Лекция 1. Вводная
Начертательнаягеометрия — раздел геометрии, в котором пространственные формы с ихгеометрическими закономерностями изучаются в виде их изображений на плоскости.
Основоположникомначертательной геометрии, как науки, является французский ученый 18 века ГаспарМонж, систематизировавший все существующие знания в этой области и создавшийтруд «Geometry descriptive», изданный в 1799 г… Г. Монж говорил, что «…нужно приучить пользоваться начертательной геометрией всех способных молодых людей, какбогатых, для того, чтобы они были в состоянии употреблять свои капиталы спользой – равно для себя и государства, так и для тех, у которых образованиеявляется единственным богатством, для того, чтобы они могли увеличить цену своеготруда».
В Россиивпервые этот предмет был введен в Московском высшем училище в 1810 году вИнституте путей сообщения в Петербурге.
«Чертеж – этоязык техники», — говорил Г. Монж, а проф. Курдюмов продолжал эту мысль: «Аначертательная геометрия — это грамматика этого языка, т.к. учит нас правильночитать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве словтолько линиями и точками, как элементами всякого изображения».
Начертательнаягеометрия ставит перед собой 2 задачи:
1. Прямая ―научиться изображать на плоскости по оригиналу трехмерные геометрическиеобъекты.
2. Обратная ―по заданному чертежу восстановить положение оригинала в пространстве.
Существуютцентральный и параллельный методы проецирования. Рассмотрим первый.Методцентрального проецирования
Если дананекоторая плоскость П1, которую мы назовем плоскостьюпроекций, центр проекций S вне ее, а также точку А, топроведя через т. А из центра S проецирующий луч, мы получимпроекцию т. А на пл. проекций П1. Если таких произвольно расположенныхточек будет несколько, то в итоге мы получим некую коническую поверхность,поэтому этот метод называется еще и коническим. При таком способе проецированиянет размерного соответствия между изображением и моделью. (Рисунок 1)
/>
Рисунок 1 Рисунок2 Методпараллельного проецирования
В техслучаях, когда размерное соответствие обязательно, используют метод параллельногоили цилиндрического проецирования, когда центр проецирования находится вбесконечности и проецирующие лучи параллельны между собой (рисунок 2). Вкачестве фиксированного базиса используют три взаимно-перпендикулярныхплоскости проекций.
Первая из нихназывается фронтальной плоскостью и обозначается латинской буквой V. Онастационарна. А проекциям точек этой плоскости присваивают индекс этой жеплоскости, например Аv, Ан, Аw.
Вторая пл.проекций, расположенная горизонтально, так и называется – горизонтальная иобозначается — Н. Для получения плоского чертежа ее поворачивают относительнооси ох переднюю полу вниз, заднюю вверх.
Третьяплоскость расположена, как и первая вертикально, но перпендикулярна кфронтальной, и разворачивается против часов стрелки вокруг оси oz присовмещении плоскостей в единую и называется профильной — W.
Эти триплоскости взаимно перпендикулярны и делят пространство на 8 углов – октантов.
Пересекаясьмежду собой, три плоскости образуют линии пересечения – оси.
V ∩ H Þ ox (осьабсцисс); H ∩ W Þ oy (ось ординат); V ∩ W Þ oz (осьаппликат).
Ниже на чертежепредставлена модель пространства и рядом изображение ее на плоскости.
/>
Рисунок 3 Рисунок4
При этомследует помнить, что проецирующие лучи параллельны между собой иперпендикулярны к плоскостям проекций.
Припроецировании мы будем использовать такие геометрические образы как точка,прямая, плоскость, объемные тела.Точка
Точка – это геометрическийобраз, не имеющий измерений. Проекцией точки является основание перпендикулярапроецирующего луча, опущенного на плоскость проекций из заданнойпространственной точки. Точка может быть задана на чертеже своими координатами,например: А (20;30;15;) или проекциями.
