--PAGE_BREAK--Часть № 1 «Исследование математической модели»
Постановка задачи.
На предприятии имеется возможность выпуска продукции 4-х видов. Для выпуска единицы продукции каждого вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого вида).
На основе математического моделирования средствами Excelопределить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.
Таблица 1.
Составление математической модели
Целевая функция (ЦФ).
Целевая функция показывает, в каком смысле решение задачи должно быть наилучшим (оптимальным). В нашей задаче ЦФ:
Прибыль →
max.
Значение прибыли можно определить по формуле:
Прибыль = кол1 ∙ пр1 + кол2 ∙ пр2 + кол3 ∙ пр3 + кол4 ∙ пр4,где кол1,…, кол4 –
количества выпущенной продукции каждого вида;
пр1,…, пр4 — прибыли, получаемые от реализации единицы каждого вида продукции. Подставив значения пр1,…, пр4 (из табл.1) получим:
ЦФ: 1,7 ∙ кол1 + 2,3 ∙ кол2 + 2 ∙ кол3 + 5 ∙ кол4 →
max (1)
Ограничения (ОГР).
Ограничения устанавливают зависимости между переменными. В нашей задаче ограничения накладываются на использование ресурсов, количества которых ограничены. Количество сырья, которое необходимо для производства всей продукции, можно подсчитать по формуле:
Сырьё = с1 ∙ кол1 + с2 ∙ кол2 + с3 ∙ кол3 + с4 ∙ кол4,где с1,…, с4 –
количества сырья, необходимые для выпуска единицы каждого вида продукции. Общее количество использованного сырья не может превышать имеющего в наличии ресурса. Подставив значения из табл.1, получим первое ограничение — по сырью:
1,8 ∙ кол1 + 1,4 ∙ кол2 + 1 ∙ кол3 + 0,15 ∙ кол4 ≤ 800 (2)
Аналогично запишем ограничения по финансам и трудозатратам:
0,63 ∙ кол1 + 0,1 ∙ кол2 + 1 ∙ кол3 + 1,7 ∙ кол4 ≤ 400 (3)
1,1 ∙ кол1 + 2,3 ∙ кол2 + 1,6 ∙ кол3 + 1,8 ∙ кол4 ≤ 1000 (4)
Граничные условия (ГРУ).
Граничные условия показывают, в каких пределах могут изменяться искомые переменные. В нашей задаче это финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 согласно условию:
0,1 ∙ кол2 ≤ 50 р.; 1,7 ∙ кол4 ≤ 50 р. (5)
С другой стороны мы должны ввести, что количество продукции должно быть больше или равно нулю. Это очевидное для нас, но необходимое компьютеру условие:
кол1 ≥ 0; кол2 ≥ 0; кол3 ≥ 0; кол4 ≥ 0. (6)
Поскольку все искомые переменные (кол1,…, кол4) входят в соотношение 1-7 в первой степени и над ними производятся только действия суммирования и умножения на постоянные коэффициенты, то модель является линейной.
Решение задачи на компьютере.
Включаем компьютер. Перед входом в сеть задаем имя пользователя ZA, с паролем А. Загружаем программу Excel. Сохраняем файл под именем Лидовицкий Кулик. х
ls. в папке Эк/к 31 (2). Создаем верхний колонтитул: слева — дата, в центре имя файла, справа имя листа.
Создаем и форматируем заголовок и таблицу исходных данных (таблица 1). Заносим в таблицу данные согласно варианту задачи.
Создаем и форматируем таблицу для расчета. В ячейки «Количество» заносим начальные значения. Их выбираем близкими к ожидаемому результату. Мы не имеем предварительной информации и поэтому выберем их равными 1. Это позволит легко проконтролировать вводимые формулы.
В строку «Трудозатраты» вносим слагаемые формулы (4) — произведения количества продукции на количество трудозатрат, необходимые для производства единицы продукции:
для продукции №1 (=С15*С8);
продукции №2 (=D15*D8);
продукции №3 (=E15*E8);
продукции №4 (=F15*F8).
В графе “ИТОГО” находим сумму содержимого этих ячеек при помощи кнопки автосуммирования Σ. В графе “Остаток” находим разницу между содержимым ячеек “Ресурс-Трудозатраты” таблицы 1 и “ИТОГО-Трудозатраты" (=G8-G17). Аналогично заполняем графы «Финансы» (=G9-G18) и «Сырье» (=G10-G19).
В ячейке “Прибыль” вычисляем прибыль по левой части формулы (1). При этом воспользуемся функцией =СУММПРОИЗВЕД (С15: F15; C11: F11).
