Изгиб бруса

--PAGE_BREAK--§ 1. ИЗГИБ БРУСА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Рассмотрим поперечный изгиб консольного бруса силами, распре­деленными на его торце и приводящимися к силе , направленной по оси (рис.5)



Рис.5

Контур эллиптического поперечного сечения определяется урав­нением:

                                                                                   (34)

На основании (19) функция напряжений на контуре сечения обращается в нуль:

                                                                                           (35)

если произвольная функция

                                                                     (36)

Уравнение (26) с учетом выражения (36) для функции  принимает вид:

                                                          (37)

Граничное условие (35) выполняется, если функция напряжений , которая должна также удовлетворять уравнению (37), имеет вид:

                                                        (38)
Подставив выражение (38) в уравнение (37), найдем, что по­следнее   удовлетворяется   при   следующем   значении   постоянной

                                                                        (39)

Итак, функция напряжений , определяющая решение рассматриваемой задачи, представляется в виде:


                                     (40)

По формулам (18) находим:
                  (41)

Для точек оси  поперечного сечения получаем:
                (42)

т. е. имеем неравномерное, зависящее от коэффициента Пуассона, рас­пределение напряжений по горизонтальному диаметру. Касательное напряжение в центре сечения () равно:
                                              (43)

Где  – площадь поперечного сечения.

В точках 1 и  имеем:

                                                            (44)

Так как то  Из сопоставления фор­мул (43) и (44) вытекает, что наибольшее касательное напряжение будет в центре сечения:

Если  существенно больше, то имеем:

                           (45)

При  максимальное значение напряжения  может оказать­ся больше . Наибольшей величины напряжение  достигает в точках,  для  которых  выражение:



имеет максимум, т. е. при .  Эти точки яв­ляются точками пересечения контура эллиптического сечения с диа­гоналями описывающего его прямоугольника, т. е. точки  (рис. 5). В этих точках имеем :

                     (46)

Haрис. 5приведены эпюры напряжений  вдоль оси  и на­пряжений  по линиям  и   при  и

Отметим, что касательные напряжения значительно меньше мак­симального нормального напряжения  в сечении , равного на основании (11)

                                                             (47)

С уменьшением отношения  уменьшается неравномерность рас­пределения  вдоль оси . Например, для круглого поперечного се­чения () при по формулам (43) и (44) имеем:



В этом случае абсолютная погрешность элементарной теории из­гиба б величине наибольшего касательного напряжения составляет около 4%.

В произвольной точке круглого поперечного сечения () на основании формул (41) имеем:



                      )                      (48)

Найдем перемещения  произвольной точки круглого бруса при его поперечном изгибе. По формулам закона Гука

 

 

 

и учитывая формулы (11) и(48), получаем:

      (49)

На основании  и



найдем:

Теперь по формуле:



получим:

     (51)



Заметим, что если линия действия силы  проходит через центр изгиба, то выражения (51) для перемещений  и  справедливы и при любой другой форме поперечного сечения.

Если окрестность точки, совпадающей с началом координат, за­креплена так, что при , то все постоянные интегрирования и  входя­щие в равенства (51), равны нулю.


    продолжение
--PAGE_BREAK--