МОУ ДОД ДВОРЕЦТВОРЧЕСТВА ДЕТЕЙ И МОЛОДЁЖИ
г.РОСТОВА-НА-ДОНУ.
ДОНСКАЯАКАДЕМИЯ НАУК ЮНЫХ
ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯРАБОТА НА ТЕМУ:
Изгибаемыемногогранники.
ОктаэдрБрикара. Флексор Штеффена
г. Ростов-на-Дону
2007 год
ПЛАН
Введение
1 Исторические сведения
2 Основные понятия
3 Изгибаемые многогранники Коннелли
4 Гипотеза кузнечных мехов
5 Применения
6 Октаэдр Брикара
7 Флексор Штеффена
Заключение
Список используемой литературы
ВВЕДЕНИЕ
Исторически и генетическигеометрическая деятельность является первичной интеллектуальной деятельностьючеловечества в целом и каждого человека в отдельности. Геометрия – это нетолько раздел математики, школьный предмет, это, прежде всего феноменобщечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного метода познаниямира. Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаемпредставление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимномрасположении и т.д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности.
Тема «Многогранники»,выбранная для исследования автором работы актуальна, так как это одна изважнейших тем курса стереометрии. Наряду с изучением свойств различныхпространственных объектов, проводится обобщение и систематизация геометрическихзнаний, полученных в основной школе, четко прослеживается единство планиметриии стереометрии – основных разделов школьного курса геометрии.
Многогранникипредставляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, какмногоугольники – простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видимежедневно: спичечный коробок, книга, комната – прямоугольные параллелепипеды;молочные пакеты – тетраэдры; граненый карандаш, гайка дают представления опризмах.
Многие архитектурныесооружения или их детали представляют собой пирамиды или усеченные пирамиды –такие формы имеют знаменитые египетские пирамиды или башни Кремля. Многиемногогранные формы не имеют специальных названий. С чисто геометрической точкизрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками– гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самогомногогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность.
Многогранники,равно как и ограничивающие их многогранные поверхности, традиционно занимаютпочетное место в школьном курсе стереометрии. Цель работы – изучить материал,касающийся изгибаемых многогранных поверхностей. В последние 20 лет теориятаких поверхностей привлекает пристальное внимание профессиональных геометров.
1 ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Первый значительный результат в теории изгибаний многогранников получил Огюстен Коши, чья теорема, доказанная в 1813 году, утверждает, что любой выпуклый многогранник неизгибаем.
Приведемдоказательство этой теоремы. Для начала рассмотрим теорему Коши оединственности.
Теорема. Два выпуклыхмногогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том жепорядке, равны.
/> />
рис. 1. Выпуклый и невыпуклый многогранники
Обратимся кмногогранникам, показанным на рисунке 1. Башня с четырёхскатной крышей накубическом основании и башня с продавленной крышей составлены из соответственноравных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке. Но они неравны друг другу. Один из них невыпуклый, а, как доказал Коши, в классевыпуклых многогранников подобная ситуация невозможна.
Эта теоремаобъясняет, почему модель выпуклого многогранника не деформируется, или, как ещёговорят, не изгибается.
Теорема. Выпуклый многогранникнеизгибаем.
Действительно,допустим, что выпуклый многогранник M изгибаем. Тогда существует другой, неравный ему многогранник M', двугранные углы которого мало отличаются отсоответствующих углов многогранника M. Если отличие углов достаточно маленькое,то многогранник M' также выпуклый. А так как соответственные грани этих многогранниковравны, то, по теореме Коши, и сами многогранники конгруэнтны.
Однаковопрос, однозначно лизадаётся форма многогранной поверхности своими гранями или она может менятьсяза счёт изменения двугранных углов, интересовал математиков задолго до Коши.
В XI книге знаменитых «Начал» Евклида многогранникиопределяются как равные, если они составлены из соответственно равных граней,взятых в одинаковом порядке. Впоследствии многие высказывали мнение, что это,собственно, не определение, а утверждение, нуждающееся в доказательстве. Приэтом все верили в его справедливость, а в 1776 году великий математик ЛеонардЭйлер высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускаетизменений, пока не рвётся». Под «замкнутой пространственнойфигурой» понималось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью,т. е. поверхностью без края. Таким образом, предположение Эйлера относилось нетолько к многогранным, но и к произвольным поверхностям. Теорема Кошиподтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников, а также то, чторавенство выпуклых многогранников можно определять по Евклиду.
На протяжениидвух веков геометры верили, что не только любой выпуклый, но и любой невыпуклыймногогранник тоже неизгибаем.
/>
рис. 2. Октаэдр Брикара
Первые сомнения в этом зародились в 1897 году, после того какфранцузский математик Р. Брикар доказал, что существуют изгибаемые октаэдры.
Легко заметить, что октаэдр Брикара имеет самопересечения (рис. 2). И хотя после Брикара исследования изгибаемых октаэдров разнымидругими методами продолжались, но главного результата — примера изгибаемого и не имеющего самопересечений многогранника все не было и не было. Более того, в 1974 г. американский математик Г.Глак доказал,что в некотором смысле почти все многогранники неизгибаемы, и поэтомупоиск изгибаемого многогранника без самопересечений считался почти безнадежным. Тем не менее в 1977 г. американский математик Р.Коннелли сумел построить такой многогранник — весьма сложнуюконструкцию с 18 вершинами. Коннэлли назвал такие многогранники флексорами[1].
Вскоре после Коннелли немецкий математик Клаус Штеффен предложил еще один многогранник, всего с 9 вершинами, которыйдо сих пор остается самым простым примером вложенногоизгибаемого многогранника. Отметим, что примеру Штефена уже более 20 лет,но вопрос о существовании изгибаемого многогранника без самопересечений сменьшим (чем девять) числом вершин пока остается открытым.
