/>Оглавление
Предисловие… 3
Введение… 4
§1. Композиции движений пространства… 4
1.1. Основныекомпозиции движений пространства… 4
1.2. Композициицентральных симметрий пространства… 9
1.3. Композициязеркальной и центральной
симметрий пространства… 11
1.4. Композиции осевыхсимметрий пространства… 12
1.5. Применениекомпозиций движений
пространствак решению задач… 16
§2. Композиции подобий и аффинных преобразований
пространства… 18
Литература… 22
Предисловие
Композиции геометрическихпреобразований пространства являются логическим продолжением темы композицийгеометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературесравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.
Целью данной работыявляется рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидовапространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строилсястереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрическиезадачи можно найти в [2]), решались задачи из [3].
В настоящей работерассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидовапространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может бытьиспользована при проведении факультативных занятий в школе для детей сподходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.
Введение
Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xÎX, конечно, yÎX и zÎX. Отображение j определим законом j(x)=g(f(x)). Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией(произведением) преобразований fи g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j=g◦f.
Композициипреобразований обладают следующими свойствами:
1°. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. длялюбых преобразований f,g,h данного множества имеет место равенство:
h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.
2°. Композиция преобразований антикоммутативна,но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.
Вдальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидовапространства.
§1. Композиции движений пространства
1.1. Основныекомпозиции движений пространства
Рассмотрим композиции движенийпространства, которые часто используются при нахождении других композицийдвижений и при решении геометрических задач.
Задача 1.Найтикомпозицию поворота Rlj и переноса /> пространства при условии, что вектор /> и ось поворота lне параллельны.
Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:
Rlj= Sb◦Sa, где a^l, b^l, Ð(a, b)= /> (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированныеуглы), aÇbÇl=Oи />=Sv◦Su, где u║v, u^/>. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осейсимметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда />◦Rlj=Sv◦Su◦Sb◦Sa=Sv◦Sa. Если вектор /> не ортогонален оси l, то прямые aи v скрещиваются, и угол между нимиравен углу между aи b, т.е. равен />. Композиция Sv◦Saесть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляромпрямых aи v, и вектором 2/>, где P=aÇm,Q=vÇm,m║l. Итак,
/>◦Rlj =/>◦Rlj , m║l.
Если />^l, прямые aи v пересекаются, поэтому />=/>, и искомая композиция является поворотом Rmj. Если при этом j =p, то имеем, что />◦Rlj = Sm, />^l, m║l.
/>
m
l
Q
/>/>
v
P
a O
/>
u />
b
Рис. 1
Задача 2.Найтикомпозицию двух поворотов пространства Rbb◦Raa.
Решение. Сначала найдём композицию Rbb◦Raa двух поворотов, оси которыхскрещиваются. Построим общий перпендикуляр hпрямых a иb и представим заданные повороты композициямиосевых симметрий:
Raa=Sh◦Su, Rbb=Sv◦Sh, u^a, u^b, uÇhÇa=A, vÇhÇb=B,
Ð(u, h)=/>, Ð(h, v)=/> (рис. 2). Тогда
Rbb◦Raa=Sv◦Sh◦Sh◦Su=Sv◦Su. Оси uиv скрещиваются, если бы онипринадлежали одной плоскости, то прямые aи b, перпендикулярные этой плоскости,были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композициясимметрий Sv◦Suесть винтовое движение, осью которогоявляется общий перпендикуляр lпрямыхuи v, угол w=2Ð(u, v), а вектор />=2/>, где P=uÇl, Q=vÇl.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>
b
h
a
B
/>b
v
u¢
/>a
A
l
u
Рис.2
Угол wвинтового движения можно вычислитьчерез углы a и bданных поворотов и угол g=/>. По теореме косинусов для трехгранного угла свершиной B, ребрамикоторого являются лучи h,u¢,v, справедливо следующее равенство:
cos/> = — cos/>cos/> - sin/> sin/> cosg(доказательство данной формулы можнонайти в [4], с. 26).
