Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університетімені Івана Франка
Кожан Роман Володимирович
УДК 517.98
КАТЕГОРНІ ВЛАСТИВОСТІ ПРОСТОРІВЙМОВІРНІСНИХ МІР ТА ГІПЕРПРОСТОРІВ ВКЛЮЧЕННЯ
01/01/01 математичнийаналіз
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів-2008
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана накафедрі геометрії і топології Львівського національного університету іменіІвана Франка Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник:
докторфізико-математичних наук, професор
Зарічний МихайлоМихайлович,
деканмеханіко-математичного факультету,
завідувач кафедригеометрії і топології,
Львівськогонаціонального університету імені Івана Франка
Офіційні опоненти
доктор фізико-математичнихнаук, професор
Загороднюк АндрійВасильович,
завідувач кафедриматематичного аналізу Прикарпатського національного
університету імені В.Стефаника
докторфізико-математичних наук, професор
Маслюченко ВолодимирКирилович,
завідувач кафедриматематичного аналізу, Чернівецького національного
Університету імені Ю.Федьковича
Захист відбудеться 17квітня 2008 р. о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д35.051.18 Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою:79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377
З дисертацією можнаознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету іменіІвана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.
Автореферат розісланий13 березня 2008 р.
Вчений секретарспеціалізованої вченої ради ТарасюкС.І.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКАРОБОТИ
Актуальність теми. Багатоконструкцій функціонального аналізу, топологічної алгебри, загальної топологіїє функторіальними у відповідних категоріях. Прикладом може служити конструкціяпростору ймовірнісних мір (невід'ємних нормованих адитивних функціоналів напросторах неперервних функцій), яка визначає коваріантний функтор на категоріїкомпактних гаусдорфових просторів. Властивості функтора ймовірнісних мір сталипредметом дослідження багатьох математиків. Зокрема, А. Пелчинський/>[1] застосував простори ймовірніснихмір до задачі топологічної класифікації банахових просторів неперервних функційна компактних гаусдорфових просторах. У своїй монографії Пелчинський виділивдва класи компактних гаусдорфових просторів: простори Мілютіна та просториДугунджі.
Систематичне дослідження функтораймовірнісних мір провів Є.В. Щепін[2] у 1981 році в рамкахствореної ним загальної теорії нормальних функторів у категорії компактів.Зокрема, він показав глибокий зв'язок між властивістю відкритості функтораймовірнісних мір і властивістю бікомутативності, тобто властивістю зберігатиклас бікомутативних діаграм в сенсі К. Куратовського.
Є.Щепін довів, що з відкритості нормальногофунктора випливає його бікомутативність і сформулював проблему проеквівалентність цих двох умов (для випадку нормальних функторів скінченногостепеня еквівалентність умов відкритості та бікомутативності довів М. Зарічний[3];він показав, що ці дві умови є характеризаційними для функторів />-симетричного степеня />).
Одним з основних понять,запроваджених в дисертації, є поняття мультикомутативного тавідкрито-мультикомутативного функтора. Ці властивості є узагальненнямбікомутативності, поширеної на скінченні діаграми більш загального виду.Одночасно, це поняття відкритої мультикомутативності поєднує також івідкритість нормального функтора, яка є необхідною умовою відкртоїмультикомутативності.
Ще одним функтором, якийдосліджується в дисертоції з точки зору відкритої мультикомутативності єфунктор гіперпросторів включення. Значення функтора гіперпросторів включенняполягає в тому, що він відіграє в теорії топологічних напівграток Лоусона такуж роль, що і функтор ймовірнісних мір в теорії опуклості.
Гіперпростори включення допускаютьприродну інтерпритацію як неадитивні міри. Цей зв'язок між функторомгіперпросторів включення та неперервних зверху ємностей встановлено О.Никифорчином та М. Зарічним[4]. Вперше поняття ємності вматематиці було введено Г. Шоке[5], а Л. Жоу[6]встановив гомеоморфізм простору ємностей та простору комонотонно-адитивнихфункціоналів, що дало змогу досліджувати функторіальні властивасті конструкціїємностей. Крім тісного зв'язку з функтором гіперпросторів включення, ємностімають широке застосування в економічній теорії та мікроекономіці.