Почти сразу же после построения изгибаемых многогранниковобнаружилось, что все они обладают удивительным свойством: в ходе изгибания ихобъем остается неизменным. Неизвестно, кто заметил это свойство первым. Вавгусте 1978 г. на Международном математическом конгрессе в Хельсинки Коннелливысказал гипотезу о том, что оно является общим для всех изгибаемыхмногогранников. Не было никакой уверенности в справедливости гипотезы.По-видимому, многие склонялись к мысли, что она неверна, и искали контрпримеры.При этом были и курьезные случаи. Рассказывают, что на Западе на одной изнаучных выставок как опровержение этой гипотезы демонстрировали модель«изгибаемого» многогранника, из которой при ее деформации со свистомвыходил воздух, так что на ней можно было играть, как на волынке. Но позжевыяснилось, что в математическом смысле модель неизгибаема, а ее«изгибания» — следствие растяжения материала.
2 ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯ
Многогранной поверхностьюв пространственазывается поверхность, составленная из конечного числа многоугольников. Этимногоугольники являются гранями многогранной поверхности, а стороны граней — ееребрами.
Две фигуры (в частностидва многогранника) называют конгруэнтными, если они эквивалентны друг другу, тоесть совпадают при наложении.
Если у многогранника есть ребро, принадлежащее всего однойграни, то это – многогранник с краем. Если же каждое ребро принадлежит двумграням, многогранник называют замкнутый. У замкнутого многогранника края нет.
Многогранные поверхности с самопересечениями — это такиеповерхности, у которых грани могут иметь общие точки, не являющиеся вершинамиданной многогранной поверхности и не принадлежащие ее ребрам.
Многогранную поверхность называют выпуклой, если плоскость,проходящую через любую ее грань, оставляет остальные ее грани по одну сторону.
Многограннаяповерхность называется изгибаемой, если непрерывным изменением двугранных угловпри ее ребрах можно изменить пространственную форму поверхности. Поэтомунезамкнутая многогранная поверхность, составленная из двух треугольников, соединенныхвдоль одного ребра, является изгибаемой.
Изгибанием многогранника называется такая непрерывная его деформация, прикоторой изменяется хотя бы один из двугранных углов при ребрах, но граниостаются конгруэнтными (равными) исходным. Иначе говоря, в теории изгибанийграни многогранника рассматриваются как абсолютно твердые пластинки, способныевращаться вокруг ребер и вершин. На «инженерном» языке это означает,что вдоль ребер грани имеют шарнирные связи, а вершины многогранника считаютсясферическими шарнирами. Если многогранник допускает деформацию такого вида, онназывается изгибаемым, в противном случае — неизгибаемым. Движениямногогранника в пространстве как твёрдого тела не являются его изгибаниями, таккак при таком движении ни один двугранный угол не изменяется. Поэтому такиедвижения иногда называют тривиальными изгибаниями, а те деформации, о которыхшла речь в определении изгибаний, называют нетривиальными изгибаниями. Очевидно,требование изменения в ходе нетривиального изгибания хотя бы одного двугранногоугла можно заменить требованием изменения хотя бы одной диагоналимногогранника.
Возможность простого перемещения многогранника в пространстве кактвёрдого тела, т. е. без изменения его двугранных углов, используется дляфиксации положения каких-либо «элементов» многогранника в ходе его изгибания.Делается это так: к деформации нетривиального изгибания многогранника добавляютдвижение, подобранное так, чтобы рассматриваемый элемент вернулся в исходноеположение. Пусть, например, требуется, чтобы данная треугольная грань ABC была неподвижна. Еслипосле деформации изгибания грань «ушла» из своего исходного положения, тосначала параллельным переносом вернём, скажем, точку A из нового в старое еёположение, затем вращением вокруг точки A приведём в совпадение с прежнимиположениями вершины B и C.
Простейший пример изгибания многогранника — открытие или закрытиекниги с твердой обложкой (многогранник может иметь край). Примеры посложнее:трёхгранный угол неизгибаем, а n-гранный угол при п>3 изгибаем. Еслимногогранник ещё сложнее, а особенно если он замкнутый, т. е. не имеет края,исследование его изгибаемости — сложная задача, так как изгибания всехмногогранных углов должны быть согласованы между собой.
Октаэдр – правильный многогранник, который представляет собойчетырехугольную бипирамиду. Октаэдр имеет 12 ребер, 6 вершин и 8 граней.
Октаэдр Брикара – это изгибаемый октаэдр, имеющий самопересечения
Флексором называется изгибаемая многогранная поверхность. Наименьшее число вершин среди всех замкнутых изгибаемыхмногогранных поверхностей без самопересечений имеет многогранная поверхностьШтеффена. Другими словами, если замкнутаямногогранная поверхность без самопересечений имеет менее девяти вершин, то онане является изгибаемой.
3. ИЗГИБАЕМЫЕМНОГОГРАННИКИКОННЕЛЛИ
рис. 5
рис. 4 />
Рис.3
Изгибаемые многогранники Коннелли – это изгибаемые многогранники, которые не имеют самопересечений (т. е. являются вложенными впространство). Основная идея — попытаться построить изгибаемый многогранник,устранив самопересечения в октаэдрах Брикара. Рассмотрим изгибаемый октаэдрБрикара первого типа, у которого грани дважды покрывают прямоугольник ABCD (рис. 3); L — точка пересечения диагоналей прямоугольника, через которую перпендикулярнок плоскости чертежа проходит ось симметрии l четырёх-звенника ABCD. Сначала сведём к минимуму возможные самопересечения. Дляэтого в четырёхгранном угле NABCD заменимкаждую грань тремя боковыми гранями тетраэдров, обращённых вершинами вверх,оставив рёбра основания на своём месте в прямоугольнике, причём выберемрасположения всех 12 граней так, чтобы они между собой не пересекались (длячего достаточно, чтобы вершины тетраэдров проектировались внутрь треугольников,которые они заменяют). Получим многогранник, составленный из четырёх тетраэдровбез основания, как на рис. 4, и назовём этот многогранник «крышкой».
