Выпускнаяквалификационная работа
Избранныетеоремы геометрии тетраэдра
Специальность /направление подготовки Математика
Специализация / профиль Математика- информатика
Содержание
Введение
Глава I. Видытетраэдров и теоремы о тетраэдрах
1.1 Теоремы о тетраэдрах
§1. Теорема Менелая
§2. Теорема Чевы
§3. Свойства медиан и бимедиан тетраэдра
1.2 Различные виды тетраэдров.
§1. Пифагоровы тетраэдры
§2. Ортоцентрические тетраэдры
§3. Каркасные тетраэдры
§4. Равногранные тетраэдры
§5. Инцентрические тетраэдры
§6. Соразмерные тетраэдры
§7. Правильные тетраэдры
Глава II. Тетраэдрв курсе математики средней школы
§1. Сравнительная характеристика изложения темы «тетраэдр» вшкольных учебниках
§2. Тестирование уровня развития пространственного мышления уучеников средней школы
Введение
Интерес к изучениютетраэдра возник у человечества с древних времен и не угасает до сих пор. Этосвязано не только с его красотой, но и с большой практической ценностью.
Тетраэдрявляется одним из основных фигур стереометрии, однако его изучение в курсесредней школы недостаточно подробно. В некоторых учебниках авторы избегаютсамой терминологии, предпочитая называть фигуру «треугольной пирамидой» (ирассматривают её именно в таком ключе), а об изучении различных видовтетраэдров зачастую и говорить не приходится.
Роль задач отетраэдрах в математическом развитии школьников трудно переоценить. Онистимулируют накопление конкретных геометрических представлений, способствуютразвитию пространственного мышления, что особенно важно в процессе изучениястереометрии.
Изучению тетраэдра какшколе, так и в вузах посвящено лишь небольшое количество занятий, поэтому цельюдипломной работы является изучение различных видов тетраэдров, а также теорем,связанных с геометрией тетраэдра. В соответствии сцелью сформулированы следующие задачи:
1. Собратьсведения о тетраэдре из различных источников и привести их в систему; разобратьдоказательства теорем, связанных с тетраэдром;
2. Проанализироватьметодику изложения материала в различных школьных учебниках;
3. Разработатькурс занятий о тетраэдре для средней школы.
В первойглаве моей дипломной работы речь пойдёт о различных видах тетраэдра и некоторыхтеоремах, касающихся этой фигуры. Вторая глава посвящена анализу учебногоматериала для средней школы по заданной теме и разработке курса занятий.
Глава I. Виды тетраэдров и теоремы отетраэдрах
1.1Теоремы отетраэдрах
§1.Теорема Менелая
Теорема Менелая длятреугольника.
/>
Пусть точки А1и С1 лежат на сторонах ВC и АC треугольника АВС, точка В1на продолжении стороны АС этого треугольника. Для того чтобы точкиА1, В1, С1 лежали на одной прямойнеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство />=/>=/>=1.
Доказательство.
Сначала докажемнеобходимость. Пусть точки А1, В1, С1лежат на прямой l и AA0=h1, CC0=h3- перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С напрямую l. Из подобия треугольников АА0С1и ВВ0С1получаем
/>. Аналогично, рассматривая другие пары подобныхтреугольников, получаем />; />. Перемножая полученные пропорции, приходим ктребуемому равенству.
/>
Теперь докажемдостаточность. Пусть точки А1, В1, С1, лежащиена прямых ВС, АС, АВ таковы, что />. Докажем, что точки А1, В1,С1 лежат на одной прямой.
Проведем прямую А1В1и докажем, что точка С1 ей принадлежит. Предположим,что это не так. Сначала заметим, прямая А1В1непараллельна прямой АВ. Пусть Т — точка пересечения А1В1и АВ, тогда
/>. Из условия и равенства (1) следует, что />. Так как точки Т и С1лежатвне отрезка АВ, их совпадение вытекает из следующей леммы.
Лемма 1.
Пусть А и В две различныеточки, тогда для любого k>0, k≠1 на прямой АВ существуют две точки U иV такие, что />, причем одна из этих точек принадлежит отрезку АВ, адругая лежит вне отрезка.
Доказательство.
/>
Введем на прямой АВкоординаты, приняв точку А за начало координат. Пусть для определенностиk>1, тогда координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка АВ,удовлетворяет уравнению />, откуда />. Точка Vнаходится вне отрезка AB,из уравнения />, откуда />. Случай 01отличается от рассмотренного лишь тем, что точку V следует искать левееточки А.
Теорема Менелая допускаетинтересное стереометрическое обобщение.
Теорема Менелая длятетраэдра.
/>
Если плоскость μпересекает ребра АВ, ВС, CD и DA тетраэдра АВСD в точках А1,В1, С1, D1, то /> (2).
Обратно, если для четырехточек А1, В1, С1, D1, лежащихсоответственно на ребрах АВ, ВС, СD, DA тетраэдра, выполнено равенство(2), то эти четыре точки лежат в одной плоскости.
Доказательство.
/>
Пусть h1, h2,h3, h4- расстояния от точекА, В, С, Dсоответственно до плоскости μ, тогда />; />; />; />.
Осталось перемножитьполученные отношения.
Для доказательстваобратной теоремы построим плоскость А1, В1, С1.Пусть эта плоскость пересекает ребро DA в точке Т.
По доказанному />, а по условию />, поэтому (и по лемме) точки Т и D1совпадают.Утверждение доказано.
§2. ТеоремаЧевы
/>
Теорема Чевы длятреугольника.
Пусть точки А1,В1, С1лежат соответственно на сторонах ВС,АС и ВА треугольника АВС (см. рис). Для того чтобы отрезки АА1,ВВ1, СС1 пересекались в одной точке, необходимо идостаточно, чтобы выполнялось соотношение: /> (3) (отрезки АА1, ВВ1, СС1иногда называют чевианами).
Доказательство.
/>
Необходимость. Пусть отрезкиАА1, ВВ1, СС1пересекаютсяв точке М внутри треугольника АВС.
Обозначим через S1,S2, S3площади треугольников АМС, СМВ,АМВ, а через h1, h2 — расстояния от точек Аи В до прямой МС. Тогда /> аналогично />, />. Перемножив полученные пропорции, убеждаемся всправедливости теоремы.
Достаточность. Пустьточки А1, В1, С1лежат насторонах ВС, СА, АС треугольника, и выполнено соотношение (3), М — точка пересечения отрезков АА1и ВВ1, аотрезок СМ пересекает сторону АВ в точке Q. Тогда, по ужедоказанному />, />. Из леммы снова следует совпадение точек Q=C1.Достаточность доказана.
Перейдем теперь кпространственному обобщению теоремы Чевы.
Теорема Чевы длятетраэдра.
Пусть М — точкавнутри тетраэдра АВСD, аА1, В1, С1и D1 — точки пересечения плоскостей СМD, AMD, АМВи СМВ с ребрами АВ, ВC, СD и DA соответственно. Тогда /> (4). Обратно: если для точек />, то плоскости АВС, ВСD1 и DAB1проходят через одну точку.