Х — указывает нарасстояние до профильной плоскости проекций, Y – до фронтальной, Z– до горизонтальной.
Ортогональныйчертеж точки образуется при проведении линий связи из соответствующихкоординат. На пересечении этих, перпендикулярных между собой линий и образуютсяпроекции точек.
X,YÞAh; X,Z ÞAv;Y,Z ÞAw.
Линиясвязи– это прямая, соединяющая две проекции точки. Следует помнить, что фронтальнаяAv и профильная Aw проекции точки всегда находятся нагоризонтальной линии связи, а фронтальная Av и горизонтальная Ah — на вертикальной
Существует 3способа получения третьей проекции:
1. Проекционный,когда ножка циркуля устанавливается в начало координат О, и растворомциркуля, равным координате у проводится дуга до пересечения сосью ох.
2. С помощью постояннойчертежа k-45°, когда из начала координатпод углом 45° проводят прямую.
3. Координатный(самый точный и поэтому предпочтителен), когда на линии связи Аv — Аwот оси Z откладывают координату Y.Классификацияточек в пространстве
Пространственнаяточка А находится (Î) в пространстве R, когда ни одна из ее координатне равна 0.
Если одна изкординат = 0, а остальные не равны, то в общем случае точка принадлежитплоскости проекций. Так, если:
1. Х = 0,а Y, Z ¹, то точка принадлежит профильной плоскостипроекций.
2. Y = 0,а X, Z ¹0, то точка принадлежит фронтальной плоскостипроекций.
3. Z = 0,а X, Y ¹, то точка принадлежит горизонтальной плоскостипроекций.
Если двекоординаты точки = 0, то точка находится на оси. Так, если:
1. Y, Z =0, а X ¹, то точка находится на оси X,
2. X, Z =0, а Y ¹, то точка находится на оси Y,
3. Х, Y =0, а Z ¹, то точка находится на оси Z
Когда точкалежит в начале координат О – (ориго — начало, лат.), товсе ее координаты равны 0.
При выполнении чертежей ирешении задач не всегда нужна третья проекция, поэтому в таких случаяхпользуемся системой двух взамно-перпендикулярных плоскостей V и H. Например,эпюры точек А, В, С, D, E, F в системе четвертей выглядят следующимобразом:
/>
Рисунок 5
Проверьтесебя, знаете ли вы:
1.Что изучает предмет«Начертательная геометрия»?
2.Чем отличаются методыцентрального и параллельного проецирования?
3.Что такое плоскостипроекций, сколько углов в пространстве они образуют, пересекаясь между собой?
4.Как образуется плоскийчертеж (эпюр)?
5.Определение точки впространстве и способы задания ее на чертеже.
6.Способы построениятретьей проекции точки.
7.Классификацию точки впространстве.
8.Можете ли вы по чертежуопределить, как в пространстве расположена точка? (см. рисунок 5).Лекция 2Прямая
Прямая – это множество точек содним измерением. Прямая на чертеже может быть задана проекциями точек илиточкой и направлением. В пространстве прямая бесконечна и для ее ограниченияиспользуются термины и понятия – отрезок, луч.
Положениепрямой в пространстве:
Прямаяв пространстве может занимать 7 различных положений относительно плоскостейпроекций.
1.Линии уровня – это прямые, параллельныетолько к одной плоскости проекций, на которую проецируются в натуральнуювеличину:
/>
а)фронтальная f б) горизонтальная h в) профильная p
Рисунок 1
2.Проецирующие прямые – прямые, параллельные двумплоскостям проекций и перпендикулярные к третьей. На две пл. проекцийпроецируются в натуральную величину на третью — в точку.
/>
а)горизонт.-проецир.m, б)фронт.-проецир. в)проф.-проецир. р
Рисунок 2
3.Линии общего положения – это линии, которые ни наодну из плоскостей проекций не проецируется в натуральную величину. Для такойпрямой
1.ZА — ZВ ¹0 2. YА – YВ¹0, 3. XА – XВ¹,
/>
Рисунок 3
Метод прямоугольноготреугольника
Чтобыопределить натуральную величину (Н.В). прямой общего положения и углы еенаклона к пл. проекций, необходимо воспользоваться методом прямоугольноготреугольника.