Рассмотримслучай, когда оси aи b пересекаются (в точке B). Тогда прямые u и vтакже будут пересекаться в точке B, и u¢совпадет с прямой u. Искомая композиция Rbb◦Raa есть поворот Rlw, причем угол этого поворотаподсчитывается по указанной выше формуле. При a║b и a+b¹2pпрямые u и vпересекаются в точке O. И рассматриваемая композиция Rbb◦Raa есть поворот Rla+b, ось l которого проходит через точку Oпараллельно прямым a и b.При a║b и a+b=2p будет u║v. В этом случае композиция поворотов являетсяпереносом.
Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.
Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий являетсязеркальной симметрией, Sg◦Sb◦Sa=Sw. Это равенство эквивалентноравенству Sb◦Sa=Sg◦Sw. Если плоскости aи b имеют общую прямую l, то Sb◦Sa=Rljи поэтому Sg◦Sw=Rlj. Следовательно, все четыре плоскостиимеют общую прямую l. Если же плоскости aи bпараллельны, то Sb◦Sa=/> и Sg◦Sw=/>. Следовательно, все четыре плоскости параллельны.
Нетрудно доказать обратное.Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямойили параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскостькоторой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям,исходных симметрий.
Пустьплоскости a, b, g имеют единственную общую точку O. В этом случае она являетсяединственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение осуществовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю).Следовательно, композиция f=Sg◦Sb◦Sa есть поворотная симметрия. Найдемее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересеченияплоскостей следующим образом: bÇg=a, gÇa=b, aÇb=c (рис. 3).
Пусть f(c)=c1, тогда прямые cиc1 симметричны относительно плоскости g, и Sa(a)=a, тогда f(a)=a. Поскольку плоскость w поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющийсоответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции mи nпрямыхa и cсоответственно на плоскости aи g. Итак, w есть плоскость, проходящая черезпрямые mи n. Ось l поворота есть перпендикуляр кплоскости wв точке O, угол поворота j равен углу между ортогональнымипроекциямиaиa(илиc иc1) на плоскость w.
/>
O
c
a />
c1
a0
m /> />
w
b
n
Рис. 3
Еслиплоскости a, b, g попарно перпендикулярны, то искомаякомпозиция является центральной симметрией Zo.
Рассмотримслучай, когда плоскости a, b, g исходных симметрий попарно пересекаются по параллельнымпрямым, т.е. a║b║c. Тогда в каждой плоскости,перпендикулярной этим прямым, композиция f=Sg◦Sb◦Sa индуцирует композицию осевыхсимметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a, b, g. А она является переноснойсимметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором />. Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрияпространства с вектором /> и плоскостью, проходящей через прямуюlпараллельно прямым a,b, c.
1.2. Композиции центральныхсимметрий пространства
Задача 4. Найтикомпозицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральнойсимметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.
Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B. Для этого найдём образ произвольнойточки M после применения композиции ZB◦ZA:
(ZB◦ZA)(M)=P (рис. 4).
/>
M A P B N
Рис. 4
Для треугольника MNP имеет место равенство: />=2/>. Точки Aи B заданы, следовательно, вектор /> - постоянный, и искомая композиция двух центральныхсимметрий ZB◦ZAесть параллельный перенос на вектор 2/>:
ZB◦ZA=/>. (1)
б)Найдем композицию центральной симметрии ZO и переноса /> в пространстве. Представим перенос /> как композицию двух центральных симметрий: />=ZB◦ZO, где />=/>/>. Следовательно, />◦ZO=(ZB◦ZO)◦ZO. Это равенство эквивалентноравенству:
/>◦ZO=ZB . (2)
Таким образом, композицияцентральной симметрии ZOи переноса /> есть центральная симметрия ZO, центр которой определяетсяусловием />=/>/>.