/>
Доказательство.
Необходимость легкополучить, если заметить, что точки А1, В1,С1,D1 лежат в одной плоскости (эта плоскость проходит через прямые А1С1и В1D1, пересекающиеся в точке М), иприменить теорему Менелая. Обратная теорема доказывается так же, так и обратнаятеореме Менелая в пространстве: нужно провести плоскость через точки А1,В1, С1 и доказать с помощью леммы, что эта плоскостьпересечет ребро DA в точке D1.
§3. Свойствамедиан и бимедиан тетраэдра
Медианой тетраэдраназывается отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжестипротивоположной грани (точкой пересечения медиан).
Теорема (Применениетеоремы Менелая).
Медианы тетраэдрапересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1,считая от вершины.
Доказательство.
/>
Проведем две медианы: DD1 и CC1 тетраэдра ABCD. Эти медианы пересекутся в точке F. CL – медиана грани ABC, DL – медиана грани ABD, а D1, C1 – центры тяжести грани ABC и ABD. По теореме Менелая: /> и />. Запишем теорему для треугольника DLD1: />; /> => /> Доказательство производится аналогично для любойдругой пары медиан.
Теорема (Применениетеоремы Чевы).
Для начала дадимопределения некоторых элементов тетраэдра. Отрезок, соединяющий серединыскрещивающихся ребер тетраэдра называется бимедианой. Бивысотами (по аналогии)называют общие перпендикуляры скрещивающихся ребер.
Теорема.
Бимедианы тетраэдрапересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
Доказательство.
В треугольнике LDC отрезки DC и LFпересекутся в точке K.По теореме Чевы для этого треугольника: />, т.е. />, CK=KD, LK – бимедиана.
Замечание 1.
FL=FK. Теорема Менелая для треугольника DLK: />, />, отсюда LF=FK.
Замечание 2.
Точка F является центром тяжести тетраэдра. />, />, значит />.
1.2Различные видытетраэдров
§1.Пифагоровы тетраэдры
Треугольник называетсяпифагоровым, если у него один угол прямой, а отношение любых сторон рационально(т.е применяя подобие, можно из него получить прямоугольный треугольник сцелыми длинами сторон).
По аналогии с этим, тетраэдрназывают пифагоровым, если его плоские углы при одной из вершин прямые, аотношение любых двух ребер рационально (из него с помощью подобия можнополучить тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и целымидлинами ребер).
Попробуем вывести«Уравнение пифагоровых тетраэдров», т.е. такое уравнение с тремянеизвестными ξ, η, ζ, что любой пифагоров тетраэдр даетрациональное решение этого уравнения, и наоборот, любое рациональное решениеуравнения дает пифагоров тетраэдр.
/>
Сначала дадим способописания всех пифагоровых треугольников.
На рисунке треугольник ОАВ — прямоугольный, длины его катетов обозначены через а и b, а динагипотенузы — через р. Число /> (1) условимся называть параметром прямоугольноготреугольника ОАВ (или точнее, параметром «относительно катета а»).Используя соотношение р2=а2+b2, имеем:
/>
Из этих уравненийнепосредственно получим формулы, выражающие отношения сторон прямоугольноготреугольника через его параметр:
/> и/> (2).
Из формул (1) и (2)непосредственно вытекает следующее утверждение: для того, чтобы прямоугольныйтреугольник был пифагоровым, необходимо и достаточно, чтобы число ξ былорациональным. В самом деле, если треугольник пифагоров, то из (1) следует, чтоξ рационально. Обратно, если ξ рационально, то согласно (2) отношениясторон рациональны, то есть треугольник пифагоров.
Пусть теперь ОАВС — тетраэдр, у которого плоские углы при вершине О прямые. Длины ребер,исходящих из вершины О, обозначим через a,b, с, а длины оставшихся реберчерез р, q, r.
/>
Рассмотрим параметры трехпрямоугольных треугольников ОАВ, ОВС, ОСА:
/> (3)
Тогда по формулам (2) можно выразить отношениясторон этих прямоугольных треугольников через их параметры:
/> (4),
/> (5).
Из (4) непосредственно вытекает, что параметрыξ, η, ζ, удовлетворяют соотношению /> (6). Это и есть общее уравнение пифагоровыхтетраэдров.
Из формул (3) — (5)непосредственно вытекает следующее утверждение: для того чтобы тетраэдр ОАВСс прямыми плоскими углами при вершине О был пифагоровым, необходимо идостаточно, чтобы параметры ξ, η, ζ (удовлетворяющиеуравнению (6)) были рациональными.
Продолжая аналогиюпифагорова треугольника с пифагоровым тетраэдром, попробуем сформулировать идоказать пространственное обобщение теоремы Пифагора для прямоугольныхтетраэдров, которая, очевидно, будет верна и для пифагоровых тетраэдров. В этомнам поможет следующая лемма.
Лемма 1.
Если площадьмногоугольника равна S, то площадь его проекции на плоскость πравна />, где φ — угол между плоскостью π иплоскостью многоугольника.
/>
Доказательство.
Утверждение леммыочевидно для треугольника, одна сторона которого параллельна линии пересеченияплоскости π с плоскостью многоугольника. В самом деле, длина этой стороныпри проекции не изменяется, а длина высоты, опущенной на нее при проекции,изменяется в cosφ раз.
Докажем теперь, что любоймногогранник можно разделить на треугольники указанного вида.
Проведем для этого черезвсе вершины многоугольника прямые, параллельные линии пересечения плоскостей,многоугольник разрежется при этом на треугольники и трапеции. Остаетсяразрезать каждую трапецию по любой из ее диагоналей.
Теорема 1 (пространственная теорема Пифагора).
В прямоугольном тетраэдреАВСD, с плоскими углами при вершине D, сумма квадратов площадейтрех его прямоугольных граней равна квадрату площади грани АВС.
Доказательство.
Пусть α — угол междуплоскостями АВС и DВС, D' — проекция точки D на плоскость АВС.Тогда SΔDBC=СоsαSΔАBCи SΔD'BC=cоsαSΔDBC(по лемме 1), поэтому cоsα = />.SΔD'BC= />.
Аналогичные равенстваможно получить и для треугольников D'АВ и D'АС. Складывая их иучитывая, что сумма площадей треугольников D'ВС, D'АС и D'АВравна площади треугольника АВС, получаем требуемое.
Задача.
Пусть все плоские углыпри вершине D прямые; a,b,c – длины ребер, выходящих из вершины D наплоскость ABC. Тогда />
Доказательство.
По теореме Пифагора дляпрямоугольного тетраэдра
/>; />
/> />.
С другой стороны
/> /> (:/>
1=/>) => />.
§2.Ортоцентрические тетраэдры
В отличие оттреугольника, высоты которого всегда пересекаются в одной точке — ортоцентре,не всякий тетраэдр обладает аналогичным свойством. Тетраэдр, высоты которогопересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим. мы начнем изучениеортоцентрических тетраэдров с необходимых и достаточных условийортоцентричности, каждое из которых можно принять за определениеортоцентрического тетраэдра.
