Критерий омега-квадрат фон-Мизеса

Министерство образования и науки Украины
Запорожский национальный университет
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Индивидуальная работа по математической статистике
 
Тема: «Критерий w2фон Мизеса»
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Выполнил:                                                   студент гр. 8216-2  Безбородов Вячеслав
 
Проверила:                                                                       Лысенко Елена Анатольевна
 
 
 
 
 
 
 
 
Запорожье
2009  Критерий w2Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе
Порядок проверки простой гипотезы о согласии
Простая проверяемая гипотеза имеет вид H0: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q– известное значение параметра (скалярного или векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик критерия согласия w2не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят, что эти критерии являются “свободными от распределения”. Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.
            При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X:
1.              Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.
2.              Из совокупности отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений
x1£x2 £… £xn.
3.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия w2Мизеса. 
4.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение
/>
где G(S|H) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H0. Если P{S>S*}>a, где a– задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0отвергается.
Можно вычисленное значение статистики S* сравнить с критическим значением Sa, определяемым из условия
/>
Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает в критическую область, т. е. при S*> Sa.
 
Нулевая гипотеза
         В критериях типа w2 расстояние между гипотетическим и истинным рас­пределениями рассматривают в квадратичной метрике.
         Проверяемая гипотеза Hимеет вид
/>                          
при альтернативной гипотезе
/>,                         
где E[.]  - оператор математического ожидания,  y(t)  — заданная на отрезке 0£t£1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t2y(t) интегрируемы на отрезке 0£t£1.Статистику крите­рия  выражают соотношением
/>
/>,       
где
/>,    />.
        
 
 
 
Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова
 При выборе y(t)º1 для критерия w2 Мизеса получают статистику вида (статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)
/>,                       
котораяпри простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией рас­пределения a1(S), имеющей вид
/>
/>,                           
Алгоритм
1.       Значение статистики Крамера-Мизеса-Смирнова S* вычисляется по формуле
/>.
2.       Значение вероятности P{S>S*}=1-a1(S*) вычисляется по функции распределения a1(S)
/>
/>,
 
или берется из таблицы 1 приложения.
3.       Критические значения критерия Saпри заданном aмогут быть взяты из таблицы 2.
4.       Гипотеза H0не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S*
P{S>S*}=1-a1(S*)>a.
Пример 1.
Гипотеза Н0: рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим распределении.
1.    Дано распределение детей по росту: 133, 125, 120, 145, 151,  114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).
Рост, см
F(x;Θ)
S*
114
0,09375
1,596169
120
0,098684
 
125
0,102796
 
133
0,109375
 
139
0,114309
 
139
0,114309
 
145
0,119243
 
150
0,123355
 
151
0,124178
 
2.    a1(S*)≈0,999 (из таблицы 1)
3.    На уровне значимости α=0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.
4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S0,999>a => 0,01
ГипотезуНо опровергаем, выборка не находится в согласии с теоретическим распределением.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Пример 2.
Гипотеза Н0: Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически согласовано.
1.    Имеются данные о количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «SewardFisheries» на Аляске:
1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.
Вес, млн кг
F(x;Θ)
Сумма
S*
0,6
0,117647
0,000311
0,71288
0,8
0,156863
0,020488
 
1
0,196078
0,092368
 
1,2
0,235294
0,215952
 
1,5
0,294118
0,367093
 
 
2.    a1(S*)=0, 99036 (из таблицы 1)
3.    На уровне значимости α=0,01 a1(S)=0,7434.
4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S 0,00964
ГипотезуНо опровергаем, количество рыбы на Аляске теоретически не согласовано.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Пример 3.
Гипотеза Н0: Средний балл студента Иванова И.И.  за последние 5 сессий согласован с теоретическим распределением.
1.    Средние баллы за каждую из 5 последних сессий такие:
4; 4,2; 4; 4,3; 4.
Оценка
F(x;Θ)
Сумма
S*
4
0,195122
0,012497
0,594398
4,2
0,204878
0,002036
 
4
0,195122
0,049082
 
4,3
0,209756
0,13956
 
4
0,195122
0,30789
 
 
2.    a1(S*)=0, 98314 (из таблицы 1)
3.    На уровне значимости α=0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)=0,3473.
4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S 0,01686
ГипотезуНо, оценки студента теоретически не согласованы.
 
 
 
 


Таблица1
Функция распределения статистики w2 Мизесаa1(S) при проверке простой гипотезы
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,00000
00001
00300
02568
06685
12372
18602
24844
30815
36386
0,1
0,41513
46196
50457
54329
57846
61042
63951