ГОУ ВПО
УфимскийГосударственный Авиационный Технический Университет
Кафедравычислительной математики и кибернетики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовой работе
по теории вероятности
на тему:
Интервальный анализ дохода трамвайного парка вочередные сутки с применением доверительной вероятности/>Уфа 2010 г
Задание 1/>Условие
Исходные данные – суточный доход трамвайного парка(млн. руб.):
12,56; 12,41; 12,52;12,80; 12,98; 12,70.
Актуальные вопросы: Каков практический максимумсуточного дохода трамвайного парка? В каких пределах практически будетнаходиться доход трамвайного парка в очередные сутки?
Сформулировать этивопросы на языке теории вероятностей и дать на них ответы.
Высказать предположение(с обоснованием) о законе распределения суточного дохода трамвайного парка,найти оценки и построить доверительные интервалы для математического ожидания идисперсии суточного дохода./> Решение
Исходный материал –данные наблюдений над суточным доходом трамвайного парка (млн. руб):
/>
По условию известно:
х1=12,56; х2=12,41; х3=12,52; х4=12,80; х5=12,98;х6=12,70;n=6.
Под Xбудем понимать случайную величину — доход,который получит трамвайный парк в будущий день. Данная величина дискретна, таккак получить доход, например, 89,623 руб нельзя, существуют определенныестандарты. Но для решения этой задачи мы перейдем к идеализации и допустим, чтоπ, е и др.– все это возможные значения X. Тогда X– непрерывнаяслучайная величина.
Исчерпывающейхарактеристикой случайной величины является закон распределения, которыйзависит от условий проведения опыта. В нашем случае, опыт – это завтрашняяработа трамвайного парка. Учесть все условия невозможно. Может быть наследующий день резко возрастут цены на проезд в автобусах, и люди предпочтутпользоваться трамваями. А может это будет выходной, и людям просто захочетсяостаться дома. Так как же проанализировать условия?
1. В трамвайномпарке работает множество трамваев. Пусть число трамваев – s.
2. Доход каждоготрамвая завтра зависит от случая. Занумеруем трамваи:1, 2, 3 …
h
/>,
/>,
/> …
/>
3. Общий доход,который получат трамваи завтра:
X=/>+/>+/>+…+/>
Т.е. Xможно представить в виде суммыбольшого числа слагаемых. В силу центральной предельной теоремы мы можеможидать, что закон распределения X близок к нормальному.
Пусть с – доход,который будет получен трамвайным парком в очередные сутки.
Событие /> является желательнымсобытием. Найдем его вероятность.
Нам известно, чтовероятность того, что Xнепревысит величины с, согласно нормальному закону распределения, зависитот с следующим образом:
/>
где m=M(X) – математическое ожидание X, />=D(Х) – дисперсия, а /> - стандартное отклонение X. Эти константы можно оценить,используя формулы:
/> (млн.руб)
/>
Следует отметить, чтооценки /> и />зависят отданных наблюдений, которые зависят от случая, когда mи /> от случая не зависят.
Зная оценки /> и />, можноприближенно ответить на вопрос: «Какой доход (величина с) получиттрамвайный парк в очередной день, т.е. чтобы вероятность события /> была достаточно велика,например, равна />?» Величину с найдем изуравнения:
/>.
Сделаем подстановку />, тогда:
/>, />; при />, />; при />, />.
Получим уравнение:
/>.
Выберем вероятность /> равной 0,95(т.е. чтобы получить практический максимум суточного дохода трамвайного парка)и решим уравнение с помощью таблицы значений нормальной функции распределения.Получим:
/>; /> (млн.руб)
Таким образом, мыполучили, что в очередные сутки практическим максимумом суточного доходатрамвайного парка будет являться 13,0132 млн. руб. Ответим на вопрос: «В какихпределах практически будет находиться доход трамвайного парка в очередные сутки?»
Общая формула:
/>, где />
функция Лапласа, а aи b– концевые точки.
Пусть aи bрасположены симметрично относительно m: a=m-s*/>; b=m+s*/>. Тогда:
/>,
т.к. функция нечетная. Потаблицам найдем, что если s=1,96,то />.
Таким образом, нам известно,что с вероятностью 0,95 Х будет находиться в пределах />.
/>
/>
Т.е. доход трамвайногопарка будет практически находиться в пределах от 12,262 до 13,077 млн. руб.
Как уже отмечалось,оценки /> и /> зависят отслучая, в то время как mи/> от случаяне зависят. О местоположении этих констант на числовой оси дают представлениедоверительные интервалы, т.е. такие интервалы, для которых до проведениянаблюдений известна вероятность того, что они в итоге наблюдений накроютконстанту.
В нашем случае концевыеточки доверительного интервала для mнаходятсяпо формулам: />, />, где
/>,
а коэффициент /> зависит отустраивающей нас вероятности накрывания интервалом константы m:
/>.