/>
Рисунок 3
Деление отрезка в заданном отношении
Пустьтребуется отрезок АВ разделить точкой С в заданном отношении СА: СВ= 2: 3. Източки А проведем в произвольном направлении вспомогательную прямую и на нейотложим 2+3=5 равных масштабных отрезков любой длины, получив отрезок А5. Точки5 и В соединим прямой. Через точку 2 проведем прямую, параллельную В5, впересечении этой прямой с отрезком АВ получим искомую точку С. Отрезку САсоответствуют два масштабных отрезка на вспомогательной прямой, а отрезку СВ –три таких отрезка. Точка С делит отрезок АВ в отношении 2: 3.
/>
Рисунок 4
Относительное положениеточки и прямой в пространстве
Возможны дваслучая:
1. А єl 2.А Ïl
Если точка принадлежитпрямой, то на эпюре их одноименные проекции совпадают.
1.Точка Dє l, тогда Dh є lh, Dv є lv, Dw є lw
Задача 1.
Позаданному чертежу определить положение точек относительно заданной прямой.
/>
Рисунок 5
Следы прямой
Следы прямой— это точки пересечения прямой или ее продолжения с плоскостями проекций. Угоризонтального следа Z = 0, у фронтального Y = 0.
Для тогочтобы найти горизонтальный след, необходимо фронтальную проекцию прямойпродолжить до пересечения с осью Х. и провести линию связи до пересечения ее сгоризонтальной проекцией прямой.
Чтобы найтифронтальный след, необходимо горизонтальную проекцию прямой продолжить допересечения с осью Х и провести линию связи до пересечения ее с фронтальнойпроекцией прямой.
/>
Рисунок 6Взаимное положение прямых относительно другдруга.1. Прямые могут бытьпересекаться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекцийлежат на одной линии связи (рисунок а).2. Прямые могут скрещиватьсямежду собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций не лежат на однойлинии связи (рисунок б).3. Прямые могут быть параллельнымежду собой и тогда их одноименные проекции также параллельны между собой(рисунок с).
/>
а) б) в)
Рисунок 7
Проверьте себя:
1. Что такоепрямая?
2. Способызадания прямой на чертеже.
3. Положениепрямой в пространстве относительно плоскостей проекций.
4. В чемзаключается сущность метода прямоугольного треугольника?
5. Делениепрямой в заданном отношении.
6. Что такоеследы прямой и как построить их проекции?
7. Взаимноеположение прямых в пространстве.
Лекция 3Плоскость
Плоскость – это множество точек сдвумя измерениями. Определителем плоскости являются три точки. Через одну и дветочки можно провести множество плоскостей, и только через три точки можнопровести единственную плоскость. Плоскость безгранична, но если ее ограничиваюткаким-либо контуром, то она называется отсеком
Существуетшесть способов задания плоскостей (рисунок 1):
1) тремяточками,
2) прямойи точкой, не лежащей на этой прямой,
3) двумяпараллельными прямыми,
4) двумяпересекающимися прямыми,
5) плоскойфигурой,
6) следами
/>
Рисунок 1
Относительноплоскостей проекций плоскость заданная может занимать шесть различныхположений:
1) плоскостиуровня:горизонтальная (1), фронтальная (2) и профильная (3), которые параллельнысоответствующим плоскостям проекций, и перпендикулярны двум другим (рисунок 1),
2) проецирующиеплоскости: горизонтально-проецирующие (4), фронтально–проецирующие (5),профильно-проецирующие (6), которые перпендикулярны только к одной плоскостипроекций (рисунок 1),
3) плоскостьобщего положения, не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостипроекций (рисунок 2).