/>
Рис.4
Аналогичным образом заменим грани четырёхгранного угла SABCD тетраэдрами вершинами вниз и получим«дно» будущего многогранника (рис. 5).
При изгибании четырёхгранных углов NABCD и SABCD их рёбра как-то перемещаются, и ониавтоматически определяют движения боковых граней построенных тетраэдров.
/>
Рис.5
«Крышка» и «дно» склеены между собой по сторонам прямоугольникаABCD, и они вместе образуют замкнутый изгибаемый многогранник Q, состоящий из 24 боковых граней 8 тетраэдров. В отдельности на«крышке» и «дне» по построению самопересечений нет. Боковые грани и рёбратетраэдров «крышки» и «дна» располагаются по разные стороны от общей плоскостиих оснований, поэтому они тоже не пересекаются. Но рёбра на основаниитетраэдров остались те же, что были в прямоугольнике на рис. 3. Видно, что естьвсего две точки самопересечения — точки a и b. Наша задача — убрать этисамопересечения. В многограннике Q самопересечениевыглядит как на рис. 6, т. е. фактически оно является самокасанием: в точке a касаютсярёбра двух двугранных углов. Коннелли сумел изменить один двугранный угол вокрестности точки a так, чтобы исчезло самокасание, а новые элементы конструкцииизгибались согласованно с изгибанием изменённого двугранного угла, состоящим внепрерывном изменении раствора двугранного угла.
/>
Рис.7
Для этого рассмотрим октаэдр Брикара второго типа. Пусть дансамопересекающийся плоский четырёхзвенный механизм ABCD с равными противоположными сторонами AB = CD, BC=AD (рис. 7). Легко показать, что вершины этого четырёхугольникаявляются вершинами равнобочной трапеции, поэтому вокруг ABCD можно описать окружность. Центр O ирадиус R окружности зависят от a = ZABC. Четырёхзвенник ABCD может изменять свою форму ссохранением длин своих сторон (т. е. он может изгибаться), оставаясь наплоскости и имея сторону DC в неподвижном положении.При этом в новых положениях вершины четырёхугольника по-прежнему будутвершинами равнобочной трапеции и новое положение центра O(a) описанной окружностии её радиус R(a) приизгибании четырёхугольника ABCDна плоскости изменяются непрерывно вместе с a. Возьмём теперь над и под точкойO(a) две точки N и S на одинаковомрасстоянии h(a) отO(a) (можно и на разных расстояниях, с соответствующими изменениями вдальнейших рассуждениях), таком, чтобы R2(a) + h2(a) = d2 = constи соединим N(a) и S(a) отрезками длины d сточками A(a), B(a), C и D. После «обшивки» каркаса плоскими треугольникамиполучится октаэдр P, у которого есть плоскость симметрии, проходящая черезточки N и S перпендикулярно прямой AC, т. е. мыполучили октаэдр Брикара второго типа. Его изгибания определяются изгибаниямиплоского четырёхзвенногомеханизма ABCD. Удалим из P двеграни, дающие самопересечения: NDC и SDC. Останется многогранник Р' с краем, изображённый на рис. 8.Хотя ребра CD и нет, в ходе изгибания многогранникаР' как части P расстояние CD остаётсяпостоянным, так как оно равно длине ребра CD в октаэдре P.
При этом же изгибании расстояние NS, равное2h(a), изменяется,поэтому изменяется угол между плоскостями удалённых граней NDC и SDC, причём точки D и C при этом можно считать остающимисяна месте. Используем это обстоятельство для того, чтобы изменить двугранныйугол на рис. 6, вставив туда соответствующим образом подобранный многогранник Р',который для краткости и большей ясности будем называть «зарубкой Коннелли».Пусть T — биссекторная плоскость, скажем, верхнего двугранного угла на рис. 6.Расположим четырёхзвенник ABCD наплоскости T так, чтобы отрезок DC шёл по ребрудвугранного угла, отрезки ND и NC были на одной полуплоскости, а DS и CS были на другой полуплоскостидвугранного угла. Части ND и NC, SD и SC края многогранника Р' — «зарубки Коннелли»— прилегают к соответствующим частям граней двугранного угла. Изменениевеличины b двугранного угла приводит к изгибанию многогранника Р', согласованномус движением граней двугранного угла, в который он был встроен (т. е. рёбра ND и NC, SD и SC края многогранника Р' не изменяютсвою длину и остаются на гранях двугранного угла). Расположение точек D и C на ребре двугранного угла может быть выбрано так, чтобыточка a оказалась на отрезке DC, не попадая, однако, на ребро AB, т.е. чтобы изменённый верхний двугранный угол на рис. 6 не касался нижнегодвугранного угла. Такое же построение можно провести и в окрестности точки b —второй точки самокасания, причём размеры встроенного многогранника Р' можноподобрать так, чтобы в пределах некоторого изменения раствора двугранного углане появились новые самопересечения. Таким образом получится изгибаемыймногогранник без самопересечений с 26 вершинами.
/>
Рис.10
Легко видеть, что эту конструкцию можно сразу же упростить, аименно, в исходном дважды покрытом прямоугольнике можно оставить на месте граниAND и BSC (см. рис. 3), не заменяя их тетраэдрами, тогда получитсяизгибаемый многогранник с 24 вершинами.