Присваиваем ячейкам, содержащим итоговые прибыль, финансовые, трудовые и сырьевые затраты, а также количества продукции, имена, соответственно: «Прибыль», «Финансы», «Трудозатраты», «Сырье», «Пр1», «Пр2», «Пр3», «Пр4». Excelвключит эти имена в отчеты.
Вызываем диалоговое окно Поиск решения командами Сервис-Поиск решения…
Назначение целевой функции.
Устанавливаем курсор в окноУстановить целевую ячейку и щелчком мыши по ячейке «Прибыль» заносим в него ее адрес. Вводим направление целевой функции: Максимальному значению.
Вводим адреса искомых переменных, содержащих количества продукций 1-4, в окно Изменяя ячейки.
Ввод ограничений.
Щелкаем по кнопке Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничений. Ставим курсор в окошко Ссылка на ячейку и заносим туда адрес ячейки «Трудозатраты». Открываем список условий и выбираем Ограничение вводим адрес ячейки «Ресурс-Трудозатраты». Щелкаем по кнопке Добавить. В новое окно Добавление ограничений аналогично вводим ограничение по финансам. Щелкаем по кнопке Добавить, вводим ограничение по сырью. Щелкаем по ОК. ввод ограничений закончен. На экране снова появляется окно Поиск решения, в поле Ограничения виден список введенных ограничений.
Ввод граничных условий.
Ввод ГРУ не отличается от ввода ограничений. В окне Добавление ограничений в поле Ссылка на ячейку при помощи мыши вводим адрес ячейки «Фин2». Выбираем знак Ограничение записываем 50. Щелкаем по Добавить. Вводим при помощи мыши адрес ячейки «Фин4». Выбираем знак Ограничение записываем 50. Щелкаем по ОК. возвращаемся в окно Поиск решения. В поле Ограничения виден полный список введенных ОГР и ГРУ (рис.1).
Рисунок 1.
Ввод параметров.
Щелкаем по кнопке Параметры. Появляется окно Параметры поиска решения. В поле Линейная модель ставим флажок. Остальные параметры оставляем без изменения. Щелкаем по ОК (рис.2).
Рисунок 2.
Решение.
В окне Поиск решения щелкаем по кнопке Выполнить. На экране появляется окно Результаты поиска решения. В нем сообщается «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены».
продолжение
--PAGE_BREAK--Создание и сохранение отчетов
Для ответа на вопросы задачи нам понадобятся отчеты. В поле Тип отчета мышью выделяем все типы: «Результаты», «Устойчивость» и «Пределы».
Ставим точку в поле Сохранить найденное решение и щелкаем по ОК. (рис. 3). Excel формирует затребованные отчеты и размещает их на отдельных листах. Открывается исходный лист с расчетом. В графе «Количество» — найденные значения для каждого вида продукции.
Рисунок 3.
Формируем сводный отчет. Копируем и располагаем на одном листе полученные отчеты. Редактируем их, так чтобы все разместить на одной странице.
Оформляем результаты решения графически. Строим диаграммы «Количество продукции» и «Распределение ресурсов».
Для построения диаграммы «Количество продукции» открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем объемный вариант обычной гистограммы. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон данных =Лидовицкий! $C$14: $F$15. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы «Количество продукции». Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы.
Для построения диаграммы «Распределение ресурсов» открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем трехмерную гистограмму. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон: Лидовицкий! $A$17: $F$19; Лидовицкий! $C$14: $F$14. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы «Распределение ресурсов». Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы (рис 4).
Рисунок 4.
Данные диаграммы иллюстрируют наилучший, с точки зрения получения наибольшей прибыли, ассортимент продукции и соответствующее распределение ресурсов.
Печатаем лист с таблицами исходных данных, с диаграммами и результатами расчета и лист со сводным отчетом на бумаге.
Анализ найденного решения. Ответы на вопросы
Согласно отчету по результатам.
Максимальная прибыль, которую можно получить при соблюдении всех условий задачи, составляет 1292,95 р.
Для этого необходимо выпускать максимально возможное количество продукции № 2 — 172,75 и № 4 — 29,41 единиц с финансовыми затратами не превышающими 50 р. на каждый вид, и продукции № 1 — 188,9 и № 3 — 213,72. При этом ресурсы по трудозатратам, финансам и сырью израсходуются полностью.
Согласно отчету по устойчивости.