/>
Рисунок 2
Из рисунка 2видно, что следы плоскостей есть ничто иное, как нулевые горизонтали ифронтали, пересекающиеся между собой на оси ОХ, но для простоты оба следаобозначают одной и той же буквой.Прямые линии и точки в плоскости
Прямаялиния принадлежит плоскости, если:
а) онапроходит через две точки этой плоскости (рисунок 3а);
б) следыпрямой лежат на одноименных следах плоскости (рисунок 3б — частный случай п.1);
в) онапроходит через произвольную точку заданной плоскости параллельно любой прямойэтой плоскости (рисунок 3в).
/>
а) б) в)
Рисунок 3Главные линии плоскости
Это прямые:
Горизонталь,h — этопрямая, лежащая в плоскости заданной и параллельная горизонтальной плоскостипроекций (рисунки 4 а, б, в).
Фронталь,f –прямая,лежащая в заданной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций(рисунок 4).
/>
а) б) в) г)
Рисунок 4
Линиянаибольшего ската, 1-2(рисунок 4 г) – прямая, принадлежащая заданной плоскости и перпендикулярная к её горизонталям и фронталям. Прямой угол,составленный л.н.с. плоскости с ее горизонталью, проецируется нагоризонтальную плоскость без искажения.
Точкапринадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.
Задача
Указать,какие из заданных на чертеже точек, принадлежат плоскости Р.
/>
Рисунок 5
Проверьте себя:
1. Чтопредставляет собой плоскость?
2. Чтоявляется определителем плоскости?
3. Сколькосуществует способов задания плоскостей? Назовите их.
4. Какиеположения относительно плоскостей проекций может занимать в пространствеплоскость?
5. Условияпринадлежности прямой плоскости.
6. Условияпринадлежности точки плоскости.
7. Чтопредставляют собой главные линии плоскости?
Лекция4
Взаимное положение плоскостей в пространстве
Плоскости могут бытьмежду собой параллельны, могут пересекаться и, как частный случай пересечения,могут быть перпендикулярны друг к другу (см. соответственно рисунок 5 – а, б ис).
/>
Рисунок 5
Еслиплоскости параллельны между собой, то одна из них проходит черезпрямую, параллельную этой плоскости. Одноименные следы таких плоскостейпараллельны между собой.
Задача 1. Через точки А и Впровести плоскости Р (Рн, Рv) и Р(m∩n) параллельнуюплоскости (рисунок 6).
/>
Рисунок 6 Рисунок7
Задача 2
Проверить,параллельны ли между собой плоскости b(f ∩ h) и S (m∩n)(рисунок 7).
Пересекающиесяплоскости.
Чтобы построить линиюпересечения двух плоскостей, необходимо определить их две общие точки. Или однуобщую точку и через нее провести прямую параллельно любой прямой другойплоскости.
Если обе плоскости заданыследами, то общие точки находят на пересечении одноименных следов (рисунок 8 а,б, в, г,). В других случаях вводятся вспомогательные плоскости – посредники(8 е).
Задача 3
Построитьлинии пересечения двух плоскостей.
/>
а) б) в) г) д) е)
Рисунок 8
Лекция 5
Прямая и плоскость
Прямая может быть параллельнаплоскости (как частный случай принадлежать ей) и может пересекатьее, в том числе и под прямым углом.
1. Прямая, параллельнаяплоскости
Если прямая параллельналюбой прямой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (рисунок 8).
/>
Рисунок 8
2.Точка встречи прямой и плоскости
Чтобы определить точкувстречи прямой и плоскости, необходимо:
1) заключитьпрямую в плоскость, т.е. через заданную прямую провести плоскость, которой онабы принадлежала (рисунок 9).
/>
Рисунок 7
2) построитьлинию пересечения этих плоскостей
3) на пересечениизаданной прямой и линии пересечения и будет находиться искомая точка.
Примеры
/>
Рисунок 10
3. Прямаяперпендикулярная плоскости
Прямаяперпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимсяпрямым этой плоскости.