Существенное упрощение получается, если в исходном октаэдреБрикара добавлять тетраэдры так, чтобы была необходимость использовать «зарубкуКоннелли» только один раз, как это предложили П. Делинь и Н. Кёйпер. Делаетсяэто так. Отправным положением будет изгибаемый октаэдр Брикара первого типа,изображённый на рис. 9. На нём вершины A и C лежат на горизонтальной плоскости(условно с координатой z =0), вершины В' и D' подняты на высоту е>0, а вершины N' и S' — на высоту 6>е и всё это проектируетсяортогонально на прямоугольник рис. 3 (где L по-прежнему обозначает точку пересечения этого прямоугольникас вертикально расположенной осью симметрии рассматриваемого октаэдра). В новомположении ребро AS' проходит под ребром N'B', реброN'C — под ребром S'D', так что прежних точек самопересечения нет, но есть новыепересечения граней. Построим теперь «дно» следующим образом: в исходном четырёхгранномугле S'AB'CD' с вершиной S' заменимгрань S'CD' тетраэдромвершиной вниз (рис. 10). Краем построенного многогранника
/>
Рис.11
является четырёхугольник AB'CD', но теперь есть «яма» в виде тетраэдраS0S'CD'. Далее строим «крышу» так. Над фигуройрис. 11 возьмём две точки T и K и построим неполные
/>
Рис.12
пирамиды с гранями N'D'T и D'CT, N'B1 K и В'СК. Получится многогранник без самопересечений и с двумячетырёхугольными краями AB'CD' и N'KCT (рис. 12). Он
рис. 12 пересекается спостроенным ранее «дном» только вдоль контура AB'CD' и после склеивания «крышки» с «дном»вдоль этого контура получится многогранник (обозначим его Г) безсамопересечений и с одним четырёхугольным краем N'KCT.
/>
Рис.13
Многогранник Г изгибается, причём его исходные вершины простоповторяют те движения, которые были у начального изгибаемого октаэдра Брикарапервого типа на рис. 9, поэтому, в частности, расстояние N'C остаётся постоянным, так как оно соответствует длине ребра N'C исходного октаэдра. Теперь подберём «зарубку Коннелли» так,чтобы её добавлением закрыть отверстие с краем N'KCT. Для этого выберем положения точек T иK с условием TC = TN=KN=КС, что вполне возможно. Возьмём «зарубкуКоннелли» как на рис. 8, но с изменёнными в соответствии с рис. 13обозначениями вершин и со сторонами TN' = TP = TQ = TC = KN' = KC = KP = KQ. Можем считать, что изгибания многогранника Г происходят ссохранением
рис. 13 плоскости трёх вершин N', K, T, и точки K и T перемещаются по фиксированнойпрямой KT так, что середина отрезка KT остаётся неподвижной. Этими условиямидвижения точек K, T, N' и C, а значит, и остальных вершинмногогранника Г определены однозначно. При этих же условиях изгибания «зарубкиКоннелли» тоже определяются однозначно, поэтому движения её вершин K, T, N' и C будут теми же самыми, что и у соответствующих вершинмногогранника Г. Это значит, что когда мы склеим край N'KCT «зарубки Коннелли» с таким же краеммногогранника Г, изгибания Г и «зарубки» будут согласованными. Остаётсяпозаботиться, чтобы «зарубка» поместилась в «яму», пересекаясь с многогранникомГ только по их общему краю, для чего нужно выбрать то положение плоскостимеханизма PQCN', когда точка Q окажетсявнутри тетраэдра S0D'S'C, а точка P — выше треугольника AS' D', итогда получится изгибаемый многогранник без самопересечений, имеющий 11 вершини 18 граней.
4. ГИПОТЕЗА КУЗНЕЧНЫХМЕХОВ
Теорема. Всякаязамкнутая многогранная поверхность, не имеющая самопересечений, ограничивает втрехмерном пространстве некоторое тело конечного объема. Гипотеза кузнечныхмехов состоит в том, что если мы имеем дело с изгибаемой замкнутой многограннойповерхностью, то объем этого тела остается постоянным в процессе изгибания.
/>
Рис.14 При изгибании объёмыизгибаемых многогранников остаются постоянными. Для многогранника Штеффена этоутверждение представляется довольно очевидным ввиду полной симметрии движений: грани одной «половины» многогранникадвижутся так, что движения граней другой его «половины» восполняют изменяемыйпри этом объём. Для более убедительного доказательства воспользуемся темфактом, что обобщённый объём изгибаемых октаэдров Брикара равен нулю (примемэто без доказательства). Изменим многогранник Штеффена следующим образом.Добавим две грани DCN1 и DCN2 и с их помощью образуем многогранник R, составленный из двух октаэдровБрикара (без грани SDC). Комбинаторно это представляется так: у двух многогранников убралидве конгруентные треугольные грани и склеили их вдоль двух одинаковых границобразовавшихся отверстий (рис. 14); в нашем случае убираемой (исчезнувшей)гранью является грань SCD. Обобщённый объём многогранника R равен нулю как сумма двух нулевых объёмов. Оставшаяся частьмногогранника Штеффена вместе с добавленными гранями образует новый тетраэдр свершинами N1, D, C, N2. Следовательно, объём многогранника Штеффена в любом его положении впроцессе изгибания равен объёму тетраэдра с постоянными длинами рёбер, т. е. входе изгибания он не изменяется.
Чтокасается объёмов изгибаемых многогранников из первых двух примеров, топостоянство их объёма тоже можно доказать, или применяя указанный выше факт оравенстве нулю обобщённого объёма любого октаэдра Брикара или проводя довольнодлинные вычисления.
Факт неизменности объёма в построенных примерах изгибаемыхмногогранников естественно привёл к вопросу о справедливости этого свойства длялюбого изгибаемого многогранника. Коннелли назвал предположение о постоянствеобъёма изгибаемого многогранника в ходе его изгибания «гипотезой кузнечныхмехов». Происхождение этого термина очень простое. Вспомним из физики законБойля—Мариотта, который утверждает, что в газах произведение давления на объёмпостоянно, т. е. pV = const,где p — давление, V — объём газа. Следовательно, если V= const, то и p = const, поэтому гипотезу кузнечных мехов по другому можно переформулироватьтак: математически идеальные кузнечные мехи нельзя сделать в виде изгибаемогомногогранника с отверстием на грани, так как из таких мехов воздух дуть небудет. Эта гипотеза была сформулирована в 1977—78 гг. рядом авторов. Попытки еёопровержения путём построения контрпримеров не привели к успеху, наоборот, всеновые примеры изгибаемых многогранников, которые удалось построить, только подтвердилифакт неизменности объёма. Теперь ясно, что её и нельзя было опровергнуть. Насамом деле, основная теорема об объёме многогранника говорит, что для множествамногогранников с данным комбинаторным строением и данным набором длин рёберсуществует лишь конечное число возможных значений объёма — все они должны бытьсреди корней полиномиального уравнения, которых, по известной теореме алгебры,не больше, чем степень полинома. А так как при изгибании происходит непрерывнаядеформация многогранника, то и объём должен быть непрерывной функцией параметрадеформации. А непрерывная функция, которая может принимать только конечноечисло значений, обязана быть постоянной! Как видим, гипотеза кузнечных мехов,около 20 лет считавшаяся одной из самых красивых и трудных задач метрическойтеории многогранников, оказалась простым следствием основной теоремы, являющейсяобобщением формулы Герона на объёмы многогранников.
