Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекиндапроизведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Выводфункционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературыВведение
В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функцииДедекинда в виде произведения L-функций и пример приложенияэтой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k — конечное расширение поля Q, a- некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложениена простые идеалы
/>где /> /> для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную нормуидеала a, т.е. />Определим дзета-функцию Дедекинда />:
/> />
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
/>
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекиндапроизведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K — конечное абелево расширениеполя k; тогда
/>
где произведение справа распространяется на всепримитивные характеры, согласованные с характерами группы классов /> где S — исключительное множество в k, /> - группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S,/> — подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из/>, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых сS, /> - подгруппа в подгруппеглавных идеалов в/>, состоящая из такихглавных идеалов />, для которых />и />
Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причеммы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.
1. Пусть p — неразветвленный простой идеал из k, т.е.
/>
где /> - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,
/> где />
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
/>
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
/>
Ввиду того, что f — наименьшее положительноечисло такое, что/>для всех/>, имеет место следующее легкопроверяемое тождество
/>
отсюда, если положить/>, следует нужное равенство.
2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее ииспользует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
/>
и докажем, что функция/>тождественно равна единице. />равна произведениюконечного числа выражений вида
/>
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль внекоторой чисто мнимой точке />, где />. В силу функциональногоуравнения />представляет собой отношение гамма-функцийи, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому />, такжеявляется полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что/> неявляется нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций/>.Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функцииДедекинда
Пусть k=Q, K=Q (/>), где /> - первообразный корень из 1 степениm, />. Тогда
/> (1)
где /> - дзета-функция Римана, /> - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавныерациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное уравнение />
Воспользуемся функциональным уравнением для />:
/>,
где />сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
/>,
/>,
используя свойство сумм Гаусса, получим
/>,
/>.
Пусть для любого вещественного характера />, тогда
/>,
/>.
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый,тогда получим
/>,
/>,
/>,
/>.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
/>
получим
/>
/>
где D — дискриминант поля K.
Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функцииДедекинда в случае, когда k=Q, K=Q (/>).
Заключение
В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функцииДедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремывывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q, K=Q (/>),где /> - первообразный корень из 1 степениm.
Список используемой литературы
1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. — М., «Мир»,1969, с.328 — 330