие остатки, мы выразим /> через /> и />.
Ч.Т.Д.
Гауссовочисло называется простым, если его нельзя представить в видепроизведения двух необратимых сомножителей. Следующее утверждение очевидно.
Утверждение 4.
Приумножении простого гауссова числа на обратимое снова получается простоегауссово число.
Утверждение 5.
Еслиу гауссова числа взять необратимый делитель с наименьшей нормой, то он будетпростым гауссовым.
Доказательство.
Пустьтакой делитель /> являетсясоставным числом. Тогда />, где /> и /> необратимые гауссовычисла. Перейдем к нормам, и согласно (3) получим, что />. Так как эти нормынатуральны, то имеем, что />, а всилу (12), /> является необратимымделителем данного числа Гаусса, что противоречит выбору />.
Ч.Т.Д.
Утверждение 6.
Если/> не делится на простоегауссово число />, то НОД(/>,/>)=1.
Доказательство.
Действительно,простое число /> делитсятолько на числа союзные с 1 или с/>. Атак как /> не делится на />, то на союзные с /> тоже не делится.Значит, их общими делителями будут только обратимые числа.
Ч.Т.Д.
Лемма 7. ЛеммаЕвклида.
Еслипроизведение гауссовых чисел делится на простое гауссово число />, то хотя бы один измножителей делится на />.
Доказательство.
Длядоказательства достаточно рассмотреть случай, когда произведение содержиттолько два множителя. То есть покажем, что если /> делитсяна />, то либо /> делится на />, либо /> делится на />.
Пусть /> не делится на/>, тогда НОД(/>,/>)=1. Следовательно,существуют такие гауссовы числа /> и />, что />. Умножим обе частиравенства на />, получим,что />, отсюда следует, что />, как сумма чисел делящихсяна/>.
Ч.Т.Д.1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.
Любоененулевое гауссово число можно представить в виде произведения простыхгауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзностии порядка сомножителей.
Замечание1.
Обратимое число имеет в своем разложении нуль простыхмножителей, то есть представляется самим собой.
Замечание2.
Болееточно единственность формулируется следующим образом. Если имеются дваразложения на простые гауссовы множители, то есть />,то /> и можно так перенумероватьчисла />, что />будет союзно с />, при всех /> от 1 до /> включительно.
Доказательство.
Доказательствопроведем индукцией по норме.
База.Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.
Пустьсейчас /> — ненулевое необратимоегауссово число, и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей /> утверждение доказано.
Покажемвозможность разложения на простые множители. Для этого обозначим через /> необратимый делитель />, имеющий наименьшую норму.Этот делитель должен быть простым числом по утверждению 5. Тогда />. Таким образом, мы имеем /> и по индуктивномупредположению /> представимо ввиде произведения простых чисел. Значит, /> раскладываетсяв произведение этих простых и />.
Покажемединственность разложения на простые множители. Для этого возьмем двапроизвольных таких разложения:
/>.
По лемме Евклида впроизведении /> один из множителей долженделиться на />. Можно считать, что /> делится на />, иначе перенумеруем. Таккак они простые, то />, где /> обратимо. Сокращая обечасти нашего равенства на />,получим разложение на простые множители числа />,по норме меньшего, чем />.
/>.
По индуктивномупредположению /> и можноперенумеровать числа /> так, что /> будет союзно с />, /> с />, …, /> с />. Тогда /> и при этой нумерации /> союзно с /> при всех /> от 1 до /> включительно. Значит,разложение /> на простые множителиединственно.
Ч.Т.Д.
Примероднопорожденного кольца над /> безОТА.
Рассмотрим/>. Элементами этого кольцаявляются числа вида />, где /> и /> произвольные целые числа.Покажем, что в нем не выполняется основная теорема арифметики. Определим в этомкольце норму числа /> следующимобразом: />. Это действительноявляется нормой, так как нетрудно проверить, что />.Пусть /> и />. Тогда
/>
/>
/>
/>
/>.
Заметим,что />.