(1) Высоты тетраэдрапересекаются в одной точке.
(2) Основания высоттетраэдра являются ортоцентрами граней.
(3) Каждые двапротивоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
(4) Суммы квадратовпротивоположных ребер тетраэдра равны.
(5) Отрезки, соединяющиесередины противоположных ребер тетраэдра, равны.
(6) Произведениякосинусов противоположных двугранных углов равны.
/>
(7) Сумма квадратовплощадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположныхребер.
Докажем некоторые из них.
Доказательство (3).
Пусть каждые двапротивоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
Следовательно, высотытетраэдра попарно пересекаются. Если несколько прямых попарно пересекаются, тоони лежат в одной плоскости или проходят через одну точку. В одной плоскостивысоты тетраэдра лежать не могут, так как иначе в одной плоскости лежали бы и еговершины, поэтому они пересекаются в одной точке.
Вообще говоря, для тогочтобы высоты тетраэдра пересекались в одной точке, необходимо и достаточнопотребовать перпендикулярность только двух пар противоположных ребер.Доказательство этого предложения напрямую следует из следующей задачи.
Задача 1.
Дан произвольный тетраэдрABCD. Докажите, что />.
/>
Решение.
Пусть а=/>, b=/>, с=/>. Тогда />, /> и />, складывая эти равенства, получаем требуемое.
Далее докажем свойство(4).
Пусть а=/>, b=/> и с=/>. Равенство/>2+/>2=/>2+/>2, что/>, т.е. (а, с)=0. Применяя данный алгоритм кдругим парам противоположных ребер, очевидно, получим искомое утверждение.
Приведем оказательствосвойства (6).
Для доказательстваиспользуем следующие теоремы:
— Теоремасинусов. «Произведение длин двух противоположных ребер тетраэдра, деленное напроизведение синусов двугранных углов при этих ребрах, одно и то же для всехтрех пар противоположных ребер тетраэдра».
— ТеоремаБертшнейдера. «Если a и b– длины двух скрещивающихся ребер тетраэдра, а /> - двугранныеуглы при этих ребрах, то величина /> не зависит отвыбора пары скрещивающихся ребер.
Воспользовавшись теоремойсинусов для тетраэдра и теоремой Бертшнейдера, получаем, что произведениякосинусов противоположных двугранных углов равны тогда и только тогда, когдаравны суммы квадратов противоположных ребер, из чего и следует справедливостьсвойства (6) ортоцентрического тетраэдра.
В заключение пункта обортоцентрическом тетраэдре решим несколько задач на эту тему.
Задача 2.
Докажите, что вортоцентрическом тетраэдре выполняется соотношение ОН2=4R2-3d2,где О — центр описанной сферы, H — точка пересечения высот, R — радиусописанной сферы, d — расстояние между серединами противоположныхребер.
Решение.
/>
Пусть К и L — середины ребер АВ и СD соответственно. Точка Н лежитт вплоскости, проходящей через СD перепендикулярно АВ, а точка О — в плоскости, проходящей черех К перпендикулярно АВ.
Эти плоскости симметричныотносительно центра масс тетраэдра — середины отрезка KL. Рассматриваятакие плоскости для всех ребер, получаем, что точки Н и Осимметричны относительно М, а значит КLМО — параллелограмм.Квадраты его сторон равны /> и />, поэтому />. Рассматривая сечение, проходящее через точку Мпараллельно АВ и СD, получаем что АВ2+CD2=4d2.
Здесь можно добавить, чтопрямую, на которой лежат точки О, М и Н, называют прямой Эйлераортоцентрического тетраэдра.
Замечание.
Наряду с прямой Эйлераможно отметить существование сфер Эйлера для ортоцентрического тераэдра, окоторых и пойдет речь в следующих задачах.
Задача 3.
Доказать, что дляортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек каждой грани принадлежат однойсфере (сфере 24 точек). Для решения этой задачи необходимо доказать условиеследующей задачи.
Задача 4.
Доказать, что серединысторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот от вершин доточки их пересечения лежат на одной окружности — окружности 9 точек (Эйлер).
Доказательство.
/>
Пусть АВС — данныйтреугольник, Н — точка пересечения его высот, А1, В1,С1 — середины отрезков АН, ВН, СН; АА2 — высоты, А3 — середина ВС. Будем считать для удобства,что АВС — остроугольный треугольник. Поскольку />В1А1С1=/>ВАСи ΔВ1А2С1=ΔВ1НС1,то />В1А2С1=/>В1НС=180° — />В1А1С1,т.е. точки А1, В1, А2, С1лежат на одной окружности. Также легко увидеть, что />В1А3С1=/>В1НС=180°- />В1А1С1,т.е. точки А1, В1, А3, С1тоже лежат на одной (а значит на той же) окружности. Отсюда следует, чтовсе 9 точек, о которых говорится в условии, лежат на одной окружности. Случайтупоугольного треугольника АВС рассматривается аналогично.
Заметим, что окружность 9точек гомотетична описанной окружности с центром в Н и коэффициентом /> (именно так расположены треугольники АВС и А1В1С1).С другой стороны, окружность 9 точек гомотетична описанной окружности с центромв точке пересечения медиан треугольника АВС и коэффициентом /> (именно так расположены треугольники АВС и треугольникс вершинами в серединах его сторон).
Теперь, после определенияокружности 9 точек, можно перейти к доказательству условия задачи 3.
Доказательство.
Сечение ортоцентрическоготетраэдра любой плоскостью, параллельной противоположным ребрам и проходящей наравном расстоянии от этих ребер, есть прямоугольник, диагонали которого равнырасстоянию между серединами противоположных ребер тетраэдра ( все этирасстояния равны между собой, см. необходимое и достаточное условие ортоцентричности(5). Отсюда следует, что середины всех ребер ортоцентрического тетраэдра лежатна поверхности сферы, центр которой совпадает с центром тяжести данноготетраэдра, а диаметр равен расстоянию между серединами противоположных ребертетраэдра. Значит, все четыре окружности 9 точек лежат на поверхности этойсферы.
Задача 5.
Доказать, что дляортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, атакже точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точкипересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере ( сфере 12 точек).
Доказательство.
Пусть точки О, М иН — соответственно центр описанного шара, ценетр тяжести и ортоцентрортоцентрического тетраэдра; М — середина отрезка ОН (см. задачу2). Центры тяжести граней тетраэдра служат вершинами тетраэдра, гомотетичного,с центром гомотетиии в точке М и коэффициентом />, при этой гомотетии точка О перейдет в точку О1,расположенную на отрезке МН так, что />, О1 будет центром сферы проходящейчерез центры тяжестей граней.