В даній дисертаційній роботіпоняття відкритої мультикомутативності поширюється також на слабко-нормальніфунктори. Тут доводиться відкрита мультикомутативність цілого рядуслабко-нормальних функторів, а саме функтора опуклих замкнених підмножин />, фунткора опуклихзамкнених підмножин простору ймовірнісних мір />,фунткорів гіперпросторів включення /> тасуперрозширення />, а також їхкомпозицій /> і />.
Постає природнє питання, які звідомих властивостей нормальних та близьких до них функторів в категоріїкомпактів Comp переносяться напродовження цих фунторів на більш широкі категорії, зокрама на категорію цілкомрегулярних просторів та їх неперервних відображень Tych.В даній робоіті розглядаються дві конструкції продовження простору ймовірніснихмір. Одна з них – міри з компактними носіями />,введена А. Чігогідзе[7], є універсальною для всіхнормальних функторів в категорії Comp.Інша – функтор радонів-ських мір /> натихонівському просторі, запропонована Т. Банахом[8].
В даній роботі досліджуєтьсячастковий випадок відкритої мультикомутативності на квадратних діаграмах, асаме відкрита бікомутативність фунторів /> та/>.
Зв'язок роботи знауковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiйноїроботи пов'язана з науково-дослідними роботами “Асимптотичнівластивості аналітичних функцій, випадкових рядів, топологічних і алгебраїчнихструктур та їх застосування” (номер державної реєстрації 0104U002127).Робота виконана на кафедрі геометрії і топології механіко-математичногофакультету Львівського національного університету імені Івана Франка.
Мета i завданнядослiдження. В зв'язку з вищезгаданими проблемамивиникла необхiднiсть продовження вивчення питання відкритості ібікомутативності нормальних та близьких до нормальних функторів. Зокрема, з цимтісно пов'язане питання їх відкритої мультикомутативності.
Об'єктомдослідження є нормальні та близькі до нормальних функтори в категорії копактнихгаусдорфовихпросторів та їх неперервних відображень, а також деякі функтори в категоріїцілком регулярних топологічних просторів.
Предметомдослідження є властивості відкритої мультикомутативності нормальних функторівта існування критеріїв відкритої мультикомутативності.
У данiй роботi розглядаютьсянаступнi проблеми.
1. Знайтикритерії відкритої мультикомутативності нормальних функторів.
2. Якіз відомих нормальних та слабко-нормальних функторів євідкрито-мультикомутативними в категорії Comp?
3. Якіз відомих функторів є />-відкрито-мультикомутативнимив категорії Comp?
4. Чипродовжується властивість відкритої мультикомутативності на категорію Tych?
5. Чиє характеристичне відображення квадратних діаграм відкритим у випадку функторів/> та />?
Наукова новизнаодержаних результатiв. Всi одержанi науковi результати їновими. У дисертацiйнiй роботi
1. введенопоняття відкритої мультикомутативності нормальних та близьких до них функторів,яке поєднує у собі поняття відкритості та бікомутативності функторів.
2. встановленокритерії відкритої мультикомутативності в категорії Compдля нормальних та слабко нормальних функторів.
3. поняттявідкритої мультикомутативноссті поширено на нескінченні діаграми і встановленоїї зв'язок з />-відкритоюмультикомутативністю.
4. доведено,що функтори />, />, />, />, />, />, />, />, /> євідкрито-мультикомутативними в категорії Comp.
5. показановідкриту бікомутативність функтора /> вкатегорії Tych.
6. встановленавідкритість характеристичного відображення квадратних діаграм у випадкуфункторів /> та />.
Практичне значенняодержаних результатiв. Отриманi в дисертацiйнiй роботiрезультати мають теоретичний характер i можуть знайти застосування уфункцiональному аналiзi, категорній топології, економічній теорії та теоріїігор.
Особистий внесокздобувача. Всi науковi результати, включенi у дисертацiю,одержанi здобувачем самостiйно.