Покажем,что в рассматриваемом кольце числа /> являютсяпростыми. Действительно, пусть /> — одноиз них и />. Тогда имеем: /> Так как в этом кольце нетчисел с нормой 2, то /> или />. Обратимыми элементамибудут числа с единичной нормой и только они. Значит, в произвольном разложении /> на множители найдетсяобратимый множитель, следовательно, /> просто.
ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА.
Чтобыпонять какие гауссовы числа являются простыми, рассмотрим ряд утверждений.
Теорема 8.
Каждое простое гауссово является делителем ровноодного простого натурального.
Доказательство.
Пусть /> — простое гауссово, тогда />. По основной теоремеарифметики натуральных чисел /> раскладываетсяв произведение простых натуральных. А по лемме Евклида хотя бы один из нихделится на />.
Покажемсейчас, что простое Гауссово не может делить два различных простых натуральных.Действительно, пусть /> и /> различные простыенатуральные, делящиеся на />.Поскольку НОД(/>)=1, то потеореме о представлении НОД в целых числах существуют /> и /> — целые числа такие, что />. Отсюда />, что противоречит простоте/>.
Ч.Т.Д.
Такимобразом, раскладывая каждое простое натуральное на простые гауссовы, мыпереберем все простые гауссовы, причем без повторений.
Следующаятеорема показывает, что каждого простого натурального «получается» не болеедвух простых гауссовых.
Теорема 9.
Если простое натуральное разложено в произведение трехпростых гауссовых, то хотя бы один из множителей обратим.
Доказательство.
Пусть /> —простое натуральное такое, что />.Перейдя к нормам, получим:
/>.
Из этого равенствав натуральных числах следует, что хотя бы одна из норм равна 1. Следовательно,хотя бы одно из чисел /> — обратимо.
Ч.Т.Д.
Лемма 10.
Если гауссово число /> делитсяна простое натуральное />, то /> и />.
Доказательство.
Пусть />,то есть />. Тогда />, />, то есть />, />.
Ч.Т.Д.
Лемма 11.
Для простого натурального числа вида />, /> существует натуральное /> такое, что />.
Доказательство.
Теорема Вильсона гласит,что целое число /> является простымтогда и только тогда, когда />. Но />, отсюда />. Раскроем и преобразуемфакториал:
/>
/>.
Отсюда получаем, что />, т.е. />.
Таким образом, мыполучили, что />, где />=/>.
Ч.Т.Д.
Сейчас мы готовы описать все простыегауссовы числа.
Теорема 12.
Все простые гауссовы можно разбить на три группы:
1). Простые натуральные вида />, /> являются простымигауссовыми;
2). Двойка союзна с квадратом простого гауссова числа />;
3). Простые натуральные вида />, /> раскладываются впроизведение двух простых сопряженных гауссовых.
Доказательство.
1). Предположим, чтопростое натуральное /> вида /> не является простымгауссовым. Тогда />, причем /> и />. Перейдем к нормам: />. Учитывая указанныенеравенства, получим />, то есть /> — сумма квадратов двухцелых чисел. Но сумма квадратов целых чисел не может давать остаток 3 приделении на 4.
2). Заметим, что
/>.
Число /> —простое гауссово, так как иначе двойка разложилась бы на три необратимыхмножителя, что противоречит теореме 9.
3). Пусть простоенатуральное вида />, тогда по лемме11 существует целое число /> такое,что />. Пусть /> — простое гауссово. Таккак />, то по лемме Евклида на /> делится хотя бы один измножителей. Пусть />, тогдасуществует гауссово число /> такое,что />. Приравнивая коэффициентымнимых частей получим, что />.Следовательно, />, чтопротиворечит нашему предположению о простоте />.Значит /> — составное гауссово,представимое в виде произведения двух простых сопряженных гауссовых.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Гауссовочисло, сопряженное к простому, само является простым.
Доказательство.