С другой стороны, точки,делящие отрезки высот тетраэдра от вершин до ортоцентра в отношении 2:1, служатвершинами тетраэдра, гомотетичного данному с центром гомотетии в Н икоэффициентом />. При этой гомотетии точка О, как легко видеть,перейдет в ту же точку О1. Таким образом, восемь издвенадцати точек лежат на поверхности сферы с центром в О1 ирадиусом, втрое меньшим, чем радиус сферы, описанной около тетраэдра.
Докажем, что точкипересечения высот каждой грани лежат на поверхности той же сферы.
/>
Пусть О`, Н` и М` — центр описанной окружности, точка пересечения высот и центр тяжестикакой-либо грани. О` и Н` являются проекциями точек О и Нна плоскость этой грани, а отрезок М` делит отрезок О`Н` вотношении 1:2, считая от О`(известный планиметрический факт). Теперьлегко убедиться (см. рис), что проекция О1 на плоскость этойграни — точка О`1 совпадает с серединой отрезка М`Н`,т.е. О1равноудалена от М` и Н`, чтои требовалось.
§3.Каркасные тетраэдры
Каркасным называетсятетраэдр, для которого существует сфера, касающаяся всех шести ребер тетраэдра.Не всякий тетраэдр каркасный. Например, легко понять, что нельзя построитьсферу, касающуюся всех ребер равногранного тетраэдра, если его описанныйпараллелепипед «длинный».
/>
Перечислим свойства каркасноготетраэдра.
(1) Существует сфера,касающаяся всех ребер тетраэдра.
(2) Суммы длинскрещивающихся ребер равны.
(3) Суммы двугранныхуглов при противоположных ребрах равны.
(4) Окружности, вписанныев грани, попарно касаются.
(5) Все четырехугольники,получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные.
(6) Перпендикуляры,восстановленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются водной точке.
Докажем несколько свойствкаркасного тераэдра.
Доказательство (2).
Пусть О — центрсферы, касающейся четырех ребер во внутренних точках. заметим теперь, что еслииз точки Х провести касательные ХР и ХQ к сфере с центром О,то точки Р и Q симметричны относительно плоскости, проходящейпрямую ХО и середину отрезка PQ, а значит плоскости РОХ и QОХобразуют с плоскостью ХРQ равные углы.
Проведем 4 плоскости,проходящие через точку О и рассматриваемые ребра тетраэдра. Они разбиваюткаждый из рассматриваемых двугранных углов на два двугранных угла. Выше былопоказано, что полученные двугранные углы, прилегающие к одной грани тетраэдра,равны. Как в одну, так и в другую рассматриваемую сумму двугранных углов входитпо одному полученному углу для каждой грани тетраэдра. Проводя аналогичныерассуждения для других пар скрещивающихся ребер, получим справедливость свойства(2).
Вспомним некоторыесвойства описанного четырехугольника:
a) Плоскийчетырехугольник будет описанным тогда и только тогда, когда суммы егопротивоположных сторон равны;
b) Еслиописанный четырехугольник разбить диагональю на два треугольника, то вписанныев треугольники окружности касаются
Учитывая эти свойства, легкодоказать остальные свойства каркасного тетраэдра. Свойство (3) тетраэдранапрямую следует из свойства (b), а свойство (4) из свойства (a) и свойства (1) тетраэдра. Свойство(5) из свойства (3). Действительно, ведь окружности вписанные в гранитетраэдра, являются пересечениями его граней со сферой, касающейся ребер,откуда очевидно, что перпендикуляры, восстановленные в центрах вписанных вграни окружностей неминуемо пересекутся в центре этой сферы.
Задача 1.
/>
Сфера касается ребер АВ,ВС, СD и DA тетраэдра АВСD в точках L, M, N, K,являющихся вершинами квадрата. Докажите, что если эта сфера касается ребра АС,то она касается и ребра BD.
Решение.
По условия КLMN — квадрат. Проведем через точки К, L, M, N плоскости, касающиеся сферы.Т.к все эти плоскости одинаково наклонены к плоскости КLMN, то онипересекаются в одной точке S, расположенной на прямой ОО1,где — центр сферы, а О1- центр квадрата. Этиплоскости пересекают поверхность квадрата KLMN по квадрату TUVW,серединами сторон которого являются точки К, L, M, N. В четырехгранномугле STUVW с вершиной S все плоские углы равны, а точки К, L, M, N лежатна биссектрисах его плоских углов, причем SK=SL=SM=SN. Следовательно,
SA=SC и SD=SB, а значит АК=АL=CM=CNи ВL=BM=DN=DK. По условию АС тоже касается шара, поэтому АC=АК+CN=2АК. А так как SK — биссектрисаугла DSA, то DK: КА=DS:SA=DВ: АС. Из равенства АС=2АКследует теперь, что DВ=2DK. Пусть Р — середина отрезка DВ,тогда Р лежит на прямой SO. Треугольники DOK и DOPравны, т.к. DK=DP и />DКO=/>DPO=90°.Поэтому ОР=ОК=R, где R — радиус сферы, а значит, DBтоже касается сферы.
§4.Равногранные тетраэдры
Равногранным называется тетраэдр,все грани которого равны. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, возьмемпроизвольный остроугольный треугольник из бумаги, и будем сгибать его по среднимлиниям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся,образуя боковые ребра тетраэдра.
/>
(0) Грани конгруэнтны.
(1) Скрещивающиеся ребрапопарно равны.
(2) Трехгранные углы равны.
(3) Противолежащиедвугранные углы равны.
(4) Два плоских угла,опирающихся на одно ребро, равны.
(5) Сумма плоских угловпри каждой вершине равна 180°.
(6) Развертка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
(7) Описанныйпараллелепипед прямоугольный.
(8) Тетраэдр имеет триоси симметрии.
(9) Общие перпендикулярыскрещивающихся ребер попарно
перпендикулярны.
(10) Средние линиипопарно перпендикулярны.
(11) Периметры гранейравны.
(12) Площади гранейравны.
(13) Высоты тетраэдраравны.
(14) Отрезки, соединяющиевершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
(15) Радиусы описанныхоколо граней окружностей равны.
(16) Центр тяжеститетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
(17) Центр тяжестисовпадает с центром вписанной сферы.
(18) Центр описаннойсферы совпадает с центром вписанной.
(19) Вписанная сферакасается граней в центрах описанных около этих
граней окружностей.
(20) Сумма внешнихединичных нормалей (единичных векторов,
перпендикулярных кграням), равна нулю.
(21) Сумма всех двугранныхуглов равна нулю.
Практически все свойстваравногранного тетраэдра следуют из его
определения, поэтомудокажем только некоторые из них.
Доказательство (16).
Т.к. тетраэдр ABCDравногранный, то по свойству (1) AB=CD. Пусть точка К отрезка АВ,а точка L середина отрезка DC, отсюда отрезок KL бимедианатетраэдра ABCD, откуда по свойствам медиан тетраэдра следует, что точка О — середина отрезка KL, является центром тяжести тетраэдра ABCD.