Апробацiя результатiвдисертацiї. Основнi результати дисертацiїдоповiдались:
1. наЛьвiвському мiському топологiчному семiнарi (м. Львiв, 2002-2005 рр.);
2. наміжнароднійкоференції«Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors,Applications» (м.Львів,травень2004 р.),доповідь:R.V. Kozhan, On Continuity of correspondences of probability measures in thecategory of Tychonoff spaces;
3. начетвертійміжнароднійалгебраїчнійконференції(м.Львів,серпень2003 р.),доповідь:R.V. Kozhan, Open-multicommutativity of the functor of probability measures;
4. наміжнародномуконгресіматематиків«International Mediterranean Congress of Mathematics», Almeria (червень2005р.),доповідь:R.V. Kozhan, Open-multicommutati-vity of normal functors.
5. наміжнароднійконференції«Analysis and related topics» (м.Львів,листопад2005р.),доповідь:Р.Кожан,/>-відкритамультикомутативністьнормальнихфункторів.
Публiкацiї.Результатидисертацiї опублiковано у 3 статтях (без співавторів), які опублiковано увиданнях, включених у перелiк ВАК України, в яких слiд опублiкувати результатидисертацiї.
Структура та об'ємдисертації. Дисертація складається з перелікупозначень, вступу, 3 розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсягдисертації — 131 сторінки.
Автор висловлює щиру подякунауковому керівникові професорові М.М. Зарічному.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТДИСЕРТАЦІЇ
У вступі обґрунтованаактуальність дисертаційного дослідження, визначена мета і об’єктидослідження. Основна частина дисертації поділена на 4 розділи.
У першому розділі«Огляд літератури і результатів дисертації» робиться огляд літературиі дається короткий виклад результатів дисертаційної роботи.
У другому розділі«Поняття та критерії відкритої мультикомутативності» вводитьсяозначення основного поняття, яке вивчається в дисертації – відкритоїмультикомутативності коваріантних функторів.
Теорема2.4.23.Нехай/> -- деякийслабко-нормальний скінченно-відкрито-мультикомутативний функтор в категорії Comp.Тоді відображення /> є відкритим.
Наступна теорема є основнимрезультатом цього розділу. Вона встановлює впіввідношення між поняттямивідкритої мультикомутативності та скінченної відкритої мультикомутативностіслабко-нормальних функторів в категорії Comp.
Теорема2.4.26.Нехайслабко-нормальний функтор /> євідкритим та бікомутативним. Тоді наступні твердження є еквівалентні:
(і) /> євідкрито-мультикомутативним
(іі) /> єскінченно відкрито-мультикомутативним.
Наслідок 2.4.27.Нехай /> -- нормальний відкритийфунктор в категорії Comp. Тоді наступнітвердження є еквівалентними:
(і) /> євідкрито-мультикомутативним
(іі) /> єскінченно-відкрито-мультикомутативним.
Наслідок 2.4.28.Нехай/> -- слабко-нормальнийбікомутативний функтор в категорії Comp.Тоді функтор /> є мультикомутативним.
Природньопостаєзадача дослідження властивостей функторів, які зберігаютьвідкрито-мультикомутативні конуси над нескінченними графами.
Наступна теорема являє собоюкритерій />-відкритоїмультикомутативності слабко-нормальних функторів та показує її еквівалентністьз відкритою мультикомутативністю на скінченних діаграмах.
Теорема 2.5.3.Кожний слабко нормальний відкрито мультикомутативний функтор /> є />-відкритомультикомутативним.
В третьому розділі “Відомі функторив категорії Comp та відкритамультикомутативність” досліджуютьсяконкретні приклади коваріантних функторів категорії Compна відкриту мультикомутативність. Зокрема, розглядаються функтори ймовірніснихмір />,гіперпростору />,гіперпростору включення />,суперрозширення />,функтор неперервних зверху ємностей />,функтор опуклих підмножин /> їхкомпозиції />, />. Відомо,що функтори /> та /> є нормальними, а функтори />, />, та /> є слабко нормальними, атакож, що функтори />, />, />, />, /> є відкритими, а функтори />, /> не є відкритими.
