Графическое решениеуравнений
Расцвет, 2009
Введение
Необходимостьрешать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решатьзадачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с землянымиработами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правилорешения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существус современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этогоправила.
Формулырешения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака»,написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книгаспособствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но иГермании, Франции и других странах Европы.
Но общееправило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентовb и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году ФрансуаВиетввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнемВавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
ДиофантАлександрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решалиуравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мыизучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2,у = – x2, в 8 классе – у = √x, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k/x. В учебнике алгебры 9класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4,у = x2n, у = x-2n, у = 3√x, (x– a)2 + (у – b)2 = r2 и другие. Существуютправила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещёфункции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работазаключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
1. Какие бывают функции
Графикфункции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которыхравны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением у = kx+ b, гдеk и b – некоторые числа.Графиком этой функции является прямая.
Функцияобратной пропорциональности у = k/x, где k ¹ 0. График этой функции называется гиперболой.
Функция (x– a)2 + (у – b)2 = r2, где а, b и r – некоторые числа. Графикомэтой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а, b).
Квадратичная функция y= ax2+ bx+ c где а, b, с – некоторые числа и а¹ 0. Графиком этой функции является парабола.
Уравнение у2(a– x) = x2(a+ x). Графиком этогоуравнения будет кривая, называемая строфоидой.
/>Уравнение(x2+ y2)2 = a(x2– y2). График этого уравненияназывается лемнискатой Бернулли.
Уравнение.График этого уравнения называется астроидой.
Кривая (x2 y2 – 2 a x)2 =4 a2(x2 + y2). Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у = x3 – кубическая парабола, у = x4, у = 1/x2.
2. Понятиеуравнения, его графического решения
Уравнение – выражение, содержащеепеременную.
Решитьуравнение– это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Кореньуравнения– это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовоеравенство.
Решениеуравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значениекорней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построенииграфиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чащеназывают функционально-графическим.
Для решенияуравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находимкоординаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корниуравнения.
3. Алгоритмпостроения графика функции
Зная графикфункции у = f(x), можно построить графики функций у = f(x+m),у = f(x)+l и у = f(x+ m)+ l. Все эти графикиполучаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразованияпараллельного переноса: на │m│ единиц масштаба вправоили влево вдоль оси x и на │l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.
4. Графическоерешение квадратного уравнения
На примереквадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения.Графиком квадратичной функции является парабола.
Что знали опараболе древние греки?
Современнаяматематическая символика возникла в 16 веке.
Удревнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции небыло. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно.Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь онимогли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.
Наиболееполно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, жившийв 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиямудовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существуеталгоритм построения параболы:
• Находимкоординаты вершины параболы А (х0; у0): х0=-b/2a;
• y0=ахо2+вх0+с;
• Находимось симметрии параболы (прямая х=х0);
• Составляемтаблицу значений для построения контрольных точек;
• Строимполученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. Поалгоритму построим параболу y= x2– 2x– 3. Абсциссы точекпересечения с осью xи есть корни квадратного уравнения x2– 2x– 3 = 0.
Существуетпять способов графического решения этого уравнения.
2. Разобьёмуравнение на две функции: y=x2и y= 2x+ 3. Корни уравнения – абсциссыточек пересечения параболы с прямой.
3. Разобьёмуравнение на две функции: y=x2–3 и y=2x. Корни уравнения – абсциссыточек пересечения параболы с прямой.
4.Преобразуем уравнениеx2– 2x– 3 = 0 при помощи выделения полногоквадрата на функции: y= (x–1)2иy=4. Корни уравнения – абсциссыточек пересечения параболы с прямой.
5. Разделимпочленно обе части уравненияx2– 2x– 3 = 0 на x, получим x– 2 – 3/x= 0, разобьём данноеуравнение на две функции: y= x– 2, y= 3/x. Корни уравнения –абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.
5. Графическоерешение уравнений степени n
Пример 1. Решить уравнение x5= 3 – 2x.
Корнямиданного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y= x5, y= 3 – 2x.
Ответ: x = 1.
Пример 2. Решить уравнение 3√x= 10 – x.
Корнямиданного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y= 3√x, y= 10 – x.
Ответ: x = 8.
Заключение
Рассмотревграфики функций: у = ax2+bx+c, у = k/x, у = √x, у =|x|, у = x3, у = x4,у = 3√x, я заметила, что все этиграфики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y.
На примеререшения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способприменим и для уравнений степени n.
Графическиеспособы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантиирешения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут бытьприближёнными.
В 9 классе ив старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интереснознать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построенииих графиков.
На следующийгод мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравненийи неравенств.
Литература
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1.Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина,2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1.Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина,2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1.Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина,2007.
4. Глейзер Г.И. Историяматематики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №52009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решениеуравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.