Только представьте себе: многогранная поверхностьШтеффена будет изгибаться, даже если, сделав ее герметичной, вы заполните еенесжимаемой жидкостью! Из гипотезы кузнечных мехов, в частности, следует, чтомехи аккордеона или баяна, заставляют эти инструменты звучать за счет хотя ималых, но все же реальных растяжений и сжатий материала мехов.
Возникаетестественный вопрос: имеются ли другие количественные характеристикимногогранной поверхности, которые сохраняются в процессе изгибания? Тривиальныйпример такой количественной характеристики — площадь поверхности. Значительноменее тривиальный пример строится так. Внутренним двугранным углом при данномребре замкнутой многогранной поверхности назовем величину двугранного угла приэтом ребре, измеренную со стороны тела конечного объема, ограниченного даннойповерхностью. Умножим длину ребра многогранной поверхности на величину внутреннегодвугранного угла при нем и просуммируем результат по всем ребрам даннойзамкнутой многогранной поверхности. Полученное число называется среднейкривизной многогранной поверхности.
В 1985 годуамериканский математик Р. Александер установил, что любая замкнутая изгибаемаямногогранная поверхность сохраняет свою среднюю кривизну в процессе изгибания.
Однако, теорема кузнечных мехов до сих пор не доказана для многогранниковв многомерных пространствах. Это удивительно, так как в многомерныхпространствах изгибаемость многогранников и вообще поверхностей существенноболее редкое явление чем в трёхмерном пространстве.
5ПРИМЕНЕНИЕ
Следует признать, что масштабные проникновенияфундаментальных математических идей в индустрию и технологию — явления довольноредкие. Так что при изложении этого предмета лучше заранее настроиться наздоровый пессимизм. Вместе с тем ясно, что не следует делать категорических выводово прекращении фундаментальных исследований в каком-то направлении на томосновании, что первооткрыватель не смог в течение года (или десяти) найти емуобщепонятное применение. Применение может быть найдено совсем другими людьми исовсем в другое время.
Чтобы убедиться в справедливости сказанного,вспомним, например, историю открытия электромагнитных волн. Их существованиебыло предсказано М. Фарадеем в 1832 году. Дж. Максвелл в 1865 году теоретическипоказал, что электромагнитные колебания не остаются локализованными в пространстве,а распространяются в вакууме со скоростью света во все стороны от источника. В1888 году максвелловская теория получила подтверждение в опытах Г. Герца. 7 мая1895 года А.С. Попов на заседании физического отделения Русского физико-химическогообщества сделал научный доклад об изобретенной им системе связи без проводов ипродемонстрировал ее работу. В начале 1900 года приборы А.С. Попова былиприменены для связи во время работ по ликвидации аварий броненосца «Генерал-адмиралАпраксин» у острова Гогланд и при спасении рыбаков, унесенных на льдине в море.При этом дальность связи достигла 45км. История открытия и использования радиоволнпродолжается и сейчас, вбирая в себя достижения сотен тысяч инженеров иисследователей (вспомните, хотя бы навязчивое «все живое тянется кбио»). Мог ли все это предвидеть Фарадей в 1842 или 1852 году?
Теперь мы можем сознаться, что сегодня неизвестнопо-настоящему нетривиальных применений замкнутых изгибаемых многогранныхповерхностей. Почти тривиальным является наблюдение, что конструкция панельногодома имеет много общего с многогранной поверхностью. Причем на практикежелательно сделать эту конструкцию как можно менее изгибаемой. Однакоархитекторы и инженеры-строители решали и решают эту задачу своими методами безобращения к новейшим изысканиям геометров.
/>
Попытка менее очевидного приложения возникла встереохимии — науке о пространственном строении молекул. Речь пойдет оциклических молекулах, состоящих из шести атомов. Типичными примерами могут служитьмолекулы бензола или циклогексана. Бензольное кольцо, в котором, как известно,чередуются атомы водорода и углерода, обычно изображают так, как показано нарис. 15. Экспериментально установлено, что в молекулах бензола не толькорасстояния между атомами, но и углы между связями, выходящими из одного атома,всегда имеют одно и то же численное значение. Поэтому в качестве моделибензольного кольца можно принять пространственный шестиугольник, дополненныйего короткими диагоналями (то есть диагоналями, соединяющими вершины, идущиечерез одну). Схематически эта модель изображена на рис. 14 в виде плоскойфигуры, где буквами α, β и γ обозначены длины соответствующихотрезков. В этой модели следует считать все участвующие в ней отрезки идеальножесткими стержнями, шарнирно соединенными между собой в вершинахшестиугольника. Наша модель имеет 6 вершин, 12 отрезков-стержней и 8треугольников, ограниченных отрезками-стержнями — ровно столько же, скольковершин, ребер и граней имеет октаэдр. Заменив мысленно каждый из восьмитреугольников, ограниченных отрезками-стержнями, плоским треугольником, получим,что наша модель бензольного кольца превратилась в октаэдр, грани которого имеютзаранее предписанные размеры, а двугранные углы произвольны. (Схематически такойоктаэдр изображен на рис. 14.) Поскольку грани достроены лишь мысленно, тоясно, что невыпуклость октаэдра или наличие самопересечений не влияют на наширассуждения.