Застосовуючи критерій відкритоїмультикомутативності ми легко отримуємо
Твердження 3.2.1.Функтор ймовірнісних мір /> євідкрито-мультикомутативним.
З нормальності та відкритостіфунктора ймовірнісних мір в категорії Compвипливає
Наслідок3.2.2.Функтор/> є />-відкрито-мультикомутативним.
Покажемо відкритумультикомутативність функторів />, />, />, />, а також їх композицій зфунктором ймовірнісних мір /> та />. Для цьогоспочатку встановимо їх бікомутативність.
Твердження 3.3.1.Функтори /> та /> єбікомутативними.
З попереднього твердження легковипливає відкрита мультикомутативність вищезгаданих функторів.
Твердження 3.3.2. Функтори/>, /> та /> євідкрито-мультикомутативними.
Покажемо відкритумультикомутативність функтора />Conv/>Сomp.
Твердження 3.3.4.Функтор /> євідкрито-мультикомутативним.
Наступний результат дозволяєбудувати нові відкрито-мультикомутативні функтори як композиціївідкрито-мультикомутативних.
Твердження 3.3.5.Нехай />Top — деякі категорії іфунктори /> та /> євідкрито-мультикомутативними, тоді композиція функторів /> є такожвідкрито-мультикомутативним функтором.
З твердженнь 3.3.5 та 3.2.1випливає
Наслідок 3.3.6.Функтор /> євідкрито-мультикомутативним.
Твердження 3.3.7.Функтори /> і/> євідкрито-мультикомутативними.
Оскільки фунтор /> є слабко-нормальним івідкритим, то згідно з теоремою 2.4.26 для його відкритої мультикомутативностідостатньо показати, що він є скінченно відкрито-мультикомутативний.
Твердження 3.4.2.Функтор /> є скінченно відкрито-мультикомутативним.
Твердження 3.4.6.Функтор /> євідкрито-мультикомутативним.
Розглядається кілька відомихметодів продовження функтора ймовірнісних мір з категорії компактів накатегорію цілком регулярних топологічних просторів та їх неперервнихвідображень Tych. Одна знайпростіших конструкцій продовження функторів на категорію Tych– є міри на Стоун-Чехівській компактифікації цілком регулярного топологічногопростору. Поряд з цим також існує кілька альтернативних методів продовженняфунктора ймовірнісних мір на Tych,такі як функтор мір з компактнми носіями, функтор мір Радона (радонівськіміри), функтор />-гладких мір.
Для тихонівського простору /> розглянемо />supp/> множинувсіхборелевих ймовірнісних мір на /> зкомпактними носіями, де /> єСтоун-Чехівською компактифікацією простору />.Ця конструкція дозволяє нам продовжувати функтор /> зкатегорії Comp на категорію Tych.А. Відомо, що /> є нормальнимфунктором в категорії Tych.Іншою конструкцією пордовження функтора ймовірнісних мір є функтор радонівськихмір />.
Теорема 4.3.1.Відображення /> є відкритим.
Оскільки />, характеристичневідображення /> можна представити як />. Має місце наступнийнаслідок попередньої теореми.
Теорема 4.3.2.Відображення /> є відкритим.
ВИСНОВКИ
В даній роботівводиться поняття відкритої мультикомутативності коваріантних функторів укатегорії компактів та інших топологічних категоріях, яке поєднує в собіпоняття відкритості та бікомутативності. Це дозволяє виділитиклас функторів, які природньо поєднують в собі ці дві властивості. Формулюютьсякритерії відкритої мультикомутативності. А саме, встановлена еквівалентністьвідкритої мультикомутативності зі скінченною відкритою мультикомутативністю; цяеквівалентність значно спрощує дослідження. Зокрема, для встановлення відкритоїмультикомутативності достатньо перевірити, що слабко-нормальний відкритий,бікомутативний функтор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси складені зіскінченних просторів. Також встановлено таку еквівалентністьцього поняття на скінченних та нескінченних діаграмах: якщо слабко-нормальнийфунктор зберігає відкрито-мультикомутативні конуси на скінченними діаграмами, товін зберігає їх і над всіма діаграмами. Цей результат також дозволяє значноспростити аналіз і обмежитись розглядом досить вузького кола діаграм.
