Доказательство теоремы Ферма методами элементарнойалгебры
Бобров А.В.
г. Москва
Контактный телефон – 8 (495)193-42-34
bobrov-baltika@mail.ru
В теореме Ферма утверждается, что равенство /> для натуральных /> и /> может иметь место толькодля целых />.
Рассмотрим равенство
/> , (1)
где/> и /> - натуральные взаимнопростые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть /> -нечетное число, /> и /> — натуральные числа. Длявсякого действительного положительного числа выполнима операция нахожденияарифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:
/>/>, (2)
где/> и /> - действительныеположительные множители числа /> Всоответствии со свойствами показательной функции, для любого
издействительных положительных чисел /> и /> существуют единственныезначения чисел /> , удовлетворяющиеравенствам
/>, (3)
Изравенств (2) и (3) следует:
/>, />. (4)
Посколькуp>q, всегда имеет место p-q=k,или аp= аk∙×аq, то естьчисла /> /> и /> содержат общий множитель />, что противоречит условиюих взаимной простоты. Это условие выполнимо только при />, то есть при />. Тогда равенства (4)принимают вид:
/> />, /> (5)
откудаследует
/>, (6)
тоесть для взаимно простых /> и /> числа /> и /> всегда являются двумяпоследовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетноечисло выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, тоесть равенство (1) для натуральных взаимно простых /> и/> может быть выражено тольков виде равенства
/>. (7)
Справедливостьприведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.
Пустьв равенстве Ферма числа /> и /> – целые взаимно простые, /> – четное. Тогда числа />, />, их сумма /> и разность /> — также целые, показатель степени p>q.
Целыечисла />/> и />
являютсявзаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Этоусловие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель />, то есть />, />.
Тогдаразность />/>, что для одновременноцелых /> и /> может иметь место/>только при />, то есть при /> или />, что и позволило Пьеру деФерма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.