Теперь мы подошли к самой сути: существует лициклическая молекула, состоящая из шести атомов, такая, что соответствующий ейоктаэдр является изгибаемым? Если бы такая молекула существовала, то она тожедолжна была бы допускать непрерывные изменения своей пространственной формы.Естественно ожидать, что при таком изменении формы молекулы менялись быфизические и химические свойства вещества, например объем или коэффициентпреломления. Это было бы уже что-то новое в гидравлике или оптике. Вот бынаучиться управлять такими изменениями… Но здесь мы вынуждены прервать полетфантазии и сообщить, что подобного рода молекулы, непрерывно (то есть безскачков) изменяющие свою форму в пространстве, пока не обнаружены.
Заканчивая обсуждение приложений, укажем, чтозадачи о необычной (то есть интуитивно неочевидной) подвижности многогранныхповерхностей или стержневых систем периодически возникают в разных разделахнауки и техники. Достаточно напомнить, что шарнирные механизмы изучались П.Л.Чебышевымболее 100 лет назад, а перспективным источником новых вопросов представляетсятеория фуллеренов — недавно открытой третьей стабильной формы углерода.
6 ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ
В 1897 году Р. Брикар описал все изгибаемые октаэдры.Из теоремы Коши вытекает, что ни один из них не может быть выпуклым. Согласноустановившейся традиции, изгибаемые октаэдры, называемые также октаэдрамиБрикара, классифицируют относя каждый из них к одному из трех типов. Нампотребуется октаэдр Брикара лишь одного типа. Его построение будем объяснять ввиде рекомендаций по склеиванию модели из картона.
/> />
Рис.16 рис.17
Нарисуем на картоне фигуру, изображенную на рис.16 и состоящую из шести треугольников. Буквы a, b, c и d обозначают длинысоответствующих сторон. Хорошо подходят значения a = 12, b = 10, c =5 и d = 11. Вырежем нарисованнуюфигуру по сплошным линиям и согнем по штриховым. Два левых треугольника,имеющие стороны длины c отогнем из плоскости рисунка на себя и склеим между собойвдоль стороны длины c. Два правых треугольника со сторонами длины c отогнем изплоскости рисунка от себя и приклеим их друг к другу вдоль стороны длины c. Врезультате получится невыпуклая незамкнутая многогранная поверхность P, изображеннаяна рис. 17. Сплошными линиями на нем изображены видимые ребра многограннойповерхности P, штриховыми — ребра, заслоненные гранями поверхности P. Ребра AE,ED, DF и AF составляют границу P, ккаждому из них прилегает лишь одна грань поверхности P.
Также можнолегко сконструировать реберную модель октаэдра Брикара из тонких пластиковыхтрубочек для питья, нанизав их соответствующим образом на нитки
7 СВОЙСТВА ОКРАЭДРАБРИКАРА
Основные свойства
Многогранная поверхность называется октаэдромБрикара, если как и обычный октаэдр, она имеет 6 вершин (A, B, C, D, E и F), 12 ребер (AB, AD, AE, AF, BC, BE, BF, CD, CE, CF,DEи DF) и 8 граней (ABE, ABF, BCE, BCF, CDE, CDF,ADE и ADF). Вместе с тем октаэдрБрикара является невыпуклым, изгибаемым и имеет самопересечения.
Лемма 1. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD с равными противоположными сторонами AB = CD, AD=BC. Тогда у этого четырёхугольника естьось симметрии, проходящая через середины диагоналей AC и BD, а в частном случае, когда четырёхугольник являетсяпараллелограммом, ось симметрии проходит через точку пересечения диагоналейперпендикулярно плоскости параллелограмма.
/>
Рис.18
Эта лемма позволяет нам описать изгибаемый октаэдр Брикарапервого типа. Рассмотрим четырёхзвенный механизм ABCD (т. е. четыре стержня, соединённые шарнирами и имеющиевозможность вращаться вокруг них) и удовлетворяющий условиям леммы 1. Пусть l —его ось симметрии. Пусть N — произвольная точка пространства, отличная от A, B,C, D и не лежащая на оси l (рис. 18, а и бизображают два разных вида четырёхугольника ABCD, дающих четырёхгранный угол NABCD безсамопересечений и с самопересечениями, соответственно). Соединим N с вершинамичетырёхзвенника ABCD и полученные «проволочные»треугольники NAB, NBC, NCD, NDA заклеим плоскими треугольниками (этаоперация образно называется «обшивкой каркаса гранями»). Получитсячетырёхгранный угол с известными длинами рёбер. Этот четырёхгранный угол прификсированных длинах рёбер может изгибаться, причём его нетривиальные изгибанияопределяются изменяющимся значением одного параметра — угла a = ZABC. Действительно, угол a определяет положениетреугольника ABC на плоскости p, а знание расстоянийот трёх точек A, B, C до N определяет положение N однозначно (на самом делеточка N может иметь два положения, симметричных относительно плоскости p, но мырассматриваем только непрерывные изменения исходного положения точки N), а знание положения точек A, B, N и расстояний от нихдо D однозначно определяет непрерывные измененияположения точки D.
Изгибаемость
Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинкаоктаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотомвокруг оси, и, следовательно, ее деформация в точности повторяет деформациюпервой половинки. Значит, и весь октаэдр Брикара изгибаем.