Изменение одного из исходных данных не приведет к другой структуре найденного решения, т.е. к другому ассортименту продукции, необходимому для получения максимальной прибыли, если: прибыль от реализации единицы продукции №1 не увеличится более чем на 1,45 и уменьшится не более чем на 0,35. Таким образом:
(1,7 — 0,35) = 1,35
прибыль от реализации единицы продукции №2 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 1,61. Таким образом:
(2,3 — 1,61) = 0,69
прибыль от реализации единицы продукции №3 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 0,39. Таким образом:
(2 — 0,39) = 1,61
прибыль от реализации единицы продукции №4 может уменьшиться не более чем на 2,81, т.е. на 56,2% и увеличиваться неограниченно. Таким образом: прибыль 4 > 2,19 = (5 — 2,81) ресурс по сырью может быть увеличен на 380,54, т.е. на 47,57% и уменьшен на 210,46, т.е. на 26,31%. Таким образом: 589,54
Согласно отчету по пределам:
Количество выпускаемой продукции одного из видов может изменяться в пределах от 0 до найденного оптимального значения, это не приведет к изменению ассортимента продукции, необходимого для получения максимальной прибыли. При этом, если на выпускать продукцию №1, то прибыль составит 971,81 р., продукцию №2 — 895,63 р., продукцию №3 — 865,51 р., продукцию №4 — 1145,89 р.
Выводы
Проведенное исследование математической модели и ее последующий анализ позволяет сделать следующие выводы:
Максимально возможную прибыль, составляющую 1292,95 р., при выполнении всех заданных условий и ограничений можно получить, если выпустить продукции №1 — 188,9 единиц, продукции №2 — 172,75 единиц, продукции №3 — 213,72 единиц, продукции №4 — 29,41 единицы.
После выпуска продукции все ресурсы будут истрачены полностью.
Структура найденного решения наиболее сильно зависит от реализации единицы продукции №1 и №3, а также от уменьшения или увеличения всех имеющихся ресурсов.
Часть № 2 «Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса
Теоретические положения.
Балансовый метод — метод взаимного сопоставления финансовых, материальных и трудовых ресурсов и потребностям в них. Балансовая модель экономической системы — это система уравнений, удовлетворяющих требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.
Межотраслевой баланс отражает производство и распределение продукта в отраслевом разрезе, в межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.
Схема межотраслевого баланса.
Каждая отрасль в балансе является и потребляющей и производящей. Выделяют 4 области баланса (квадранты) имеющих экономическое содержание:
таблица межотраслевых материальных связей, здесь Xij— величины межотраслевых потоков продукции, т.е. стоимость средств производства произведенных в iотрасли и потребных в качестве материальных затрат в jотрасли.
Конечная продукция — это продукция выходящая из сферы производства в область потребления, накопления, на экспорт и т.д.
Условно чистая продукция Zj— это сумма амортизации Cjи чистой продукции (Uj+ mj).
Отражает конечное распределение и использование национального дохода. Столбец и строка валовой продукции используется для проверки баланса и составления экономико-математической модели.
Итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:
(1)
Валовая продукция каждой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции этой отрасли.
(2)
Просуммируем по всем отраслям уравнения 1:
Аналогично для уравнения 2:
Левая часть это валовый продукт, тогда и правые части приравниваем:
(3)
Постановка задачи.
Имеется четырехотраслевая экономическая система. Определить коэффициенты полных материальных затрат на основе данных: матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор валовой продукции (табл.2).
Таблица 2.
Составление балансовой модели.
Основой экономико-математической модели межотраслевого баланса являются матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:
(4)
Коэффициент прямых материальных затрат показывает какое количество продукции iотрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции jотрасли.
Учитывая выражение 4, выражение 2 можно переписать:
(5)
— вектор валовой продукции.
— вектор конечной продукции.
Матрицу коэффициентов прямых материальных затрат обозначим:
Тогда система уравнений 5 в матричной форме:
(6)
Последнее выражение это модель межотраслевого баланса или модель Леонтьева. При помощи модели можно:
Задав величины валовой продукции Х определить объемы конечной продукции Y:
(7)
где Е — единичная матрица.
Задав величины конечной продукции Yопределить значение валовой продукции Х:
(8)
обозначим через В величину (Е-А) — 1, т.е.
,
то элементы матрицы В будут .
Для каждой iотрасли:
— это коэффициенты полных материальных затрат, показывают какое количество продукции iотрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции jотрасли.
Для расчета экономико-математической модели межотраслевого баланса с учетом заданных величин:
Матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:
Вектора валовой продукции:
Единичную матрицу, соответствующую матрице А примем:
Для расчета коэффициентов полных материальных затрат воспользуемся формулой:
Для определения валовой продукции по всем отраслям, формулой:
Для определения величины межотраслевых потоков продукции (матрица х) определим элементы матрицы х по формуле:
,
где i= 1…n; j= 1…n;
n— количество строк и столбцов квадратной матрицы А.
Для определения вектора условно чистой продукции Zэлементы вектора вычисляются по формуле:
продолжение
--PAGE_BREAK--