/>
К тому же медианытетраэдра пересекаются в центре тяжести, точке О, и делятся этой точкойв отношении 3:1, считая от вершины. Далее, учитывая вышесказанное и свойство(14) равногранного тетраэдра, получаем следующее равенство отрезков АО=ВО=СО=DО,из которого и следует, что точка О является центром описанной сферы (поопределению описанной около многогранника сферы).
Обратно. Пусть К иL — середины ребер АВ и СD соответственно, точка О — центр описанной сферы тетраэдра, т.е. середина отрезка KL. Т.к. О — центр описанной сферы тетраэдра, то треугольники AOB и COD — равнобедренные с равными боковыми сторонами и равными медианами OK и OL.Поэтому ΔAOB=ΔCOD. А значит AB=CD. Аналогичнодоказывается равенство других пар противоположных ребер, из чего по свойству(1) равногранного тетраэдра и будет следовать искомое.
Доказательство (17).
/>
Рассмотрим биссектордвугранного угла при ребре AB, он разделит отрезок DC в отношенииплощадей граней ABD и ABC.
Т.к. тетраэдр ABCDравногранный, то по свойству (12) SΔABD=SΔABD=>DL=LС,откуда следует, что биссектор ABL содержит бимедиану KL. Применяяаналогичные рассуждения для остальных двугранных углов, и принимая во вниманиетот факт, что биссекторы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая являетсяцентром вписанной сферы, получаем, что эта точка неминуемо будет центром тяжестиданного равногранного тетраэдра.
Обратно. Из того, чтоцентр тяжести и центр вписанной сферы совпадают имеем следующее: DL=LC=>SABD=SADC.Доказывая подобным образом равновеликость всех граней и, применяя свойство (12)равногранного тетраэдра, получаем искомое.
Теперь докажем свойство(20). Для этого сначала нужно доказать одно из свойств произвольного тетраэдра.
тетраэдртеорема школьный учебник
/>
Лемма 1.
Если длины векторовперпендикулярных к граням тетраэдра численно равны площадям соответствующихграней, то сумма этих векторов равна нулю.
Доказательство.
Пусть Х — точкавнутр и многогранника, hi (i=1,2,3,4) — расстояние от нее доплоскости i-ой грани.
Разрежем многогранник напирамиды с вершиной Х, основаниями которых служат его грани. Объемтетраэдра V равен сумме объемов этих пирамид, т.е. 3 V=∑hiSi,где Siплощадь i-ой грани. Пусть далее, ni- единичный вектор внешней нормали к i-ой грани, Mi — произвольная точка этой грани. Тогда hi =(ХMi, Sini),поэтому 3V=∑hiSi=∑(ХMi, Sini)=(ХО,Sini)+(ОMi, Sini)=(ХО, ∑Sini)+3V,где О — некоторая фиксированная точка тетраэдра, следовательно, ∑Sini=0.
Далее очевидно, чтосвойство (20) равногранного тетраэдра является частным случаем вышеуказаннойлеммы, где S1=S2=S3=S4=>n1=n2=n3=n4,и так как площади граней не равны нулю, получаем верное равенство n1+n2+n3+n4=0.
В заключение рассказа оравногранном тетраэдре приведем несколько задач на эту тему.
Задача 1.
Прямая, проходящая черезцентр масс тетраэдра и центр описанной около него сферы, пересекает ребра ABи CD. Докажите, что AC=BD и AD=BC.
Решение.
Центр масс тетраэдралежит на прямой, соединяющей середины ребер АВ и СD.
Следовательно, на этойпрямой лежит центр описанной сферы тетраэдра, а значит, указанная прямаяперпендикулярна ребрам АВ и СD. Пусть С` и D` — проекции точек C и D на плоскость, проходящую через прямую АВпараллельно СD. Т.к. AC`BD` — параллелограмм (по построению), то АС=ВDи АD=ВС.
Задача 2.
Пусть h — высотаравногранного тетраэдра, h1и h2- отрезки, на которые одна из высот грани делится точкой пересечениявысот этой грани. Доказать, что h2=4h1h2;доказать также, что основание высоты тетраэдра и точка пересечения высот грани,на которую эта высота опущена, симметричны относительно центра окружности,описанной около этой грани.
Доказательство.
Пусть АВСD — данный тетраэдр, DH — его высота, DA1, DВ1, DС1- высоты граней, опущенные из вершины D на стороны ВС, СА и АВ.
Разрежем поверхностьтетраэдра вдоль ребер DA, DB, DC, и сделаем развертку. Очевидно, что Несть точка пересечения высот треугольника D1D2D3.Пусть F — точка пересечения высот треугольника ABC, АК — высотаэтого треугольника, АF=h1, FК=h2. Тогда D1Н=2h1,D1A1=h1-h2.
Значит, поскольку h — высота нашего тетраэдра, h2=DН2=DA2 — НA12=(h1+ h2)2 — (h1 — h2)2=4h1h2.Пусть теперь М — центр тяжести треугольника ABC (он жецентр тяжести треугольника D1D2D3), О — центр описанной около него окружности. Известно, что F, М и Олежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем М — между F и О,FM=2МО, С другой стороны, треугольник D1D2D3гомотетичен треугольнику АВС с центром в М и коэффициентом(-2), значит МН=2FM. Из этого следует, что ОН=FO.
Задача 3.
Доказать, что вравногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечениявысот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек).
Доказательство.
Решая задачу 2, мыдоказали, что центр описанной около тетраэдра сферы проецируется на каждуюгрань в середину отрезка, концами которого является основание высоты, опущеннойна эту грань, и точка пересечения высот этой грани. А поскольку расстояние отцентра описанной около тетраэдра сферы до грани равно />, где h — высота тетраэдра, центр описаннойсферы удален от данных точек на расстояние />, где а — расстояние между точкой пересечениявысот и центром описанной около грани окружности.
§5.Инцентрические тетраэдры
Отрезки, соединяющиецентры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианытетраэдра), всегда пересекаются в одной точке, эта точка — центр тяжеститетраэдра. Если в этом условии заменить центры тяжести граней на ортоцентрыграней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра.Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногдаинцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
Признаки классаинцентрических тетраэдров тоже довольно интересны.
(1) Отрезки,соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных впротивоположные грани, пересекаются в одной точке.
(2) Биссектрисыуглов двух граней, проведенному к общему ребру этих граней, имеют общееоснование.
(3) Произведениядлин противоположных ребер равны.
(4) Треугольник,образованный вторыми точками пересечения трех ребер, выходящих из однойвершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих ребер, являетсяравносторонним.
Доказательство (2).
По свойству (1), если DF,BE, CF, AM — биссектрисы соответственных углов в треугольниках АВС иFBD, то отрезки КС и LD будут иметь общую точку I(см. рис). Если же прямые DK и СL не пересекаются в точке F,то, очевидно, КС и DL не пересекаются, чего быть не может (поопределению инцентрического тетраэдра).
Доказательство (3).
Учитывая свойство (2) исвойство биссектрисы, получаем соотношения:
/> ; /> /> /> .