В розділі 3 доведено, що такіфунктори, як функтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, гіперпросторувключення, опуклих підмножин, неперервних зверху ємностей, а також їхкомпозиції є відкрито-мультикомутативними. Це в свою чергу доводитьнепорожність класу відкрито-мультикомутативних функторів в категорії Comp.
Важливим питанням категорноїтопології є продовження функторів на ширші категорії. Тому також є природнимпитання поширення означення відкритої мультикомутативності на функтори, якідіють в категорії цілком регулярних просторів Tych.В розділі 4 зроблені кроки у цьому напрямку, а сааме, розглянуто питаннявідкритої бікомутативності продовжень функтора ймовірнісних мір. Доведено, щотакі продовження, як функтор мір з компактними носіями і функтор мір Радона, євідкрито-бікомутативними.
СПИСОКОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Kozhan,R. V. Open-multicommutativity of some functors related to the functor ofprobability measures // Matematychni Studii – 2005. – Vol.23, №4.
2. Кожан,Р.В.,Пронеперервнiстьвiдповiдностейймовiрнiснихмiрвкатегорiїцiлкомрегулярнихпросторiв// НауковийвісникЧернівецькогоуніверситету:збірникнауковихпраць.Математика.– 2006. – Т. 314-315. – c.94—99.
3. Kozhan,R.V., Open-multicommutativity of the functor of upper-continuous capacities // ВісникЛьвів. Ун-ту. Сер.Мех.-матем. – 2006. – V.66.
4. Kozhan,R.V. On сontinuityof correspondences of probability measures in the category of Tychonoff spaces// Міжнароднакоференція«Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors,Applications», Львів,2004, тезидоповідей.
5. Kozhan,R.V. Open-multicommutativity of the functor of probability measures // Четвертаміжнароднаалгебраїчнаконференція,Львів,2003, тезидоповідей.
6. Kozhan,R.V. Open-multicommutativity of normal functors // Міжнароднийконгресматематиків«International Mediterranean Congress of Mathematics», м.Альмерія,2005, тезидоповідей.
АНОТАЦІЯ
Кожан Р.В. Категорні властивості просторів ймовірнісних мір та гіперпросторіввключення. – Рукопис.
Дисертація на здобуттянаукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01– математичний аналіз – Львівський національний університет імені Івана Франка,Львів, 2007.
Ключові слова: відкритамультикомутативність, слабко-нормальний функтор, характеристичне відображенняконуса, категорія, діаграма
Дисертація присвячена вивченнюкатегорних властивостей нормальних та слабко-нормальних функторів в категоріїкомпакних гаусдорфових просторів та їх неперервних відображень. Зокремадосліджуються умови та критерії відкритості коваріантних функторів. Є. Щепінвстановив, що кожний відкритий нормальний функтор є бікомутативним. М. Зарічнийпосилив цей результат і встановив, що відкритість є критерієм бікомутативностідля функторів скінченного степеня.
В даній роботі вводиться поняттявідкритої мультикомутативності, яке є узагальненням відкритості табікомутатвності слабко-нормальних функторів. Встановлюються критеріїмультикомутатвності, відкритої мультикомутативності та />-відкритоїмультикомутативнос-ті функторів, а також їх звєязок між собою. В дисертаціїавтором доводиться відкрита мультикомутативність ряду функторів, серед якихфунтор ймовірнісних мір, гіперпростору, суперрозширення, функтор гіперпросторіввключення, неперервних зверху ємностей та їх композицій.