в)Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=ZC◦ZB◦ZA. Композицию ZC◦ZBпредставим в виде переноса всоответствии с выводом (1): ZC◦ZB=/>. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f=/>◦ZA. Воспользовавшись выводом (2),заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO, центр О которойопределяется условием />=/>. Таким образом, композиция трех центральных симметрийпространства является центральной симметрией.
Пользуясь ассоциативностьюкомпозиции и выводами, полученными ранее, обобщим:
1) композициячетного числа центральных симметрий пространства является переносом;
2) композициянечетного числа центральных симметрий пространства является центральнойсимметрией.
Задача 5.Найтикомпозицию центральных симметрий пространства относительно последовательновзятых вершин параллелограмма ABCD.
Решение. Требуется найти композицию f=ZD◦ZC◦ZB◦ZA (рис. 5).
/>
C B D A
Рис. 5
Сгруппируем элементы композиции«удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:
f=(ZD◦ZC)◦(ZB◦ZA)=/>◦/>. Векторы /> и /> являются противоположными,поскольку ABCD естьпараллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественнымпреобразованием E.
Обобщим этузадачу на случай четырех произвольных точек.
Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространстваотносительно четырех произвольных точек.
Решение. Требуется найти композицию f=ZE◦ZC◦ZB◦ZA(рис. 6). Воспользуемся результатомпредыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCDточку D такую, что четырехугольник BCEDявляется параллелограммом.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>
A
B
C
D
E
Рис. 6
Тогдаравенству f=ZE◦ZC◦ZB◦ZAэквивалентно равенство f=ZD◦ZD◦ZE◦ZC◦ZB◦ZA. Композиция ZD◦ZE◦ZC◦ZB есть тождественное преобразование,т.к. BCED– параллелограмм. И искомая композицияимеет вид f=ZD◦ZA, а это перенос пространства /> (согласно выводу (1) ).
1.3. Композиции зеркальной ицентральной симметрий
Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, еслиплоскость первой не содержит центр второй.
Решение. Пусть даны плоскость a и точка О, не принадлежащая ей. Найдемкомпозицию ZO◦Sa. Центральная симметрия ZO как частный случай поворотнойсимметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: ZO=Sl◦Sb, где lи b — перпендикулярные прямая иплоскость, причем lÇb=O. Выберем плоскость b таким образом, что a║b, тогда lбудет являться перпендикуляром и кплоскости a (рис. 7).Тогда ZO◦Sa=Sl◦Sb◦Sa. В силу того, что плоскости aи bпараллельны, их композиция естьпараллельный перенос />, при этом />║l. А это по определению есть винтовоедвижение с осью l, углом 180°,вектором />.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>
O />
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
L
A
h
b
l
A /> a
l />
a
O
a
Рис. 7 Рис. 8
Итак, композициязеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: ZO◦Sa= Sl◦/>. (3)
Задача8. Найти композицию ZO◦Sa◦Sl, если прямая lпараллельна плоскости a и точка О лежит в a.
Решение. На основании (3)композиция ZO◦Saв общем случае есть винтовоедвижение. В силу того, что ОÎa, вектор винтового движения будет нулевым,и само винтовое движение выродится в осевую симметрию Sa, где a^aи OÎa(рис. 8). Тогда ZO◦Sa◦Sl=Sa◦Sl, причем a^l.
Если прямые a и lскрещиваются, то искомая композиция являетсявинтовым движением Rhj◦/>, угол jкоторого равен 2Ð(a, l)=p, ось h –общий перпендикуляр прямых a и l, вектор />=2/>, где L=lÇh, A=aÇh(см. [3], с. 19).
Если прямые aи lпересекаются, то />=/>, и композиция Sa◦Slявляется осевой симметрией Sh, где h – это перпендикуляр к плоскости,проходящей через прямые aи l.