§6. Соразмерные тетраэдры
Соразмерными называютсятетраэдры, у которых
(1) Бивысотыравны.
(2) Проекциятетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб.
(3) Граниописанного параллелепипеда равновелики.
(4) 4а2а12 — (b2+b12-c2-c12)2=4b2b12-(c2+c12-a2-a12)2=4c2c12-(a2+a12-b2-b12)2,где а и а1, b и b1, си с1 — длины противоположных ребер.
Для доказательстваэквивалентности определений (1) — (4) достаточно заметить, что бивысотытетраэдра равны высотам параллелограмма, являющегося его проекцией,упоминавшейся в свойстве (2), и высотам описанного параллелепипеда, и чтоквадрат площади параллелепипеда, содержащей, скажем, ребро с, равен />, а скалярное произведение /> выражается через ребра тетраэдра по формуле (4).
Добавим сюда ещё дваусловия соразмерности:
(5) Длякаждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные через одноиз них и середину второго, перпендикулярны.
(6) Вописанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.
§7.Правильные тетраэдры
Если ребра тетраэдраравны между собой, то равны между собой будут и трехгранные, и двугранные, иплоские углы. В таком случае тетраэдр называется правильным. Заметим также, чтотакой тетраэдр является и ортоцентрическим, и каркасным, и равногранным, иинцентрическим, и соразмерным.
Замечание 1.
Если тетраэдр являетсяравногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров:ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, то он будет иправильным.
Замечание 2.
Тетраэдр являетсяправильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных:ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
Свойства правильноготетраэдра:
Каждая еговершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов прикаждой вершине будет равна 180º
(0)В правильныйтетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будутсовмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будутсовмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
(1)Правильныйтетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров(по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше реберправильного тетраэдра
(2)Правильныйтетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдрабудут совмещены с четырьмя вершинами куба.
(3)Правильныйтетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будутсовмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Задача 1.
Доказать, чтоскрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.
Решение:
Пусть DH – высотаправильного тетраэдра, точка H – центр правильного ΔABC. Тогда проекцией отрезка AD наплоскость основания ABC будет отрезок BH. Т.к. BH/>AC, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная BD AC.
Задача 2.
Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. найдите расстояние междупрямыми AL и МО, где L-середина ребра МС, О-центрграни АВС.
Решение:
1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длинаперпендикуляра, опущенного из одной прямой, к плоскости, параллельной этойпрямой и содержащей вторую прямую.
2. Строим проекцию AK отрезка AL на плоскость ABC.Плоскость AKL перпендикулярна плоскости ABC, параллельна прямой MOи содержит прямую AL. Значит, искомая длина — это длина перпендикуляра ON,опущенного из точки O к AK.
3. Найдем SΔKHAдвумя способами.
SΔ=/>.
С другой стороны: SΔKHA=/>
поэтомуρ/> .
Найдём ON: /> ρ/>= /> .
Задача 3.
Каждое ребро треугольной пирамиды PABC равно 1;BD – высотатреугольника ABC .Равносторонний треугольник BDE лежит вплоскости, образующей угол ϕ с ребром AC , причёмточки P и E лежат поодну сторону от плоскости ABC .Найдите расстояние между точками P и E .
Решение. Поскольку все рёбрапирамиды PABC равны, это правильный тетраэдр. Пусть M – центр основания ABC , N– ортогональная проекция вершины E равностороннеготреугольника BDE на плоскость ABC , K– середина BD , F– основание перпендикуляра, опущенного из точки E на высоту PM тетраэдра PABC . Так как EK /> BD , то по теореме о трёхперпендикулярах NK /> BD , поэтому EKN – линейный уголдвугранного угла, образованного плоскостями ABC и BDE , а т.к. NK || AC , то /> EKN = ϕ . Далее имеем:
BD=/> , MD= />, KD= />, BD= />, PM= />,
KM= KD— MD= /> - /> = />, EK= BD· /> = />, EN= EKsinϕ= /> sinϕ,
NK= EK cos ϕ= /> cos ϕ, MN2 = NK2 + KM2 = /> cos 2ϕ+ />,
PE2 = EF2 +PF2 = MN2 + (PM — MF)2 = MN2 + (PM- EN)2 =
= /> cos 2ϕ+/> + (/> - /> sin ϕ)2 = /> cos 2ϕ+ /> + /> - /> sin ϕ+ /> sin 2ϕ== /> + /> + /> - /> sin ϕ= /> - /> sin ϕ= /> - /> sin ϕ.
Следовательно,
PE =/> =/>.
Задача 4.
Найди углы междускрещивающимися высотами соседних граней тетраэдра.
Решение.
Случай №1.
Пусть BK и DF– высоты граней ABC и BCD. />BK, FD = α. Обозначим длину ребра тетраэдра какa. Проведем FL || BK, тогда α=/>DFL. />, KL=LC.
/>
Запишем теорему косинусовдля ΔDLF:
/>; />; />; />.
Случай №2 (высота расположена иначе).
BK и CN – высоты граней ABC и BCD. Проведем FP|| CN и FL|| BK. /> /> />; />. Найдем LP.DO – высота правильноготетраэдра, DO=/> , Q– проекция P на плоскость ABC, /> . />, />
/> ;
/> .
Запишем теорему косинусовдля ΔLFP:
/>; />;
/>.
Так как угол междупрямыми по определению острый
/>.
Глава II.Тетраэдр в курсе математики средней школы
§1.Сравнительная характеристика изложения темы «тетраэдр» в школьных учебниках
Вшкольном курсе геометрии на изучение основ темы «Тетраэдр» отводится достаточномного времени. Методических проблем проведения этой темы практически невозникает, так как учащиеся знают, что такое пирамида (в т.ч. и треугольная),как из пропедевтических курсов прежних лет обучения математики, так изжизненного опыта. Правильный тетраэдр ассоциируется с его плоским аналогом — правильным треугольником, а равенство сторон с равенством ребер или граней.
Однакопроблемы в изучении темы для учащихся существуют, и разные учебники пытаютсярешить их разными способами (порядком изложения теоретического материала,уровнем сложности задач и т.п.). Дадим краткую характеристику распространенныхучебников геометрии в аспекте изучения тетраэдра.
Изложение темы«Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Атанасяна Л. С. и др.
В базовомучебнике «Геометрия» для 10-11 классов средней школы Атанасяна Л. С. и др.информацию о тетраэдре можно найти в 7 параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).
Авторыучебника определяют тетраэдр как поверхность, составленную из четырёхтреугольников. Из теоретической базы учебника для 10 класса можно почерпнутьзнания о гранях, рёбрах и вершинах тетраэдра, о построении сечений тетраэдраплоскостью, вычислении площади полной поверхности тетраэдра, в т.ч. иусечённого (глава III, § 2 «Пирамида»).
Далеерассматриваются правильные многогранники и элементы симметрии правильныхмногогранников. Формула нахождения объёма пирамиды приводится в заключительнойглаве учебника (глава VII «Объемы тел»).