Чтобыпровести перпендикуляр к плоскости на эпюре, необходимо из фронтальной проекцииточки провести перпендикуляр на фронтальную проекцию фронтали (или фронтальныйслед), а из горизонтальной проекции — перпендикуляр на горизонтальную проекциюгоризонтали (или горизонтальный след плоскости, который, собственно и являетсянулевой горизонталью).
Для нахождения точкивстречи перпендикуляра с плоскостью, необходимо воспользоваться правилом, ранеерассмотренным, для нахождения точки встречи прямой и плоскостью.
Задача 1
Из точки А. опуститьперпендикуляр на пл. Р.
/>
Рисунок 11
Задача 2
Из точки А плоскости Рвосстановить перпендикуляр и, выбрав на нем произвольную точку, определить еерасстояние до этой плоскости.
/>
Рисунок 12
Плоскость,перпендикулярна к другой тогда, когда она проходит через прямую,перпендикулярную к этой плоскости (рисунки 13 а и в).
Если следыплоскостей взаимно-перпендикулярны, это признак того, что плоскости неперпендикулярны.
/>
а) в) с)
Рисунок 13
Перпендикулярностьгеометрических элементов
Проецированиеуглов
1.Произвольный угол между двумя произвольными проецируется без искажения толькона ту плоскость, которой он параллелен.
2. Теорема.
Прямой уголмежду двумя прямыми проецируется на плоскость в натуральную величину, если однаиз сторон этого угла параллельна этой плоскости.
/>
Рисунок 14
Проверьте себя:
1. Какиеположения относительно друг друга занимают плоскости в пространстве?
2. В чемзаключается признак параллельности двух плоскостей?
3. В чемзаключается признак перпендикулярности двух плоскостей?
4. В чемзаключается признак параллельности прямой и плоскости?
5. В чемзаключается признак перпендикулярности прямой и плоскости?
6. В чемсмысл теоремы прямого угла?
Лекция 6 Методыпреобразования
Существуетдва метода преобразования:
Метод вращения,сущностькоторого заключается в том, что плоскости проекций остаются неизменными, агеометрический объект вращается в пространстве вокруг заданой оси такимобразом, как это необходимо для решения задачи.
В своюочередь, метод вращения подразделяется на:
а) вращениевокруг осей перпендикулярных к плоскостям проекций:
На рисунке 1а– вокруг фронтально-проецирующей оси точка поворачивается на 30°, на 1б– вокруг горизонтально-проецирующей оси т. А вращается до совпадения с пл.Р
/>
а) б)
Рисунок 1
б) вращениетреугольника АВС вокруг горизонтальной линии уровня дает нам его натуральнуювеличину (рисунок 2):
/>
Рисунок 2 Рисунок3
в) вращениеотрезка АВ вокруг горизонтального следа плоскости R до совмещения сгоризонтальной плоскостью проекций, на которой отображается Н.В. АВ и углы егонаклона к плоскостям проекций (частный случай вращения вокруг горизонтальнойлинии уровня) – (рисунок 3);
г) вращениебез указания осей (метод плоско-параллельного перемещения) — рисунок 4. накотором мы также получаем натуральную величину отрезка АВ;
/>
Рисунок 4
Сущностьметода плоскопараллельного перемещения заключается в том, что плоскостипроекций остаются неизменными, а геометрический объект меняет свое положениетак, как это необходимо для решения задачи. При этом одна из проекций остаетсянеизменной по величине и пропорциям, меняя только свое положение, а точкидругой перемещаются параллельно между собой и второй плоскости проекций.
2 – методзамены плоскостей проекций – его сущность заключается в том, чтогеометрическийэлемент остается неподвижным, а вводится дополнительная плоскость проекций, накоторую г.о. проецируется как это необходимо по условию задачи.
На рисунке 5натуральная величина отрезка АВ найдена вышеуказанным методом.
/>
Рисунок 5