1.4. Композицииосевых симметрий пространства
Задача9. Композиция трехосевых симметрий пространства является осевой симметрией: Sc◦Sb◦Sa=Sl. Какое взаимное положение могутиметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом извозможных случаев.
Решение. Равенству Sc◦Sb◦Sa=Slэквивалентно равенство
Sc◦Sb=Sl◦Sa. (*)
Если прямые bиcпараллельны, то Sc◦Sb=/>. Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: Sl◦Sa=/>. А значит прямые aи lтакже будут параллельными.
Таким образом, получили,что, если прямые b, cпараллельны, то все оси a,b,cи lпопарно параллельны (рис. 9а).
h
l
/>/>/>/>
/>
/>
A
/>
/>
a
c
b
/>
l
O
c />
/>
a
b
Рис. 9а Рис. 9б
Если прямые bиcпересекаются в точке O, то композиция Sc◦Sbявляется поворотом Rhj(см. [3], c. 15), где h– перпендикуляр к плоскости,проходящей через прямые bи c, при этом точка O принадлежит оси h, угол j=2Ð(b, c)(рис. 9б). Тогда и композиция Sl◦Saявляется этим же поворотом Rhj, значит h– перпендикуляр к плоскости,проходящей через прямые aи l, точка пересечения Aкоторых принадлежит оси h, и ориентированный угол между aи l равен углу поворота j.
Таким образом, если оси bиcпересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящейчерез b иc, пересекается с перпендикуляром hк этой плоскости, восстановленным вточке пересечения прямых bиc. Осьlудовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых aи hпринадлежитl,lпараллельна плоскости(b, c), ориентированные углы Ð(a,l)=Ð(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки Aи O совпадают, т.е. ось lтакже походит через точку A.
Если прямые bиcскрещиваются, то композиция Sc◦Sbявляется винтовым движением Rh2j◦/>, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор /> коллинеареноси h, угол j равен ориентированному углу междупрямыми b и c(рис. 9в). В силу равенства (*) композиция Sl◦Saявляется этим же самым винтовымдвижением: Sl◦Sa=Rh2j◦/>, то есть h– общий перпендикуляр кскрещивающимся прямым aиl, и угол Ð(a, l)=j.
/>
h
l
/>
a
c
/>
b
Рис.9в
Таким образом, если оси bиc— скрещивающиеся, то прямые a, bиcпопарно скрещиваются и имеют общийперпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: lиh — перпендикулярные прямые,расстояния между прямыми b, cиa, l равны, и углы между этими осямитакже равны.
Обобщая все рассмотренныеслучаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевойсимметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарноскрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостяхпо две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, являетсядля осей общим перпендикуляром.
Задача10. Композиция трех осевых симметрийесть перенос: Sc◦Sb◦Sa=/>. Каково взаимное положение их осей?
Решение. Если прямые b и cпараллельны, то композиция Sc◦Sb является переносом />. Тогда />◦Sa=/>, полученное равенство эквивалентно равенству Sa=/>◦/> или Sa=/> (этот факт легко доказывается по аналогии скомпозицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенствопротиворечиво, а значит композиция Sc◦Sb◦Saпри параллельных b и cне может быть переносом.
Если прямые bиcпересекаются в точке O, то композиция Sc◦Sb является поворотом Rhj, где h– перпендикуляр к плоскости,проходящей через прямые bиc, при этом точка Oпринадлежит оси поворота h, и угол j=2Ð(b, c). Тогда исходная композиция Sc◦Sb◦Sa=/> будет эквивалентна следующей композиции Rhj◦Sa=/>. Такое возможно только, если поворот Rhjявляется осевой симметриейпространства, т.е. угол j=±p, при чем оси симметрий aиhпараллельны, и расстояние между нимиравно />. В силу этих рассуждений, получили,что ось aперпендикулярна плоскости (b, c), а прямые bиc перпендикулярны между собой.