/> можно найти из таблицы: при />=0,95 и k=5(где k=(n-1)– число степеней свободы) />=2,57.
Доверительный интервалдля m: (12,45; 12,89) с вероятностью покрытия 0,95.
Концевые точкидоверительного интервала для /> находятся по формулам:
/>, />.
Вероятность того, чтотакой интервал накроет />, обозначим:
/>
Она зависит от чисел /> и />. Выберемвероятность накрывания дисперсии, например, /> и воспользуемся таблицами длявычисления /> и/>. Дляэтого вычислим:
(1-α)/2=0,1 –погрешность слева; (1+α)/2=0,6 – погрешность справа, k=n-1=5 – число степеней свободы.
Значит />=1,610; />=9,24.
Интервал: (0,113; 0,646) –доверительный интервал для дисперсии с вероятностью покрытия 0,8.
Задание 2/>Условие
В продолжение задания 1.Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная сериянаблюдений привела к следующим данным? Поставить этот вопрос на языке теориивероятностей и получить ответ.
11,84; 12,50; 11,70;11,72; 11,81; 11,78; 11,70./> Решение
Новые суточные доходытрамвайного парка: />п2=7.
Перед нами стоит вопрос:«Существенно ли изменились условия проведения опыта, если очередная сериянаблюдений привела к следующим данным, т.е. изменились ли математическоеожидание и дисперсия в новой серии наблюдений?»
Предполагается, что надслучайной величиной Xпроведены /> независимыхиспытаний, а над Y— /> независимых испытаний.
Пусть случайные величины X и Y независимы и каждая подчиняется одному и тому женормальному закону распределения.
Нормальный законраспределения определяется функцией распределения или плотностью вероятностей,которые зависят только от двух констант — mи />. Пусть дисперсии X и Y одинаковы. Тогда если математические ожидания X и Y одинаковы, то условия проведения опыта полностьюсовпадают.
Найдем оценки /> и />:
/> (млн.руб); /> (млн.руб).
Если действовать согласноинтуиции, то можно прийти к такому выводу: если в результате наблюденийслучайная величина /> примет значение, сильноотличающееся от нуля, то следует, что математические ожидания X и Y неодинаковы. Но как понять, что значит «сильноотличаться от нуля», а что – «не сильно»? Для этого нам необходимо найтиграницу.
Рассмотрим случайнуювеличину:
/>
Возьмем какое-либо число />, которое назовемпороговым числом, т.е. границей между значениями t, достаточно сильно отличающимися от 0 и не сильно.Тогда:
1) если |t |>/>, то проверяемая гипотезаотвергается;
2) если |t |/>/>, то отвергать гипотезу не будем.
Но данные наблюденийвсегда зависят от случая, поэтому мы можем отвергнуть справедливую гипотезу идопустить ошибку. Выберем устраивающую нас достаточно малую вероятность такойошибки β.
/>./>.
Пусть β=0,05. Нужноиспользовать таблицу для погрешностей, но т.к. ее нет, найдем φ=1-β=0,95.
По таблицам Стьюдента />=2,20.
Сравним t и />: | 5,4 |>2,20/>гипотеза отвергается, и M(X)/>M(Y).
Таким образом, свероятностью ошибки 0,05 можно считать, что условия проведения опытасущественно изменились. Задание 3/> Условие
В продолжение задания 1.Можно ли утверждать, что указанные в задании 1 данные говорят о существенномизменении условий проведения опыта, если известно, что для проведения этихнаблюдений математическое ожидание рассматривающейся случайной величинысоставляло 12,42?/> Решение
У нас имеется случайнаявеличина X, закон распределения которой близокк нормальному закону. Нам нужно ответить на вопрос: «Справедливо ли, чтоматематическое ожидание Xравно заданной константе m, где m=12,42?» Если нет, то условия проведения нашего опытасущественно изменились. Предполагается, что над случайной величиной проведены n независимых испытаний.
Введем оценкуматематического ожидания для X:
/>
Интуитивно мы можемсделать вывод по такому правилу: если после наблюдений случайная величина /> приметзначение, сильно отличающееся от нуля, то условия проведения опыта существенноизменились. Но, опять же, нужно найти данную границу. Рассмотрим случайнуювеличину:
/>.
Если |t |/>/>, то условия проведения опытасущественно не изменились, если |t |>/>, то условия изменились. Но, как ив задаче 2, это может привести к ошибке. Выберем малую вероятность такойошибки: β=0,05.
/>.
С помощью таблицыСтьюдента найдем />: />=2,57.
Сравним t и />: | 2,9 |>2,57/>М(Х) />m.
Таким образом, условияпроведения опыта существенно изменились с вероятностью ошибки 0,05.
Литература
математическоеожидание дисперсия
1. Рудерман С.Ю. Законы в мире случая. Том 1. Уфа, 2005
2. Рудерман С.Ю. Законы в мире случая. Том 2. Уфа: РИОБашГУ, 2005
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа,1999
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическаястатистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002