/>
Рис.19
Очевидно, многогранная поверхность P являетсяизгибаемой: если треугольник BCE фиксировать в пространстве, то точку F можно двигать так, какпоказано стрелками на рис. 19. При этом положение точек A и D в пространстве такжебудет меняться, но, что особенно важно, расстояние между точками A и D будет оставатьсяпостоянным.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим двугранныйугол S,одной граньюкоторого служит полуплоскость s1, проходящая через точку B и ограниченнаяпрямой EF, проходящей через точки E и F, а другой гранью — полуплоскость s2, проходящая через точку C иограниченная прямой EF. Повернем полуплоскость s1 вокруг прямой EFтак, чтобы новая полуплоскость t1 проходила через точку A. В соответствиис рис. 18 для этого надо повернуть s1 «на себя» на величину двугранного угла тетраэдра ABEF при ребре EF. Аналогичноповернем полуплоскость s2 вокруг прямой EF так, чтобы новая полуплоскость t2 проходила через точку D. Следуя рис. 19, для этогонадо повернуть s2 «отсебя» на величину двугранного угла тетраэдра CDEF при ребре EF. Однако прилюбом положении точки F тетраэдры ABEF и CDEF имеют соответственноравные стороны. Поэтому тетраэдры ABEF и CDEF равны, в частности равны между собой двугранныеуглы этих тетраэдров при ребре EF. Значит, двугранный угол T, образованныйполуплоскостями t1 и t2, равен двугранному углу S. Таким образом, мыполучаем, что в тетраэдрах BCEF и ADEF пять сторон попарно равны между собой (BE = AF, BF= AE, CF= DE, CE = DF и EF-общая сторона) и, крометого, равны между собой двугранные углы T и S, противолежащие шестойстороне (то есть BC и AD соответственно). Следовательно, тетраэдры BCEF и ADEF равны между собой, азначит, AD = BC = d для любого положения вершины F, что и утверждалось выше.
/>
Рис.20
Поскольку длина отрезка AD постоянна при всевозможныхположениях вершины F, то к многогранной поверхности P можно приклеить два картонныхтреугольника ADE и ADF, причем получившаяся при этом поверхность Q будет по-прежнему изгибаемой.Это приклеивание, конечно, не может быть осуществлено реально: например, грани ADE и BCE при этом пересекутсяпо линии, не являющейся ребром многогранной поверхности Q; при изгибании поверхностиQ эта линия будет менятьсвое положение на каждой из граней ADE и BCE, что не поддаетсяизображению на картонной модели.
Идея Брикара очень остроумна. Возьмем в пространствечетырехугольник ABCD с попарно равными противоположными сторонами: АВ = CD, ВС = = AD. Если ABCD лежит в плоскости, то это- знакомый нам параллелограмм. Пусть ABCD — пространственный четырехугольник, т.е. вершины А,В, С, D нележат в одной плоскости. Его диагонали АС и BD лежат на скрещивающихсяпрямых. Проведем через середины О1 и О2 диагоналей прямую(рис. 20). Так как в четырехугольнике ABCD противоположные стороныравны, то прямая, как нетрудно показать, перпендикулярна обеим диагоналям.
В силу этой перпендикулярности при поворотевокруг прямой на 180° вершины A и С, а также В и D меняются местами и, следовательно, четырехугольникABCD переходит в себя.Заметим, что в предельном случае, когда многоугольник становится плоскимпараллелограммом, точки О5 и О2 сливаются в одну точку, апрямая переходит в прямую, проходящую через точку пересечения диагоналейпараллелограмма перпендикулярно его плоскости.
Симметрия
Подсимметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое егодвижение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторойпрямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляетнеизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, поддействием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет своеисходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины,другого ребра или другой грани.
/>
Рис.21
Возьмем вне прямой какую-нибудь точку S и построим четыре треугольникаSAB, SBC, SCD и SDA (рис. 21 а). Этитреугольники (точнее, их плоскости) образуют четырехгранный угол. Из школьногокурса геометрии известно, что плоские углы трехгранного угла задают егодвугранные углы, а следовательно, и весь трехгранный угол однозначно. Однакоесли число граней у многогранного угла больше трех, то такой однозначности нет.Очевидно, что четырехгранный угол SABCD при фиксированных плоскихуглах допускает непрерывную деформацию (изгибание). При таком изгибании четырехугольникABCD деформируется в четырехугольникс соответственно такими же сторонами и соответствующей осью симметрии.
При повороте вокруг оси на 180° четырехгранныйугол SABCD переходит в конгруэнтный угол SXCDAB (рис. 21 б). Совокупность8 треугольников удовлетворяет всем трем условиям в определении многогранника.Правда, некоторые грани этого многогранника пересекают друг друга.
Объем
При изгибании октаэдр Брикара не изменяет своегообъема. Его можно вычислить с помощью теоремы Сабитова. Она устанавливает связьмежду длинами ребер многогранника и его объема. Существует многочлен:
/>
коэффициенты a1,…,an котороговыражаются при помощи четырех арифметических действий через длины ребер l1,…,lpмногогранника. Сделав подстановку в формулу получим многочлен F(x) сконкретными числовыми коэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объемданного многогранника (октаэдра Брикара) есть один из корней этого многочлена.
7 ФЛЕКСОРШТЕФФЕНА
Построение модели. Для построения модели флексора Штеффенанеобходимо изготовить из картона две многогранных поверхности Р1 и Р2,изображенных на рисунке 22 (их построение описано ранее).
/>
рис.22. Многогранная изгибаемая поверхность Р1
Далее следует нарисовать на картоне фигуру, изображенную нарис. 23, которая состоит из двух треугольников. Буквы a и e обозначают длинысоответствующих сторон. К выбранному ранее значению a = 12 хорошо подходит
e = 17.Вырежьте нарисованную фигуру по сплошным линиям и согните по пунктирной.Получившуюся незамкнутую многогранную поверхность обозначим через R (рис. 23).
/>
рис. 23. Многограннаяизгибаемая поверхность R
Теперь все готово для склеивания многогранной поверхности Штеффена.
Зафиксируйте положение многогранной поверхности R в трехмерном пространстве так, чтобы расстояние между точкамиL и N было равно расстояние междуточками A1 (D1) и C1 (C2).
Совместите точки K и E1, A1 и L, D1 и N исклейте многогранные поверхности P1 и R вдоль ребер A1E1 и KL, а также E1D1 и KN (рис. 24). Назовем полученную многограннуюповерхность Q.
Аналогично совместите точки E2 и M, D2 и L, A2 и N и склейте многогранные поверхности P2и Q вдоль ребер A2E2и MN, а также D2E2 и LM (рис. 24).