Такимобразом, при пересекающихся осях bиcдля выполнения исходного равенстванеобходимо, чтобы прямые a,bиc были попарно перпендикулярными.
Если bиc скрещиваются, то композиция Sc◦Sbявляется винтовым движением Rhj◦/>, где h– общий перпендикуляр прямых bиc, угол j=2Ð(b, c), />=/>(рис. 10).
/>
h
B
b
c
C
Рис. 10
Следовательно,Sc◦Sb◦Sa=/> эквивалентно равенству Rhj◦/>=/>◦Sa. А это возможно, если угол j=±p, и прямые aиhпараллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна bи c. Т.е. исходное равенство прискрещивающихся прямых bи c возможно, если все три оси взаимноперпендикулярны.
Такимобразом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если осиэтих симметрий попарно перпендикулярны.
1.5. Применение композиций движений пространства крешению задач
Аппаратдвижений пространства, а в частности композиции движений пространства, можноэффективно применять для решения геометрических задач.
Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного углаDABC и биссектриса угла, смежного стретьим плоским углом, лежат в одной плоскости.
Решение. Пусть DE,DF– биссектрисы плоских углов ADBи BDC, DH – биссектриса угла, смежного с угломADC, т.е. ÐDAE=ÐEDC, ÐBDF=ÐFDC, ÐCDH=ÐHDK (рис.11).
/>
D
K
H
A
C
E
F
B
Рис. 11
Рассмотримкомпозицию fтрех осевых симметрий: f=SDH◦SDF◦SDE. Движение f – это движение первого рода, каккомпозиция движений первого рода. К тому же композиция SDH◦SDF◦SDE отображает прямую AKна себя, точка Dпри этом неподвижна. Следовательно,рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.
Воспользовавшисьвыводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий,можно сказать, что прямые DE, DF и DH лежат в одной плоскости.
Задача12. Через вершину Dпрямого трехгранного угла DABCвнутри его проведен луч DO. Доказать, что выполняетсянеравенство:
Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC)180°.
Решение. Обозначим через DE, DFи DHлучи, симметричные лучу DOотносительно прямых DA, DBиDC соответственно (рис. 12). Посколькутрехгранный угол DABC– прямой, то прямые DBиDC перпендикулярны, и SDC◦SDB=SDA(как композиция двух поворотов).Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии SDA:
SDA(DF)=(SDC◦SDB)(DF)=SDC(DO)=DH, кроме того SDA(DO)=DE.
Следовательно,Ð(DO, DF)=Ð(DE, DH). Аналогично можно доказать, что Ð(DO, DE)=Ð(DF, DH) и Ð(DO, DH)=Ð(DE, DF).
/>
D
H
E
C
A
O
B
F
Рис. 12
Оценим искомую суммууглов, учитывая полученные равенства:
Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC) =
= />Ð(DO,DE) + />Ð(DO,DF) + />Ð(DO,DH) = />( Ð(DF,DH) + Ð(DE,DH) +
+ Ð(DE,DF) ). Лучи DE, DFи DH являются ребрами трехгранного угла DEFH, а значит сумма Ð(DF,DH)+Ð(DE,DH)+Ð(DE,DF)°.
Таким образом, Ð(DO, DA)+Ð(DO, DB)+Ð(DO, DC)180°.
§2. Композиции подобий и аффинных преобразованийпространства
Средипреобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющиерасстояния между точками, — это подобия, гомотетии как частный случай подобий,и аффинные преобразования.
Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства: />◦HOk.
Решение.Рассмотрим образ произвольной точки Xпосле применения искомой композиции.Пусть X1– образ Xпосле применения HOk: HOk(X)=X1, а точка X2 – образ X1 после применения переноса: />(X1)=X2. Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащуювектор /> (рис. 13).