Теоретическийматериал учебника изложен компактно и стилистически единообразно. Некоторыйтеоретический материал расположен в практической части учебника (доказательстванекоторых теорем производится в задачах). Практический материал учебникаразделён на два уровня сложности (есть т.н. «задачи повышенной трудности»,отмеченные специальным символом «*»). Кроме того, в конце учебника естьзадачник с задачами высокой сложности, некоторые из которых касаются тетраэдра.Рассмотрим некоторые задачи учебника.
Решениезадач.
Задача 1(№300).В правильной треугольной пирамиде DABC точки E, F и P — середины сторон BC, AB и AD. Определите вид сечения инайдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна a, боковоеребро равно b.
Решение.
Строим сечение плоскостью, проходящей через точкиE, F, P. Проведём среднюю линию треугольника ABC, EF || AC,/>
EF || AC, а AC лежит в пл. DCA, значит EF || пл.DCA. Плоскость сечения пересечёт грань DCA по прямой PK.
Т.к. плоскость сечения проходит через прямую EFпараллельную плоскости DCA и пересекает плоскость DCA, толиния пересечения PK параллельна прямой EF.
Построим в грани BDA отрезок FP, ав грани BDC — отрезок EK. Четырёхугольник EFOK и естьискомое сечение. EF || AC, PK || EF || AC, />, />, значит />.
Т.к. PK || EF и PK = EF, то EFPK- параллелограмм. Таким образом, EK || EP, EP — средняя линиятреугольника BCD, />.
Угол между скрещивающимися прямыми DB и CAравен 90°. Докажем это. Построим высоту пирамиды DO. Точка O — центр правильного треугольника ABC. Продолжим отрезок BO допересечения со стороной AC в точке M. В правильном треугольнике ABC:BM — высота, медиана и биссектриса, следовательно/>. Имеем,что />, />, тогдапо признаку перпендикулярности прямой и плоскости />,тогда />.
Т.к. />, PK ||CA и EK || BD, то /> и EFPK — прямоугольник.
/>.
Задача 2(№692).
Основаниемпирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и b.Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объём пирамиды
Решение:
ABCD — пирамида, уголABC — прямоугольный,AC = b, BC = a, углыDAO, DBO, DCO равны. НайдемVDABC0.
1)∆DAO=∆ADC=∆DBO по катету и острому углу, значитAO=OC=OB=R окружности, описанной около∆ABC. Т.к. ∆ABC- прямоугольный, то/>.
2)Из ∆DOC: />; />.
3)/>; />; />.
Изложение темы«Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 7-11 классов Погорелова А.В.
В другом базовомучебнике А.В. Погорелова и др.теоретический материал в той или инойстепени касающийся темы «Тетраэдр» содержится в пунктах 176-180, 186, 192, 199,200.
В пункте 180“Правильные многогранники” содержится определение понятия «правильный тетраэдр»(“Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все рёбраравны”), доказательство некоторых свойств и теорем о пирамиде проиллюстрированочертежами тетраэдра. Однако в данном учебном пособии акцент на изучении фигурыне ставится, и в этом смысле его информативность (касательно тетраэдра) можнооценить как низкую. Практический же материал учебника содержитудовлетворительное количество заданий, касающихся пирамиды, в основании которойрасположен треугольник (что по сути и есть тетраэдр). Приведём примеры решениянекоторых задач.
Решениезадач.
Задача 1 (№41 из пункта «Многогранники»).
Основаниепирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, абоковая сторона — 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранныеуглы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.
Решение:
ПроведемперпендикулярSO к плоскости основания и перпендикулярыSK, SM иSN к сторонамΔABС. Тогда по теореме о трех перпендикулярахOK/>BC, ОМ/>АС и ON/>AB.
Тогда,/>SKO = />SMO = />SNO = 45° — как линейные углы данныхдвугранных углов. А следовательно, прямоугольные треугольники SKO, SMO иSNO равны по катету и острому углу. Так чтоOK=OM=ON, то естьточкаО является центром окружности, вписаннойвΔАВС.
Выразимплощадь прямоугольникаАВС:
/>(см)
С другойстороны, />.Так что/>; ОК=r=3 см. Так как впрямоугольном треугольникеSOK острый угол равен45°, тоΔSOK является равнобедренным иSO=OK=3(см).
Задача 2(№ 43 из пункта «Объёмы многогранников»).
Найдите объемпирамиды, имеющий основанием треугольник, два угла которогоa и β;радиус описанного кругаR. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскостиее основания под угломγ.
Решение.
Так как всебоковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем жеуглом, то высота пирамидыO1O проходит через центр описаннойоколо основания окружности. Так что/>
Далее, впрямоугольном/>: />.
ВΔАВС />.Тогдасогласно теореме синусов
/>.
Так что/>, />, />=
=/>.
Площадьтреугольника/>:
/>.
Тогда/>.
Изложение темы«Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Александрова А.Д.
Рассмотрим учебноепособие Александрова А.Д. и др. «Геометрия: учебник для учащихся 11 кл. суглубленным изучением математики». Отдельных параграфов, посвящённых тетраэдрув этом учебнике нет, однако тема присутствует в виде фрагментов другихпараграфов.
Впервые тетраэдрупоминается в §21.3. В материале параграфа рассматривается теорема отриангуляции многогранника, в качестве примера выполняют триангуляцию выпуклой пирамиды.Само понятие «многогранник» в учебнике трактуется двумя способами, второеопределение понятия напрямую связано с тетраэдром: «Многогранник – это фигура,являющаяся объединением конечного числа тетраэдров…». Познания, касающиеся правильнойпирамиды и некоторых аспектов симметрии тетраэдра можно обнаружить в §23.
В §26.2 описаноприменение теоремы Эйлера («о правильных сетях») для правильных многогранников(в т.ч. для тетраэдра), а в §26.4 рассматриваются виды симметрий, характерныедля этих фигур.
Формулу для нахожденияобъёма пирамиды авторы вводят в задаче №30.1(2), а площадь боковой поверхностипирамиды вводится в материале параграфа «Площадь поверхности конуса и цилиндра»(§32.5).
Также, в учебнике можнонайти информацию о средней линии тетраэдра, центре масс (§35.5) и классеравногранных тетраэдров. Движения I и II рода демонстрируются в ходе решениязадач о тетраэдрах.
Отличительная особенностьучебника — высокая научность, которую авторам удалось совместить с доступнымязыком и чёткой структурой изложения. Приведём примеры решения некоторых задач.
Решениезадач.
Задача 1.
В даннуюправильную треугольную усечённую пирамиду с боковым ребром a можно поместитьсферу, касающуюся всех граней, и сферу, касающуюся всех рёбер. Найдите стороныоснований пирамиды.
Решение.