/>
рис. 24. Совмещениеповерхностей Р1, Р2 и R
Свойства изгибаемость
/>
Рис.25
Возьмём«зарубку Коннелли», изображённую на рис. 25.
Онапредставляет собой октаэдр Брикара второго типа с удалёнными гранями CDS и CDN. Еёнетривиальные изгибания можно представить как вращение вершины N вокруг неподвижной прямой DC,при неподвижных отрезках SDи SC (так как расстояние DC постоянно как длина удалённого ребра изгибаемого октаэдра, три точки S, D, C можносчитать неподвижными). При вращении N вершиныA и B перемещаютсясоответственным образом. Для данного рисунка если N уходит влево (вправо), то A смещаетсявниз (вверх),
B уходит вверх (вниз), но вообщенаправления их движений зависят от конкретных длин рёбер. Рассмотрим движенияточки N более подробно, для чего введёмследующую систему координат: направим ось Ox вдольпрямой DC, от D к C, плоскость SDC примем за плоскость xOz, направив ось Oz вверх, начало координат поместим всередине отрезка DC (см. рис. 25). Пусть длина ребра DC равна 2a,длина SD=SC=b.
ТочкаN вращается вокруг оси Ox, на постоянном расстоянии d от D и C. Тогдаеё координаты суть
(0, d2-a2 sinj, d2-a2 cosj). (1)
Возьмёмтеперь второй экземпляр той же самой «зарубки Коннелли», идентичныйрассмотренному. Расположим их сначала с полным совпадением. Если затем в первой«зарубке» точку N повернём влево, а во второй — вправо,то точки D, C, S останутся на месте, а точки N, A, B разойдутся, приняв соответственноновые положения N1, A1, B1 и N2, A2,B2.
/>
Рис.26
Зафиксируемнекоторые положения точек N1 и N2, симметричные относительнонеподвижной плоскости DSC и склеим (отождествим) в этом положении рёбра SD и SC из первой«зарубки» с такими же рёбрами из второй «зарубки». Получится многогранник M, изображённый на рис. 26 и имеющий край N1DN2C.
Далеевершины N1 иN2 можно вращать согласованно так, чтобы расстояние N1N2оставалось постоянным. Следовательно, отрезок N1N2 тогдаможно принять за ребро и если мы закроем отверстие с краем N1DN2C двумя треугольниками N1DN2 и N1CN2, то полученный многогранник будетзамкнутым, причём при соответственно подобранных размерах сторон и положенияхвершин N1 и N2 он будет без самопересечений.
Симметрия
Заметим, что изгибаемый многогранник Штеффена обладает симметрией.Он симметричен относительно прямой, проходящей через точки F и середину ребра KM.
Объем
Сразу же после построения первых флексоров было замечено, чтопри изгибании их объёмы остаются постоянными.
Доказать постоянство объема флексора можно с помощью теоремыроссийского математика Иджада Хаковича Сабитова, предложенной в 1996 году.
Чтобы понять ее смысл, вспомним формулу Герона. Она выражаетплощадь треугольника лишь через его стороны:
/>, где полупериметр />.
Предположим сначала, чтовсе грани многогранника — треугольники[2]. В этом случае длины егоребер однозначно определяют форму треугольных граней. Поэтому, еслимногогранник выпуклый, то длины ребер однозначно определяют формумногогранника, так как по теореме Коши под />многогранником понимается множество M плоскихмногоугольников — граней, расположенных в пространстве так, что каждая стороналюбого из них является стороной в точности ещё одного многоугольника. Аесли у многогранника однозначно задана форма, следовательно, и его объемопределен также однозначно.
Теорема Сабитова устанавливает связь между длинами ребер многогранника(с треугольными гранями) и его объемом. Пусть дан многогранник, тогда можно построитьспециальный многочлен
F(x) = хп + а1хп-1+...+ ап,
коэффициенты а1,…, ап которого выражаютсячерез длины ребер l1,…,lpмногогранника. Заметим, что то, каккоэффициенты многочлена выражаются через длины ребер, зависит собственно не отдлин ребер и величин углов многогранника, а от его комбинаторного типа, т.е. оттого, сколько ребер у граней, сколько граней у многогранника, как гранисходятся в вершинах и т.п. Подставляя теперь в коэффициенты а1,..., апвместо l1,…,lpчисленные значения длин ребер данного многогранника, получиммногочлен F(х) с конкретными числовымикоэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объем данного многогранникаесть один из корней этого многочлена. Если бы объем флексора при изгибаниименялся, то это должно было бы происходить непрерывно. А так как объем являетсякорнем многочлена F(x), то это должен быть один и тот же корень. Такимобразом, объем многогранника должен оставаться неизменным.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Трудно переоценитьзначение темы «Многогранники» не только в самой геометрии, но и других науках,в повседневной жизни. Без знания закономерностей, связанных с этимигеометрическими телами, невозможно было бы дальнейшее изучение геометрии,развитие архитектуры, астрономии, физики.
В ходе выполнения работы,мы познакомились с происхождением терминов, связанных с многогранниками.Рассматривая уже знакомые свойства, изучали новые, ранее нам неизвестные, новесьма полезные при решении задач.
Наша работа носитисследовательский характер. Ее можно использовать в качестве дополнительногоматериала при изучении темы «Тетраэдр». Все изложенные факты иллюстрируютсярисунками, чертежами, которые облегчают их понимание и запоминание.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вениниджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.
2. Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1.
3. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2: Стереометрия.М.: Учпедгиз, 1952.
4. Гуфт И.В. Об одном классе многогранников //Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 1. С. 183-184.
5. Залгаллер В.А. Непрерывно изгибаемый многогранник//Квант. 1978. № 9. С. 13-19.
6. Сабитов И.Х. Локальная теория изгибанияповерхностей // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 48. С. 196-270
7. Долбилин Н.П… Жемчужинытеории многогранников.
8. Сабитов И.Х… Объёмымногогранников
9. Александров В.А. Изгибаемыемногогранные поверхности