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>n
S1
/>
S
O
X
X1
/>
X2
Рис. 13
Найдемобраз точки пересечения построенной прямой nи прямой XX2 при гомотетии HOk: HOk(S)=S1. Тогда />=/>, поэтому точка S при заданной композиции неподвижна,кроме того, не зависит от выбора точки X. С учетом того, что />=k/>, />=k/>(т.к. треугольники SOXи X1XX2подобны), искомая композиция являетсягомотетией HSk.
Такимобразом, />◦HOk=HSk. (4)
Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.
Решение. Рассмотрим образ произвольной точки Xпосле применения композициигомотетий f=HBm◦HAk. Пусть HAk (X)=X1, т.е. по определению гомотетии />=k/>, HBm(X1)=X2, т.е. />=m/> (рис.14). Найдем образ точки Aпосле применения гомотетии HBm: HBm(A)=A1, т.е. />=m/>. Таким образом, отрезок A1X2– это образ отрезка AX после применения данной композиции,при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобиятреугольников ABX1и A1BX2). Если прямые AA1иXX2пересекаются (обозначим точку ихпересечения C), тогда, рассматривая подобныетреугольники ACXиA1CX2 , выразим вектор />:
/>=/>=/>, при этом />=m/>=km/>.
/>
X2
A1
C
B
A
X
X1
Рис. 14
Следовательно, />=km/>. Точка Cне зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:
HBm◦HAk=HCkm. (5)
Еслипрямые AA1иXX2не пересекаются, т.е. />=/>, то km=1, следовательно, композиция fесть перенос пространства:
HBm◦HAk=/>. (6)
Всеэти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.
Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.
Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композицииповорота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитываяассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию вследующем виде: f=HBm◦Rhb◦Rla◦HAk.
Рассмотримнесколько случаев.
1)Еслиоси поворотов hиlпараллельны, и при этом сумма углов не равна 2p, то композиция поворотов являетсяповоротом Rna+b, где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f=HBm◦Rna+b◦HAk, при этом композиция Rna+b◦HAk является по определению подобием, азначит, эта композиция может быть представлена в виде HDk◦Rpa+b. И равенство f=HBm◦Rna+b◦HAk эквивалентно равенству f=HBm◦HDk◦Rpa+b. По формуле (5) HBm◦HDk=HCkm(при km¹1), значит f=HCkm◦Rpa+b, а это по определению подобие. При km=1 по формуле (6)HBm◦HDk=/>, и f=/>◦Rpa+b, а это, в общем случае, винтовоедвижение.
2)Еслиже при параллельных осях данных поворотовhиl сумма углов равна 2p, то композиция поворотов Rhb◦Rlaявляется переносом пространства/>, и в этом случае f=HBm◦/>◦HAk. Композиция />◦HAkсогласно выводу (4)естьгомотетия с центром в некоторой точке Cс коэффициентом k: />◦HAk=HСk. Следовательно, f=HBm◦HСk, а это гомотетия пространства(согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).
3)Еслипрямые hиlпересекаются, то композиция поворотовRhb◦Rlaявляется поворотом Rnw. И нахождение композиции fсводится к случаю 1.
4)Еслиоси hиl скрещиваются, то композицияповоротов Rhb◦Rlaявляется винтовым движением,следовательно, композиция Rhb◦Rla◦HAkявляется подобием пространства,которое можно представить композицией поворота и гомотетии: Rhb◦Rla◦HAk=Rnw◦HСn. Тогда нахождение fсводится к случаю 1.
Такимобразом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентовкоторых не равно 1, есть подобие пространства или гомотетия (вслучае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2p), в тривиальном случае, когдапроизведение коэффициентов исходных подобий равно 1, этакомпозиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.
Аналогичнаяситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. вобщем случае композиция двух аффинных преобразований пространства такжеявляется аффинным преобразованием.
Литература
1.Гусев В. А.,Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.
2.Понарин Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.
3. Понарин Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.
4. Скопец З. А. Геометрическиеминиатюры. Москва: «Просвещение», 1990.