Пусть /> простое число гаусса. Еслипредположить, что /> составное, тоесть />. Тогда рассмотримсопряженное:/>/>, то есть представили /> в виде произведения двухнеобратимых сомножителей, чего не может быть.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Гауссовочисло, норма которого есть простое натуральное число, является простымгауссовым числом.
Доказательство.
Пусть /> составное число, тогда />. Рассмотрим нормы.
/>
/>
То есть получили, чтонорма /> составное число, а поусловию есть простое число. Следовательно, наше предположение не верно, и /> есть простое число.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Еслипростое натуральное число не является простым гауссовым, то оно представимо ввиде суммы двух квадратов.
Доказательство.
Пусть /> простое натуральное числои не является простым гауссовым. Тогда />.Так как равны числа, то равны и их нормы. То есть />,отсюда получаем />.
Возможно два случая:
1). />, то есть представили /> в виде суммы двухквадратов.
2). />, то есть />, значит /> обратимое число, чего неможет быть, значит этот случай нас не удовлетворяет.
Ч.Т.Д.
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.
Утверждение.
Произведениечисел представимых в виде суммы двух квадратов также представимо в виде суммыдвух квадратов.
Доказательство.
Докажемэтот факт двумя способами, с помощью чисел Гаусса, и не используя гауссовычисла.
1. Пусть/>, /> — натуральные числапредставимые в виде суммы двух квадратов. Тогда />,и />. Рассмотрим произведение />, то есть представили ввиде произведения двух сопряженных гауссовых чисел, которое представляется ввиде суммы двух квадратов натуральных чисел.
2.Пусть />, />. Тогда
/>/>
/>/>
/>.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Если />, где /> — простое натуральное вида/>, то /> и />.
Доказательство.
Изусловия следует, что /> и при этом /> — простое гауссово. Тогдапо лемме Евклида на /> делится один измножителей. Пусть />, тогда по лемме10 имеем, что /> и />.
Ч.Т.Д.
Опишемобщий вид натуральных чисел представимых в виде суммы двух квадратов.
Рождественская теоремаФерма или теорема Ферма — Эйлера.
Ненулевоенатуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда, и толькотогда, когда в каноническом разложении все простые множители вида /> входят в четных степенях.
Доказательство.
Заметим,что 2 и все простые числа вида /> представимыв виде суммы двух квадратов. Пусть в каноническом разложении числа есть простыемножители вида />, входящие внечетной степени. Занесем в скобки все множители представимые в виде суммы двухквадратов, тогда останутся множители вида />,причем все в первой степени. Покажем, что произведение таких множителей непредставимо в виде суммы двух квадратов. Действительно, если допустить, что />, то имеем, что /> должен делить один измножителей /> или />, но если /> делит одно из этихгауссовых чисел, то оно обязано и делить другое, как сопряженное к нему. Тоесть /> и />, но тогда /> должно быть во второйстепени, а оно в первой. Следовательно, произведение любого числа простыхмножителей вида /> первой степенине представимо в виде суммы двух квадратов. Значит наше предположение не вернои все простые множители вида /> вканоническом разложении числа входят в четных степенях.
Ч.Т.Д.
Задача 1.
Посмотримприменение данной теории на примере решения диафантова уравнения.
Решитьв целых числах />.
Заметим,что правая часть представима в виде произведения сопряженных гауссовых чисел.
То есть />. Пусть /> делится на некотороепростое гауссово число />, и на негоделится и сопряженное, то есть />. Еслирассмотреть разность этих гауссовых чисел, которая должна делиться на />, то получим, что /> должно делить 4. Но />, то есть /> союзно с />.
Всепростые множители в разложении числа /> входятв степени кратной трем, а множители вида />,в степени кратной шести, так как простое гауссово число /> получается из разложенияна простые гауссовы 2, но />, поэтому/>. Сколько раз /> встречается в разложениина простые множители числа />,столько же раз и встречается в разложении на простые множители числа />. В силу того, что /> делится на /> тогда и только тогда,когда /> делится на />. Но /> союзно с />. То есть они распределятсяпоровну, значит, будут входить в разложения этих чисел в степенях кратной трем.Все остальные простые множители, входящие в разложение числа />, будут входить только либов разложение числа />, либо числа />. Значит, в разложении напростые гауссовы множители числа /> всемножители будут входить в степени кратной трем. Следовательно число /> есть куб. Таким образомимеем, что />. Отсюда получаем, что />, то есть /> должно быть делителем 2.Значит />, или />. Откуда получаем четыреудовлетворяющие нам варианта.
