Задание 1.Найти производныефункций
a) />
Пусть />, />, тогда />
/>
/>
/>
b) />
Если функция имеет вид />, то её производнаянаходится по формуле />.
Перейдем от десятичногологарифма к натуральному: />
По свойству логарифма />
Таким образом,
/>
c) />
Продифференцируемуравнение, считая yфункцией от х:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задание 2.Исследовать методамидифференциального исчисления и построить график функции />
Областью определенияфункцииявляются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0функция разрывна.
Функция нечетная,т. к. />
Функция непересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
/>.
/>Найдем стационарные точки, приравнявпроизводную к нулю.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Функция возрастает впромежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убывает впромежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеетэкстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость /вогнутость.
Для этого найдемпроизводную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точкивторого рода.
/>/>
/>
В точке х=0 втораяпроизводная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞;0) />ледовательно,график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) />>0, следовательно,график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптотыграфика функции />:
1) вертикальная асимптота– прямая х=0
Т.к. /> и />
2) горизонтальныхасимптот нет,
т. к. /> и />
3) наклонных асимптотнет,
т. к. />
и />
Задание 3. Найти экстремумыфункции Z= ln(3 – x2+ 2x– y2)
Найдем частныепроизводные первого порядка.
/>
/>
/>
М (1; 0) – стационарнаяточка.
Найдем вторые производныеи их значения в точке М.
/>
/>
/>
/>>0 /> Следовательно, функция Z= ln(3 – x2+ 2x– y2) имеет экстремум в точкеМ (1; 0) – максимум, т. к. A
Задание 4. Вычислитьнеопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a) />
Решаем методом заменыпеременной. Положим />,
тогда /> /> />,
/> /> />
Таким образом, получаем
/>
Вернемся к переменной х.
/>
Проверимдифференцированием:
/>
b) />
Воспользуемся таблицейнеопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике.– М.: Наука, 1972. – 872 с.: ил. – С. 850]
/>С
Проверимдифференцированием:
/>
c)/>
Неправильную рациональнуюдробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
/>
Согласно свойствуинтервала алгебраической суммы, имеем
/>
/>
/> />
Подстановка /> /> /> /> /> приводит интеграл к виду
/>
Возвращаясь к аргументух, получаем
/>
Таким образом, />,
где С=С1+С2
Проверимдифференцированием:
/>
Задание 5. Вычислить определенныйинтеграл
/>
Сначала вычислимнеопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая />, находим
/>
Вернемся к переменной х.
/>
/>Таким образом, />
Библиографический список
1. Баврин,И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. –616 с.: ил.
2. Выгодский,М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука,1972. – 872 с.: ил.
3. Выгодский,М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.:Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.: ил.