Проблема продовження функторів зкатегорії компактів на категорію цілком регулярних просторів досліджується вдисертації в контексті відкритої мультикомутативності. Зокрема, розглядаютьсячасткові випадки відкритої мультикомутативності функторів радонівських мір тамір з компактними носіями відповідно. Задача представлена у термінахвідповідностей з просторів ймовірнісних мір на добутку тихоновських просторів.Встановлена неперервність відповідностей, що є еквівалентною відкритостіхарактеристичного відображення квадратних діаграм.
ABSTRACT
Kozhan R.V. Categoricalproperties of spaces of probability measures and inclusion hyperspaces.– Manuscript.
The thesis forobtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on thespeciality 01.01.01 – Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv NationalUniversity, Lviv, 2007.
Key words:open-multicommutativity,weakly normal functor,characteristic map of a cone,category, diagram
The thesis is devotedto investigation of the categorical properties of normal and weakly normalfunctors in the category of compact Huasdoff spaces and their continuous maps.In particular, conditions and criteria for openness of covariant functors arestudied. E. Shchepin proved that each open normal functor is bicommutative.M.Zarichnyi extended the result and showed that the openness is a necessary andsufficient condition for bicommutativity of functors of finite degree.
A new notion of openmulticommutativity is introduced in the thesis and this notion is ageneralization of openness and bicommutativity of weakly-normal functors.Criteria of multicommutativity, open-multicommutativity and />-open-multicommutativityof functors are established and shown their connection between each other. Theauthor proves open-multicommutativity of a number of functors such as functorof probability measures, hypercpace, superextension, functor of inclusion hyperspaces,upper-continuous from above capacities and their superpositions.
The problem ofextensions of functors from the category of compact spaces into the category ofcompletely regular spaces is investigated in the context ofopen-multicommutativity of functors. In particular, special cases ofopen-multicommutativity of functors of Radon measures and measures with compactsupports are considered. The problem is introduces in terms of correspondencesfrom spaces of probability measures on product of Tychonoff coordinate spacesThe continuity of the correspondences is proved, which is equivalent to theopennesss of the characteristic maps of square diagrams.
АННОТАЦИЯ
Кожан Р.В.Категорные свойства пространств вероятносных мер и гиперпространств включения. — Рукопись.
Диссертация на соискание ученойстепени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко,Львов, 2007.
Ключевые слова: открытаямультикоммутативность, слабо-нормальный функтор, характеристичиское отображениеконуса, категория, диаграмма
Дисертация посвящена изучениюкатегорних свойств нормальних и слабо-нормальних функторов в категориикомпакних гаусдорфових пространств и их непрерывних отображений. В особенностиисследуються условия и критерии открытости ковариантних функторов. Е.Щепинымустановлено, что каждый откритый нормальный функтор есть бикоммутативным.М.Заричный усилил этот результат и доказал, что открытость являеться критериембикоммутативности для функторов конечной степени.
В данной работе вводиться понятиеоткрытой мультикоммутативности, которое есть обобщением открытости ибикоммутатвности слабо-нормальных функторов. Устанавливаються критериимультикоммутатвности, открытой мультикоммутативности и />-откритоймультикоммутативности функторов, а также их связь между собой. В диссертацииавтором доказуеться открытая мультикоммутативность ряда функторов, средикоторых фунтор вероятносных мер, гипперпространства, суперрасширения, функторгипперпространства вложения, непрерывных сверху ємкостей и их композиций.
Проблемма продолжения функторов скатегории компактов на категорию полностю регулярних пространств исследуеться вдиссертации в контексте открытой мультикоммутативности. В особенности,рассматриваються частичные случаи открытой мультикоммутативности функтороврадоновських мер и мер с компактными носителями соответсвенно. Задачапредставлена в терминах соответствие с пространств вероятностных мер напроизведении тихоновських пространств. Установлена непрерывность соответствий,являющаяся эквивалентной открытости характеристического отображения квадратныхдиаграмм.
Підписано до друку 8.11.2007р.
Папір друк. №1. Спосібдруку - офсет.
Формат паперу 60x90/16.Ум.друк.аркушів0.9
Тираж 100 штук.
Замовлення № 1203/1
Друк СПД „Синчук В.В.”
м.Львів, вул.Чупринки,38
тел./факс. (032)297-05-67