1. />, />. Откуда находим, что />, />.
2. />, />. Отсюда />, />.
3. />, />. Отсюда />, />.
4. />, />. Отсюда />, />.
Ответ: />, />, />, />.
Задача 2.
Решить в целых числах />.
Представимлевую часть как произведению двух гауссовых чисел, то есть />. Разложим каждое из чисел /> на простые гауссовымножители. Среди простых будут такие, которые есть в разложении /> и />. Сгруппируем все такиемножители и обозначим полученное произведение />.Тогда в разложении /> останутся толькоте множители, которых нет в разложении />.Все простые гауссовы множители, входящие в разложение />, входят в четной степени.Те которые не вошли в /> будутприсутствовать либо только в />, либо в/>. Таким образом, число /> является квадратом. Тоесть />. Приравниваядействительные и мнимые части, получим, что />,/>, />.
Ответ:/>, />, />.
Задача 3.
Количество представленийнатурального числа в виде суммы двух квадратов.
Задачаравносильна задаче о представлении данного натурального числа в виде нормынекоторого числа Гаусса. Пусть /> — числоГаусса, норма которого равна />.Разложим /> на простые натуральныемножители.
/>, где /> —простые числа вида />, а /> — простые числа вида />. Тогда, чтобы /> было представимо в видесуммы двух квадратов, необходимо, чтобы все /> быличетными. Разложим на простые гауссовы множители число />, тогда
/>,
где /> — простые гауссовы числа,на которые раскладываются />.
Сравнениенормы /> с числом /> приводит к следующимсоотношениям, необходимым и достаточным для того, чтобы />:
/>.
Числопредставлений подсчитывается из общего числа возможностей для выборапоказателей />. Для показателей /> имеется /> возможность, так как число/> можно разбить на дванеотрицательных слагаемых /> способом:
/>
Дляпары показателей /> имеется /> возможность и так далее.Комбинируя всевозможными способами допустимые значения для показателей /> мы получим всего /> различных значений дляпроизведения простых гауссовых чисел, с нормой вида /> или2. Показатели /> выбираютсяоднозначно. Наконец, обратимому /> можнопридавать четыре значения: />.Такимобразом, для числа /> имеется всего /> возможностей, иследовательно, число /> в виде нормыгауссова числа />, то есть в виде /> может быть представлено /> способами.
Приэтом подсчете различными считаются все решения уравнения />. Однако некоторые решенияможно рассматривать, как определяющие одно и то же представление /> в виде суммы двухквадратов. Так, если /> — решенияуравнения />, то можно указать еще семьрешений, определяющих то же самое представление числа /> в виде суммы двухквадратов: />.
Очевидно,что из восьми решений, соответствующих одному представлению, может остатьсятолько четыре различных в том и только в том случае, если /> или />, или />. Подобные представлениявозможны, если /> полный квадратили удвоенный полный квадрат, и при том такое представление может быть толькоодно: />.
Такимобразом, имеем следующие формулы:
/>, если не все /> четныеи
/>, если все четные./>
Заключение.
Вданной работе была изучена теория делимости в кольце целых чисел Гаусса, атакже природа простых гауссовых чисел. Эти вопросы изложены в первых двухглавах.
Втретей главе рассмотрены применения чисел Гаусса к решению известныхклассических задач, таких как:
· Вопрос овозможности представления натурального числа в виде суммы двух квадратов;
· Задача нахожденияколичества представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов;
· Нахождение общихрешений неопределенного уравнения Пифагора;
а также к решению диафантовауравнения.
Такжеотмечу, что работа была выполнена без использования дополнительной литературы.