Изобразим начертеже «полную» пирамиду. Данная пирамида />, /> — высота «полной» пирамиды, /> — ее часть до верхнего основанияусеченной. Задача сводится к планиметрической, при этом не надо рисовать ни однойиз данных сфер. Т.к. в усеченную пирамиду можно вписать сферу, касающуюся всехребер, то в её боковую грань можно вписать окружность. Обозначим />, /> (для удобства деления пополам) и дляописанного четырехугольника /> получим, что />, откуда
/>. (1)
Изсуществования вписанного шара следует, что существует полуокружность,расположенная в трапеции /> (/>— апофема «полной» пирамиды) так, что еецентр лежит в середине />, а сама она касаетсяостальных трёх сторон трапеции.
/> — центр шара, /> и /> — точки касания. Тогда />. Выразим эти величину через /> и />. Из />: />. Из />: />. Из трапеции />: />. Получаем уравнение:
/>.(2)
Решив системууравнений (1) и (2), получим, что стороны оснований равны />.
Задача 2.
Внутриправильного тетраэдра с ребром a расположены четыре равные сферы так,что каждая сфера касается трех других сфер и трех граней тетраэдра. Найтирадиус этих сфер.
Решение.
/> — данный тетраэдр, /> — его высота, /> — центры сфер, /> — точка пересечения прямой/> с плоскостью />. Заметим, что центры равных сфер />, касающихся плоскости />, удалены от нее на равные расстояния,каждое из которых равно радиусу шара (обозначием его как x). Значит плоскости/>и /> параллельны, а потому />.
Далее, каждаяпара шаров касается между собой, а потому расстояние между центрами равно суммеих радиусов, то есть 2x. Имеем:
/>. Но />как высота правильного тетраэдра с ребром />; />как высота правильного тетраэдра с ребром 2x; />.
Осталосьвыразить />. Заметим, что точка /> находится внутри трехгранного угла иудалена от его граней на расстояние />, а плоские углы трехгранного угла равны />. Не сложно получить то, что />. Приходим к уравнению:
/>, откуда после упрощений получаем />.
Изложение темы«Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Смирновой И.М.
Изложению темы «Тетраэдр»в учебнике для 10-11 классов гуманитарного профиля Смирновой И.М. посвящены следующие занятия: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.
Послеизучения теоремы о том, что «Всякий выпуклый многогранник может быть составлениз пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхностьмногогранника» рассматривается теорема Эйлера для некоторых такихмногогранников, в частности, выполнение условий теоремы рассмотрено и длятреугольной пирамиды, которая, в сущности, и есть тетраэдр.
Учебникинтересен тем, что в нём рассматривается топология и топологически правильныемногогранники(тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр), чье существованиеобосновывается при помощи той же теоремы Эйлера.
Помимо этогов учебнике приведено определение понятия «правильная пирамида»; рассматриваютсятеоремы о существовании вписанной и описанной сфер тетраэдра, некоторыесвойства симметрии, касающиеся тетраэдра. На заключительном занятии (35)приводится формула нахождения объёма треугольной пирамиды.
Для данногоучебного пособия характерен большой объем иллюстративного и исторического материала,а также небольшой объём практического материала, обусловленный направленностьюучебника. Рассмотрим также учебник Смирновой И.М. и др. для 10-11 классовестественно-научного профиля.
Изложение темы«Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Смирновой И.М. и др.
От предыдущего учебногопособия данное отличается компоновкой тем и уровнем сложности предлагаемых крешению задач. Отличительной особенностью изложения материала является делениеего на «семестры», которых в учебнике четыре. Тетраэдр упоминается в самомпервом параграфе («Введение в стереометрию»), понятие «пирамида» определяетсяв §3.
Как и в предыдущемучебнике практический материал дополнен заданиями с развёрткойстереометрических фигур. В материале §26 можно найти теорему о сфере, вписаннойв тетраэдр. Остальной теоретический материал, касающийся тетраэдра, фактическисовпадает с материалами учебника, охарактеризованного выше.
Решениезадач.
Задача1.
Найдитекратчайший путь по поверхности правильного тетраэдра ABCDсоединяющий точки E и F, расположенные навысотах боковых граней в 7 см от соответствующих вершин тетраэдра. Ребротетраэдра равно 20 см.
Решение.
Рассмотримразвертку трех граней тетраэдра. Кратчайшим путем будет отрезок, соединяющийточки E и F. Его длина равна20 см.
Задача 2.
В основаниипирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см,а прилежащий к нему острый угол равен 30 градусам. Все боковые ребра пирамидынаклонены к плоскости основания под углом в 60 градусов. Найдите объем пирамиды.
Решение.
Площадьтреугольника ABC равна />. Основанием высоты /> служит середина />. Треугольник SAC — равносторонний./>.
Отсюда /> и, следовательно, объем пирамиды равен />.
Вывод.
Отличительнойособенностью учебника Атанасяна Л.С. и др. является то, что изучение тетраэдраначинается достаточно рано, материал разбросан по всему курсу и представлен вразличных уровнях сложности. В учебнике Погорелова А.В. материал расположенкомпактно, понятие «тетраэдр» как и понятия других пространственных фигур,вводится достаточно поздно (в конце 10 класса), практический материал,представленный в учебнике, небольшого объема. В учебнике Смирновой И.М. и др. теоретическийматериал, как и практический имеет небольшой объем, практический задания низкогоуровня сложности, учебник отличается большим объём материала из историиматематики. В учебнике Александрова А.Д. и др. уровень сложности материалавыше, сам материал разнообразнее, множество практических заданий содержитнекоторую часть теории, имеются экстремальные задачи и задачи в виде вопросов,что выгодно выделяет его на фоне остальных.
§2. Тестированиеуровня развития пространственного мышления у учеников средней школы
Интеллект —это способность к обучению или пониманию, которая присуща всем людям. Одни людиобладают ею в большей степени, другие — в меньшей, однако у каждого человека втечение жизни эта способность сохраняется практически без изменений. Именноблагодаря интеллекту мы способны правильно действовать и учиться на своихошибках.
В психологииинтеллект определяется, как способность воспринимать знания и использовать их вдругих, принципиально новых ситуациях. В условиях тестирования можно определить,насколько успешно адаптируется человек к необычным ситуациям. Определениеуровня общего интеллектуального развития посредством теста – довольно трудная иёмкая по времени работа, поэтому в тексте данной работы будет использоватьсячасть методики тестирования интеллекта, отвечающая на вопрос об уровне развитияпространственного мышления. Пространственноемышление – это специфический вид мыслительной деятельности,которая имеет место в решении задач, требующих ориентации впрактическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображённом). В своихнаиболее развитых формах это мышление образцами, в которых фиксируютсяпространственные свойства и отношения. Оперируя исходными образами, созданнымина различной наглядной основе, мышление обеспечивает их видоизменение,трансформацию и создание новых образов, отличных от исходных.
Используемыйтест («Мини-тест уровня развития пространственного мышления» из «Первого тестана коэффициент развития интеллекта» Ф. Картера, К. Рассела) универсален длявсех возрастных групп и занимает малый объём времени (30 минут). Текст теста иего ключи можно найти в «Приложении №1» к диплому.